【数学】2021届一轮复习人教版（文理通用）第9章第4讲变量间的相关关系、统计案例作业 10页

对应学生用书[练案69理][练案64文]‎ 第四讲　变量间的相关关系、统计案例 A组基础巩固 一、选择题 ‎1．观察下列各图形，‎ 其中两个变量x，y具有相关关系的图是(　C　)‎ A．①②　 B．①④　‎ C．③④　 D．②③‎ ‎[解析]　由散点图知③中的点都分布在一条直线附近．④中的点都分布在一条曲线附近，所以③④中的两个变量具有相关关系．‎ ‎2．某车间为了规划生产进度提高生产效率，记录了不同时段生产零件个数x(单位：百个)与相应加工总时长y(单位：小时)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为＝0.7x＋0.05，则下列结论错误的是(　D　)‎ x ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ y ‎1.5‎ ‎2‎ m ‎3.5‎ A．加工总时长与生产零件数呈正相关 B．该回归直线一定过点(3.5,2.5)‎ C．零件每增加1百个，相应加工总时长约增加0.7小时 D．m的值是2.85‎ ‎[解析]　依题意，对于A，注意到0.7>0，因此加工总时长与生产零件数呈正相关，选项A正确；对于B，当x＝3.5时，y＝0.7×3.5＋0.05＝2.5，因此回归直线一定过点(3.5,2.5)，选项B正确；对于C，易知零件每增加1百个，相应加工总时长约增加0.7小时，因此选项C正确；故选D．(事实上回归直线必过样本点的中心，＝＝3.5，于是有＝＝2.5，由此解得m＝3，因此选项D不正确．)‎ ‎3．(2019·广西柳州模拟)根据如下样本数据 X ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ Y ‎4.0‎ ‎2.5‎ ‎－0.5‎ ‎0.5‎ ‎－2.0‎ ‎－3.0‎ 得到了回归方程＝bx＋a，则(　C　)‎ A．a>0，b>0　 B．a<0，b>0‎ C．a>0，b<0　 D．a<0，b<0‎ ‎[解析]　由表格数据可知y与x是负相关关系，所以b<0，且当x＝0时，y>0，所以a>0，故选C．‎ ‎4．(2019·山东师大附中模拟)为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，(x5，y5)，根据收集到的数据可知x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝150，由最小二乘法求得回归直线方程为＝0.67x＋24.9，则y1＋y2＋y3＋y4＋y5＝(　C　)‎ A．45　 B．125.4　‎ C．225　 D．350.4‎ ‎[解析]　因为x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝150，所以＝＝＝30.又因为(30，)在回归直线 ＝0.67x＋24.9上，将(30，)代入 ＝0.67x＋24.9，可求得＝45＝，所以y1＋y2＋y3＋y4＋y5＝225，故选C．‎ ‎5．(2020·西北狼联盟质检)广告投入对商品的销售额有较大影响，某电商对连续5个年度的广告费x和销售额y进行统计，得到统计数据如下表(单位：万元)‎ 广告费x ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 销售额y ‎29‎ ‎41‎ ‎50‎ ‎59‎ ‎71‎ 由上表可得回归方程 ＝10.2x＋，据此模型，预测广告费为10万元时销售额约为(　B　)‎ A．118.2万元　 B．111.2万元 C．108.8万元　 D．101.2万元 ‎[解析]　由表格中数据可得，＝4，＝50，‎ ‎∴50＝4×10.2＋ ，解得 ＝9.2，‎ ‎∴回归方程为 ＝10.2x＋9.2，‎ ‎∴当x＝10时， ＝10.2×10＋9.2＝111.2，‎ 即预测广告费10万元时销售额约为111.2，故选B．‎ ‎6．(2019·沧州七校联考)通过随机询问200名性别不同的大学生是否爱好踢毽子运动，计算得到统计量K2的观测值k≈4.892，参照附表，得到的正确结论是(　C　)‎ P(K2≥k)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ A．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”‎ B．有97.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”‎ C．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”‎ D．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”‎ ‎7．(2019·河南商丘)某医疗所为了检查新开发的流感疫苗对甲型H1N1流感的预防作用，把1 000名注射疫苗的人与另外1 000名未注射疫苗的人半年的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种疫苗不能起到预防甲型H1N1流感的作用”，并计算得P(K2≥6.635)≈0.01，则下列说法正确的是(　C　)‎ A．这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的有效率为1%‎ B．若某人未使用疫苗则他在半年中有99%的可能性得甲型H1N1流感 C．有99%的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的作用”‎ D．有1%的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的作用”‎ ‎[解析]　因为P(K2≥6.635)≈0.01，这说明假设不合理的程度为99%，即这种疫苗不能起到预防甲型H1N1流感的作用不合理的程度约为99%，所以有99%的把握认为“这种疫苗能起到预防甲型H1N1流感的作用”，故选C．‎ ‎8．(2019·广西柳州模拟)如图记录了一种叫万年松的树生长时间t(年)与树高y(m)之间的散点图．请你据此判断，拟合这种树生长的年数与树高的关系式，选择的函数模型是好的是(　B　)‎ A．y＝2t　 B．y＝log2t C．y＝t3　 D．y＝2t2‎ 二、填空题 ‎9．(2019·北京模拟)高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．‎ 从这次考试成绩看，‎ ‎①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是乙 ；‎ ‎②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学 .‎ ‎[解析]　由高三年级267位学生参加期末考试，某班37位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况的散点图可知①在甲、乙丙人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是乙；②观察散点图，作出对角线y＝x，发现丙的坐标横坐标大于纵坐标，说明数学成绩的名次小于总成绩名次，所以在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学．‎ ‎10．(2019·吉林市五地六校适应性考试)公司对2019年1～4月份的获利情况进行了数据统计，如下表所示：‎ 月份x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 利润y/万元 ‎5‎ ‎6‎ ‎6.5‎ ‎8‎ 利用线性回归分析思想，预测出2019年8月份的利润为11.6万元，则y关于x的线性回归方程为＝0.95x＋4　.‎ ‎[解析]　设线性回归方程为＝ x＋，‎ 因为＝，＝，‎ 由题意可得，解得 ＝0.95，＝4，‎ 即＝0.95x＋4.故答案为＝0.95x＋4.‎ 三、解答题 ‎11．(2020·唐山模拟)随着网络的发展，网上购物越来越受到人们的喜爱，各大购物网站为增加收入，促销策略越来越多样化，促销费用也不断增加，下表是某购物网站2017年1－8月促销费用x(万元)和产品销量y(万件)的具体数据.‎ 月份 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 促销费用x ‎2‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎13‎ ‎21‎ ‎15‎ ‎18‎ 产品销量y ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3.5‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎(1)根据数据绘制的散点图能够看出可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数r加以说明；(系数精确到0.001)‎ ‎(2)建立y关于x的回归方程＝x＋(系数精确到0.01)，如果该公司计划在9月份实现产品销量超6万件，预测至少需投入促销费用多少万元．(结果精确到0.01)‎ 参考数据： (xi－11)(yi－3)＝74.5， (xi－11)2＝340， (yi－3)2＝16.5，≈18.44，＝4.06，其中xi，yi分别为第i个月的促销费用和产品销量，i＝1,2,3，…，8.‎ 参考公式：(i)样本(xi，yi)(i＝1,2，…，n)的相关系数r＝.‎ ‎(ii)对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归方程＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－ .‎ ‎[解析]　(1)由题可知＝11，＝3，‎ 将数据代入r＝，‎ 得r≈＝≈0.995.‎ 因为y与x的相关系数近似为0.995，说明y与x的线性相关性很强，从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系．(需要突出“很强”，“一般”或“较弱”不给分)‎ ‎(2)将数据代入 ＝，‎ 得 ＝＝0.219，‎ ＝－ ＝3－0.219×11≈0.59，‎ 所以y关于x的回归方程为＝0.22x＋0.59.‎ 由＝0.22x＋0.59>6，解得x>24.59，‎ 即至少需要投入促销费用24.59万元．‎ ‎12．(2019·湖北省荆、荆、襄、宜四地七校联考)为积极响应国家“阳光体育运动”的号召，某学校在了解到学生的实际运动情况后，发起以“走出教室，走进操场，走到阳光”‎ 为口号的课外活动倡议．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，从高一高二基础年级与高三三个年级学生中按照4︰3︰3的比例分层抽样，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)，得到如图所示的频率分布直方图．‎ ‎(1)据图估计该校学生每周平均体育运动时间．并估计高一年级每周平均体育运动时间不足4小时的人数；‎ ‎(2)规定每周平均体育运动时间不少于6小时记为“优秀”，否则为“非优秀”，在样本数据中，有30位高三学生的每周平均体育运动时间不少于6小时，请完成下列2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间是否“优秀”与年级有关”.‎ 基础年级 高三 合计 优秀 非优秀 合计 ‎300‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ 附：K2＝，n＝a＋b＋c＋d.‎ ‎[解析]　(1)该校学生每周平均体育运动时间 ＝1×0.05＋3×0.2＋5×0.3＋7×0.25＋9×0.15＋11×0.05＝5.8‎ 高一年级每周平均体育运动时间不足4小时的人数：‎ ＝300××(0.025×2＋0.100×2)＝30人 ‎(2)列联表如下：‎ 基础年级 高三 合计 优秀 ‎105‎ ‎30‎ ‎135‎ 非优秀 ‎105‎ ‎60‎ ‎165‎ 合计 ‎210‎ ‎90‎ ‎300‎ 假设该校学生的每周平均体育运动时间是否优秀与年级无关，‎ 则K2＝＝≈7.071>6.635‎ 又P(K2≥6.635)＝0.01.‎ 所以有99%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间是否‘优秀’与年级有关”．‎ B组能力提升 ‎1．(2020·西安模拟)以模型y＝cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，则z＝ln y，其变换后得到线性回归方程z＝0.3x＋4，则c＝(　D　)‎ A．0.3　 B．e0.3　‎ C．4　 D．e4‎ ‎[解析]　z＝ln y＝ln(cekx)＝ln c＋kx，因为z＝0.3x＋4，所以ln c＝4，则c＝e4.故选D．‎ ‎2．(2019·湖南师大附中模拟)在西非肆虐的“埃博拉病毒”的传播速度很快，已经成为全球性的威胁，为了考察某种埃博拉病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小鼠进行试验，得到如下列联表：‎ 感染 未感染 总计 服用 ‎10‎ ‎40‎ ‎50‎ 未服用 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 总计 ‎30‎ ‎70‎ ‎100‎ 参考公式：K2＝ P(K2‎>k)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 参照附表，在犯错误的概率最多不超过5%　(填百分比)的前提下，可认为“该种疫苗有预防埃博拉病毒感染的效果”．‎ ‎[解析]　由题意可得，K2＝≈4.762>3.841，参照附表可得，在犯错误的概率不超过5%的前提下，可认为“该种疫苗有预防埃博拉病毒感染的效果”．‎ ‎3．(2019·赣州模拟)在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x6，y6)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，6)都在曲线y＝bx2－附近波动，经计算xi＝11，yi＝13，x＝21，则实数b的值为　.‎ ‎[解析]　令t＝x2，则曲线的回归方程变为线性的回归方程，即y＝bt－，此时＝＝，＝＝，代入y＝bt－，得＝b×－，解得b＝.‎ ‎4．(2019·福建龙岩、漳州模拟)某手机厂商在销售200万台某型号手机时开展“手机碎屏险”活动．活动规则如下：用户购买该型号手机时可选购“手机碎屏险”，保费为x元．若在购机后一年内发生碎屏可免费更换一次屏幕．该手机厂商将在这200万台该型号手机全部销售完毕一年后，在购买碎屏险且购机后一年内未发生碎屏的用户中随机抽取1 000名，每名用户赠送1 000元的红包．为了合理确定保费x的值，该手机厂商进行了问卷调查，统计后得到下表(其中y表示保费为x元时愿意购买该“手机碎屏险”的用户比例)：‎ x ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ y ‎0.79‎ ‎0.59‎ ‎0.38‎ ‎0.23‎ ‎0.01‎ ‎(1)根据上面的数据求出y关于x的回归直线方程；‎ ‎(2)通过大数据分析，在使用该型号手机的用户中，购机后一年内发生碎屏的比例为0.2%.已知更换一次该型号手机屏幕的费用为2 000元，若该手机厂商要求在这次活动中因销售该“手机碎屏险”产生的利润不少于70万元，能否把保费x定为5元？‎ 参考公式：回归方程y＝bx＋a中斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－ .‎ 参考数据：表中x的5个值从左到右分别记为x1，x2，x3，x4，x5，相应的y值分别记为y1，y2，y3，y4，y5，经计算有(xi－)(yi－)＝－19.2，‎ 其中＝i，＝i.‎ ‎[解析]　(1)由＝30，＝0.4，‎ (xi－)(yi－)＝－19.2，(xi－)2＝1 000，‎ 得＝＝－0.019 2，‎ ＝－ ＝0.976，‎ 所以y关于x的回归直线方程为 y＝－0.019 2x＋0.976.‎ ‎(2)能把保费x定为5元．‎ 理由如下：若保费x定为5元，则估计 y＝－0.019 2×5＋0.976＝0.88‎ 估计该手机厂商在这次活动中因销售该“手机碎屏险”产生的利润为 ‎2 000 000×0.88×5－2 000 000×0.88×0.2%×2 000－1 000×1 000＝0.76×106(元)＝76(万元)>70(万元)‎ 所以能把保费x定为5元．‎ ‎5．(2020·陕西省联考)按照国家质量标准：某种工业产品的质量指标值落在[100,120)内，则为合格品，否则为不合格品．某企业有甲、乙两套设备生产这种产品，为了检测这两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本对规定的质量指标值进行检测．表是甲套设备的样本频数分布表，图是乙套设备的样本频率分布直方图．‎ 表：甲套设备的样本频数分布表 质量指标值 ‎[95,100)‎ ‎[100,105)‎ ‎[105,110)‎ ‎[110,115)‎ ‎[115,120)‎ ‎[120,125]‎ 频数 ‎1‎ ‎4‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎(1)将频率视为概率，若乙套设备生产了5 000件产品，则其中不合格品约有多少件？‎ ‎(2)填写下面2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为这种产品的质量指标值与甲乙两套设备的选择有关：‎ 甲套设备 乙套设备 合计 合格品 不合格品 合计 ‎(3)根据表和图，对甲、乙两套设备的优劣进行比较．‎ 参考公式及数据：x2＝ P(x2≥k)‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎[解析]　(1)由图知，乙套设备生产的不合格品率约为(0.01＋0.022)×5＝0.16；‎ ‎∴乙套设备生产的5 000件产品中不合格品约为5 000×0.16＝800(件)；‎ ‎(2)由表和图得到列联表：‎ 甲套设备 乙套设备 台计 合格品 ‎48‎ ‎42‎ ‎90‎ 不合格品 ‎2‎ ‎8‎ ‎10‎ 合计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ 将列联表中的数据代入公式计算得K2＝＝4>3.841；‎ ‎∴有95%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；‎ ‎(3)由表和图知，甲套设备生产的合格品的概率约为＝0.96，‎ 乙套设备生产的合格品的概率约为1－0.16＝0.84，‎ 且甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在[105,115)之间，‎ 乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散；‎ 因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，所以甲套设备优于乙套设备．‎