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- 2021-06-16 发布
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课时跟踪检测(四十八) 圆的方程
一、题点全面练
1.圆(x-3)2+(y-1)2=5关于直线y=-x对称的圆的方程为( )
A.(x+3)2+(y-1)2=5 B.(x-1)2+(y-3)2=5
C.(x+1)2+(y+3)2=5 D.(x-1)2+(y+3)2=5
解析:选C 由题意知,所求圆的圆心坐标为(-1,-3),半径为,所以所求圆的方程为(x+1)2+(y+3)2=5,故选C.
2.已知三点A(1,0),B(0,),C(2,),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )
A. B.
C. D.
解析:选B 设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
∴∴
∴△ABC外接圆的圆心为,故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为 =.
3.(2019·成都模拟)若抛物线y=x2-2x-3与坐标轴的交点在同一个圆上,则由交点确定的圆的方程为( )
A.x2+(y-1)2=4 B.(x-1)2+(y-1)2=4
C.(x-1)2+y2=4 D.(x-1)2+(y+1)2=5
解析:选D 抛物线y=x2-2x-3关于直线x=1对称,与坐标轴的交点为A(-1,0),B(3,0),C(0,-3),设圆心为M(1,b),半径为r,则|MA|2=|MC|2=r2,即4+b2=1+(b+3)2=r2,解得b=-1,r=,∴由交点确定的圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=5,故选D.
4.(2019·银川模拟)若圆C与y轴相切于点P(0,1),与x轴的正半轴交于A,B两点,且|AB|=2,则圆C的标准方程是( )
A.(x+)2+(y+1)2=2 B.(x+1)2+(y+)2=2
C.(x-)2+(y-1)2=2 D.(x-1)2+(y-)2=2
解析:选C 设线段AB的中点为D,则|AD|=|CD|=1,∴r=|AC|==|CP|,故C(,1),故圆C的标准方程是(x-)2+(y-1)2=2,故选C.
5.点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为( )
A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4
C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1
解析:选A 设中点为A(x,y),圆上任意一点为B(x′,y′),由题意得则故(2x-4)2+(2y
+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1,故选A.
6.在平面直角坐标系内,若曲线C:x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上所有的点均在第四象限内,则实数a的取值范围为________.
解析:圆C的标准方程为(x+a)2+(y-2a)2=4,所以圆心为(-a,2a),半径r=2,故由题意知解得a<-2,故实数a的取值范围为(-∞,-2).
答案:(-∞,-2)
7.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为,则圆C的方程为____________________.
解析:因为圆C的圆心在x轴的正半轴上,设C(a,0),且a>0,所以圆心到直线2x-y=0的距离d==,解得a=2,所以圆C的半径r=|CM|==3,所以圆C的方程为(x-2)2+y2=9.
答案:(x-2)2+y2=9
8.在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为____________________.
解析:因为直线mx-y-2m-1=0(m∈R)恒过点(2,-1),所以当点(2,-1)为切点时,半径最大,此时半径r=,故所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.
答案:(x-1)2+y2=2
9.已知以点P为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),线段AB的垂直平分线交圆P于点C,D,且|CD|=4.
(1)求直线CD的方程;
(2)求圆P的方程.
解:(1)由题意知,直线AB的斜率k=1,中点坐标为(1,2).则直线CD的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0.
(2)设圆心P(a,b),由点P在CD上得a+b-3=0.①
又∵直径|CD|=4,
∴|PA|=2,
∴(a+1)2+b2=40.②
由①②解得或
∴圆心P(-3,6)或P(5,-2).
∴圆P的方程为(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40.
10.已知M为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,且点Q(-2,3).
(1)求|MQ|的最大值和最小值;
(2)若M(m,n),求的最大值和最小值.
解:(1)由圆C:x2+y2-4x-14y+45=0,
可得(x-2)2+(y-7)2=8,
所以圆心C的坐标为(2,7),半径r=2.
又|QC|==4>2.
所以点Q在圆C外,
所以|MQ|max=4+2=6,
|MQ|min=4-2=2.
(2)可知表示直线MQ的斜率,
设直线MQ的方程为y-3=k(x+2),
即kx-y+2k+3=0,则=k.
因为直线MQ与圆C有交点,
所以≤2,
可得2-≤k≤2+,
所以的最大值为2+,最小值为2-.
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1.方程|y|-1=表示的曲线是( )
A.一个椭圆 B.一个圆
C.两个圆 D.两个半圆
解析:选D 由题意知|y|-1≥0,则y≥1或y≤-1,当y≥1时,原方程可化为(x-1)2+(y-1)2=1(y≥1),其表示以(1,1)为圆心、1为半径、直线y=1上方的半圆;当y≤-1时,原方程可化为(x-1)2+(y+1)2=1(y≤-1),其表示以(1,-1)为圆心、1为半径、直线y=-1下方的半圆.所以方程|y|-1=表示的曲线是两个半圆,选D.
2.(2019·海口模拟)已知实数x,y满足x2+y2=4(y≥0),则m=x+y的取值范围是( )
A.(-2,4) B.[-2,4]
C.[-4,4] D.[-4,2]
解析:选B x2+y2=4(y≥0)表示圆x2+y2=4的上半部分,如图所示,直线x+y-m=0的斜率为-,在y轴上的截距为m.当直线x+y-m=0过点(-2,0)时,m=-2.设圆心(0,0)到直线x+y-m
=0的距离为d,
则即
解得m∈[-2,4].
3.若对圆(x-1)2+(y-1)2=1上任意一点P(x,y),|3x-4y+a|+|3x-4y-9|的取值与x,y无关,则实数a的取值范围是( )
A.(-∞,-4] B.[-4,6]
C.(-∞,-4]∪[6,+∞) D.[6,+∞)
解析:选D |3x-4y-9|表示点P到直线l1:3x-4y-9=0的距离的5倍,|3x-4y+a|表示点P到直线l2:3x-4y+a=0的距离的5倍,|3x-4y+a|+|3x-4y-9|的取值与x,y无关,即点P到直线l1,l2的距离之和与点P的位置无关,所以直线3x-4y+a=0与圆相离或相切,并且l1和l2在圆的两侧,所以≥1,且a>0,解得a≥6,故选D.
4.已知圆C关于y轴对称,经过点(1,0)且被x轴分成两段,弧长比为1∶2,则圆C的方程为______________________.
解析:由已知圆心在y轴上,且被x轴所分劣弧所对圆心角为,设圆心(0,a), 半径为r,则rsin=1,rcos=|a|,解得r=,即r2=,|a|=,即a=±,故圆C的方程为x2+2=.
答案:x2+2=
5.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1,设点P是圆C上的动点.记d=|PB|2+|PA|2,其中A(0,1),B(0,-1),则d的最大值为________.
解析:设P(x0,y0),d=|PB|2+|PA|2=x+(y0+1)2+x+(y0-1)2=2(x+y)+2.x+y为圆上任一点到原点距离的平方,∴(x+y)max=(+1)2=36,∴dmax=74.
答案:74
(二)交汇专练——融会巧迁移
6.[与基本不等式交汇]已知圆x2+y2+2x-6y+1=0关于直线ax-by+3=0(a>0,b>0)对称,则+的最小值是( )
A.2 B.
C.4 D.
解析:选D 由圆x2+y2+2x-6y+1=0知,其标准方程为(x+1)2+(y-3)2=9,∵圆
x2+y2+2x-6y+1=0关于直线ax-by+3=0(a>0,b>0)对称,∴该直线经过圆心(-1,3),即-a-3b+3=0,∴a+3b=3(a>0,b>0),
∴+=(a+3b)=≥=,
当且仅当=,即a=b时取等号,故选D.
7.[与线性规划交汇]已知平面区域恰好被面积最小的圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2及其内部所覆盖,则圆C的方程为____________________.
解析:如图,不等式表示的平面区域是以O(0,0),P(4,0),Q(0,2)所构成的三角形及其内部,
∴覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆.
∵△OPQ为直角三角形,
∴圆心为斜边PQ的中点(2,1),半径r==,
因此圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
答案:(x-2)2+(y-1)2=5
8.[与函数交汇]如果直线2ax-by+14=0(a>0,b>0)和函数f(x)=mx+1+1(m>0,m≠1)的图象恒过同一个定点,且该定点始终落在圆(x-a+1)2+(y+b-2)2=25的内部或圆上,那么的取值范围为________.
解析:易知函数f(x)=mx+1+1(m>0,m≠1)的图象过定点(-1,2),∴直线2ax-by+14=0(a>0,b>0)过定点(-1,2),∴a+b=7,①
又定点(-1,2)在圆(x-a+1)2+(y+b-2)2=25的内部或圆上,∴a2+b2≤25,②
由①②解得3≤a≤4,∴≤≤,
∴==-1∈.
答案:
9.[与向量交汇]已知圆C过点P(1,1),且与圆M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线x+y+2=0对称.
(1)求圆C的方程;
(2)设Q为圆C上的一个动点,求·的最小值.
解:(1)设圆C的圆心C(a,b),由已知得M(-2,-2),
则解得
则圆C的方程为x2+y2=r2,
将点P的坐标代入得r2=2,故圆C的方程为x2+y2=2.
(2)设Q(x0,y0),则x+y=2,
·=(x0-1,y0-1)·(x0+2,y0+2)
=x+y+x0+y0-4=x0+y0-2.
令x0=cos θ,y0=sin θ,
所以·=x0+y0-2
=(sin θ+cos θ)-2
=2sin-2,
又min=-1,
所以·的最小值为-4.
(三)难点专练——适情自主选
10.在平面直角坐标系xOy中,曲线Γ:y=x2-mx+2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A,B,曲线Γ与y轴交于点C.
(1)是否存在以AB为直径的圆过点C?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由.
(2)求证:过A,B,C三点的圆过定点.
解:由曲线Γ:y=x2-mx+2m(m∈R),令y=0,得x2-mx+2m=0.设A(x1,0),B(x2,0),可得Δ=m2-8m>0,则m<0或m>8.x1+x2=m,x1x2=2m.令x=0,得y=2m,即C(0,2m).
(1)若存在以AB为直径的圆过点C,则·=0,得x1x2+4m2=0,即2m+4m2=0,所以m=0(舍去)或m=-.
此时C(0,-1),AB的中点M即圆心,
半径r=|CM|=,
故所求圆的方程为2+y2=.
(2)证明:设过A,B两点的圆的方程为x2+y2-mx+Ey+2m=0,
将点C(0,2m)代入可得E=-1-2m,
所以过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2-mx-(1+2m)y+2m=0.
整理得x2+y2-y-m(x+2y-2)=0.
令可得或
故过A,B,C三点的圆过定点(0,1)和.