【数学】2020届浙江一轮复习通用版4-5三角函数的图象和性质作业 7页

‎§ 4.5　三角函数的图象和性质 A组　基础题组 ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ ‎1.函数y=3-2sin2x的最小正周期为(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.π‎2‎ B.π C.2π D.4π 答案　B　∵y=3-2sin2x=2+cos 2x,∴最小正周期T=π,故选B.‎ ‎2.函数f(x)=sin xcos x+‎3‎‎2‎cos 2x的最小正周期和振幅分别是(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.π,1 B.π,2 C.2π,1 D.2π,2‎ 答案　A　∵f(x)=sin xcos x+‎3‎‎2‎cos 2x ‎=‎1‎‎2‎sin 2x+‎3‎‎2‎cos 2x=sin‎2x+‎π‎3‎,‎ ‎∴最小正周期和振幅分别是π,1.故选A.‎ ‎3.(2019台州中学月考)定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数.若f(x)的最小正周期是π,且当x∈‎0,‎π‎2‎时,f(x)=sin x,则f‎5π‎3‎的值为(　　)‎ A.-‎1‎‎2‎ B.‎1‎‎2‎ C.-‎3‎‎2‎ D.‎‎3‎‎2‎ 答案　D　∵f(x)的最小正周期是π,‎ ‎∴f‎5π‎3‎=f‎5‎‎3‎π-2π=f‎-‎π‎3‎,∵f(x)是偶函数,‎ ‎∴f‎-‎π‎3‎=fπ‎3‎=sinπ‎3‎=‎3‎‎2‎,∴f‎5π‎3‎=‎3‎‎2‎,故选D.‎ ‎4.(2017浙江金华十校联考)设函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω >0),则f(x)的奇偶性(　　)‎ A.与ω有关,且与φ有关 B.与ω有关,但与φ无关 C.与ω无关,且与φ无关 D.与ω无关,但与φ有关 答案　D　因为f(x)=sin ωxcos φ+cos ωxsin φ,‎ 所以f(-x)=-sin ωxcos φ+cos ωxsin φ.‎ 若f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x)恒成立,故cos ωxsin φ=0恒成立,所以sin φ=0,故φ=kπ,k∈Z;‎ 若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)恒成立,故sin ωxcos φ=0恒成立,所以cos φ=0,故φ=kπ+π‎2‎,k∈Z.‎ 综上, f(x)的奇偶性仅与φ有关,故选D.‎ ‎5.(2017课标全国Ⅲ理,6,5分)设函数f(x)=cosx+‎π‎3‎,则下列结论错误的是(　　)‎ A.f(x)的一个周期为-2π B.y=f(x)的图象关于直线x=‎8π‎3‎对称 C.f(x+π)的一个零点为x=‎π‎6‎ D.f(x)在π‎2‎‎,π单调递减 答案　D　f(x)的最小正周期为2π,易知A正确;f‎8π‎3‎=cos‎8‎‎3‎π+‎π‎3‎=cos 3π=-1,为f(x)的最小值,故B正确;∵f(x+π)=cosx+π+‎π‎3‎=-cosx+‎π‎3‎,∴fπ‎6‎‎+π=-cosπ‎6‎‎+‎π‎3‎=-cosπ‎2‎=0,故C正确;由于f‎2π‎3‎=cos‎2π‎3‎‎+‎π‎3‎=cos π=-1,为f(x)的最小值,故f(x)在π‎2‎‎,π上不单调,故D错误.‎ ‎6.函数f(x)=sin‎2x-‎π‎4‎+1的最小正周期为　　　　;单调递增区间是　　　　　　　　　　;对称轴方程为　. ‎ 答案　π;kπ-π‎8‎,kπ+‎‎3π‎8‎(k∈Z);x=kπ‎2‎+‎3π‎8‎(k∈Z)‎ 解析　根据函数性质知,最小正周期T=‎2π‎2‎=π.‎ 令2kπ-π‎2‎≤2x-π‎4‎≤2kπ+π‎2‎(k∈Z),‎ 解得kπ-π‎8‎≤x≤kπ+‎3π‎8‎(k∈Z),‎ 所以单调递增区间是kπ-π‎8‎,kπ+‎‎3π‎8‎(k∈Z).‎ 再令2x-π‎4‎=kπ+π‎2‎(k∈Z),‎ 解得x=kπ‎2‎+‎3π‎8‎(k∈Z),‎ 即对称轴方程为x=kπ‎2‎+‎3π‎8‎(k∈Z).‎ ‎7.(2018温州高中模拟)设ω=N*且ω≤15,则使函数y=sin ωx在区间π‎4‎‎,‎π‎3‎上不单调的ω的个数是　　　　. ‎ 答案　8‎ 解析　当x∈π‎4‎‎,‎π‎3‎时,ωx∈ωπ‎4‎‎,‎ωπ‎3‎,‎ 由题意知ωπ‎4‎0)的最小正周期为1,则ω=　　　　,函数f(x)在区间‎-‎1‎‎6‎,‎‎1‎‎4‎上的值域为　　　　. ‎ 答案　π;[-2,‎3‎]‎ 解析　f(x)=2sin2ωx+2‎3‎sin ωxsinωx+‎π‎2‎-1=‎3‎sin(2ωx)-cos(2ωx)=2sin‎2ωx-‎π‎6‎,‎ ‎∴‎2π‎2ω=1⇒ω=π,∴f(x)=2sin‎2πx-‎π‎6‎,‎ ‎∴当x∈‎-‎1‎‎6‎,‎‎1‎‎4‎时,2πx-π‎6‎∈‎-π‎2‎,‎π‎3‎,‎ ‎∴2sin‎2πx-‎π‎6‎∈[-2,‎3‎],‎ ‎∴f(x)=2sin‎2πx-‎π‎6‎在‎-‎1‎‎6‎,‎‎1‎‎4‎上的值域为[-2,‎3‎].‎ ‎9.(2019杭州学军中学质检)已知f(x)=sin 2x-‎3‎cos 2x,若对任意实数x∈‎0,‎π‎4‎,都有|f(x)|0,|φ|≤‎π‎2‎的最小正周期为π,且x=π‎12‎为函数f(x)的图象的一条对称轴.‎ ‎(1)求ω和φ的值;‎ ‎(2)设函数g(x)=f(x)+fx-‎π‎6‎,求g(x)的单调递减区间.‎ 解析　(1)因为f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤‎π‎2‎的最小正周期为π,所以ω=2,‎ 又2x+φ=kπ+π‎2‎,k∈Z,‎ 所以f(x)的图象的对称轴为x=kπ‎2‎+π‎4‎-φ‎2‎,k∈Z.‎ 由π‎12‎=kπ‎2‎+π‎4‎-φ‎2‎,得φ=kπ+π‎3‎(k∈Z).‎ 又|φ|≤π‎2‎,则φ=π‎3‎.‎ ‎(2)函数g(x)=f(x)+fx-‎π‎6‎=sin‎2x+‎π‎3‎+sin 2x ‎=‎1‎‎2‎sin 2x+‎3‎‎2‎cos 2x+sin 2x=‎3‎sin‎2x+‎π‎6‎.‎ 令2kπ+π‎2‎≤2x+π‎6‎≤2kπ+‎3π‎2‎,k∈Z,‎ 得kπ+π‎6‎≤x≤kπ+‎2π‎3‎,k∈Z,‎ 所以g(x)的单调递减区间为kπ+π‎6‎,kπ+‎‎2π‎3‎,k∈Z.‎ B组　提升题组 ‎1.(2018武汉武昌调研)若f(x)=cos 2x+acosπ‎2‎‎+x在区间π‎6‎‎,‎π‎2‎上是增函数,则实数a的取值范围是(　　)‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ A.[-2,+∞) B.(-2,+∞)‎ C.(-∞,-4) D.(-∞,-4]‎ 答案　D　f(x)=1-2sin2x-asin x,令sin x=t,t∈‎1‎‎2‎‎,1‎,则g(t)=-2t2-at+1,t∈‎1‎‎2‎‎,1‎,因为f(x)在π‎6‎‎,‎π‎2‎上单调递增,所以-a‎4‎≥1,即a≤-4,故选D.‎ ‎2.已知0sin(2-y)‎ C.sin(2-x2)1,又y<‎5‎‎2‎,所以11.44>x2>2-y>-‎1‎‎2‎>-π‎2‎,所以sin x2>sin(2-y),故B正确;对于C,当2-x2=π‎2‎,π‎2‎0,|φ|<‎π‎2‎的图象过点‎0,‎‎3‎‎2‎,若f(x)≤fπ‎6‎对x∈R恒成立,则ω的值为　; ‎ 当ω最小时,函数g(x)=fx-‎π‎3‎-‎2‎‎2‎在区间[0,22]的零点个数为　　　　. ‎ 答案　1+12k(k∈N);8‎ 解析　由题意得φ=π‎3‎,且当x=π‎6‎时,函数f(x)取到最大值,故π‎6‎ω+π‎3‎=π‎2‎+2kπ,k∈Z,解得ω=1+12k,k∈Z,又因为ω>0,所以ω的最小值为1,因此,g(x)=fx-‎π‎3‎-‎2‎‎2‎=sin x-‎2‎‎2‎在区间[0,22]的零点个数是8.‎ ‎4.(2017浙江镇海中学第一学期期中)已知f(x)=cos x(λsin x-cos x)+cos2π‎2‎‎-x+1(λ>0)的最大值为3.‎ ‎(1)求函数f(x)的图象的对称轴方程;‎ ‎(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若f(C)=3,c=‎7‎,△ABC的面积为‎3‎‎3‎‎2‎,求△ABC的周长.‎ 解析　(1)f(x)=λ‎2‎sin 2x-cos2x+sin2x+1=λ‎2‎sin 2x-cos 2x+1,‎ 故f(x)=λ‎2‎‎4‎‎+1‎·sin(2x-φ)+1tanφ=‎‎2‎λ的最大值为3,‎ 所以λ‎2‎‎4‎‎+1‎=2,又λ>0,得λ=2‎3‎.‎ 从而f(x)=‎3‎sin 2x-cos 2x+1=2sin‎2x-‎π‎6‎+1,‎ 令2x-π‎6‎=kπ+π‎2‎,k∈Z,得x=kπ‎2‎+π‎3‎,k∈Z.‎ 故函数f(x)的图象的对称轴方程为x=kπ‎2‎+π‎3‎,k∈Z.‎ ‎(2)由f(C)=3,得sin‎2C-‎π‎6‎=1,‎ 又0