【数学】2020届一轮复习（理）通用版考点测试30等差数列作业 10页

考点测试30　等差数列 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 高考概览 本考点是高考必考知识点，常考题型为选择题、填空题和解答题，分值5分、12分，中、低等难度 考纲研读 ‎1．理解等差数列的概念 ‎2．掌握等差数列的通项公式与前n项和公式 ‎3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题 ‎4．了解等差数列与一次函数、二次函数的关系 一、基础小题 ‎1．已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a1＝1，a3＝5，Sn＝64，则n＝(　　)‎ A．6 B．‎7 C．8 D．9‎ 答案　C 解析　因为d＝＝2，所以Sn＝na1＋d＝n＋n(n－1)＝64，解得n＝8．故选C．‎ ‎2．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则‎3a5＋a7＝(　　)‎ A．10 B．‎18 C．20 D．28‎ 答案　C 解析　由题意可知a3＋a8＝a5＋a6＝10，所以‎3a5＋a7＝‎2a5＋a5＋a7＝‎2a5＋‎2a6＝20，故选C．‎ ‎3．已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＋1＝Sn＋an＋3，a4＋a5＝23，则S8＝(　　)‎ A．72 B．‎88 C．92 D．98‎ 答案　C 解析　由Sn＋1＝Sn＋an＋3得an＋1－an＝3，所以{an}为等差数列，公差为3，由a4＋a5＝23得‎2a1＋7d＝23，所以a1＝1，S8＝8＋×8×7×3＝92．故选C．‎ ‎4．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝(　　)‎ A．8 B．‎7 C．6 D．5‎ 答案　D 解析　由a1＝1，公差d＝2，得通项an＝2n－1，又Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2，所以2k＋1＋2k＋3＝24，解得k＝5．故选D．‎ ‎5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a8＋a11＝30，则S13＝(　　)‎ A．130 B．‎65 C．70 D．140‎ 答案　A 解析　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由a2＋a8＋a11＝30，可得a1＋6d＝10，故S13＝＝13(a1＋6d)＝130．故选A．‎ ‎6．设{an}是公差不为0的等差数列，且a＋a＝a＋a，则该数列的前10项和S10＝(　　)‎ A．－10 B．－‎5 C．0 D．5‎ 答案　C 解析　由a＋a＝a＋a得a－a＝a－a，即(a4－a6)(a4＋a6)＝(a7－a5)(a7＋a5)，也即－2d×‎2a5＝2d×‎2a6，由d≠0，得a6＋a5＝a1＋a10＝0，所以S10＝5(a1＋a10)＝0．故选C．‎ ‎7．在等差数列{an}中，已知S4＝1，S8＝4，设S＝a17＋a18＋a19＋a20，则S的值为(　　)‎ A．8 B．‎9 C．10 D．11‎ 答案　B 解析　由S4＝1，S8＝4得S8－S4＝3，所以S12－S8＝5，所以S16－S12＝7，所以S＝S20－S16＝9．故选B．‎ ‎8．等差数列{an}的前n项和为Sn．已知am－1＋am＋1－a＝0，S‎2m－1＝38，则m＝________．‎ 答案　10‎ 解析　因为am－1＋am＋1－a＝0，数列{an}是等差数列，所以2am－a＝0，解得am＝0或am＝2．又S‎2m－1＝38，所以am＝0不符合题意，所以am＝2．所以S‎2m－1＝＝(‎2m－1)am＝38，解得m＝10．‎ 二、高考小题 ‎9．(2018·全国卷Ⅰ)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(　　)‎ A．－12 B．－‎10 C．10 D．12‎ 答案　B 解析　设该等差数列的公差为d，根据题中的条件可得3×＝2×2＋d＋4×2＋·d，解得d＝－3，所以a5＝a1＋4d＝2－12＝－10，故选B．‎ ‎10．(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)‎ A．1 B．‎2 C．4 D．8‎ 答案　C 解析　在等差数列{an}中，S6＝＝48，则a1＋a6＝16＝a2＋a5．又a4＋a5＝24，所以a4－a2＝2d＝24－16＝8，得d＝4．故选C．‎ ‎11．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{an}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为(　　)‎ A．－24 B．－‎3 C．3 D．8‎ 答案　A 解析　设等差数列{an}的公差为d，依题意得a＝a2·a6，即(1＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d)，解得d＝－2或d＝0(舍去)，又a1＝1，所以S6＝6×1＋×(－2)＝－24．故选A．‎ ‎12．(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝(　　)‎ A．100 B．‎99 C．98 D．97‎ 答案　C 解析　设{an}的公差为d，由等差数列的前n项和公式及通项公式，得解得 an＝a1＋(n－1)d＝n－2，所以a100＝100－2＝98．故选C．‎ ‎13．(2018·北京高考)设{an}是等差数列，且a1＝3，a2＋a5＝36，则{an}的通项公式为________．‎ 答案　an＝6n－3‎ 解析　设等差数列{an}的公差为d，则a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝‎2a1＋5d＝6＋5d＝36，∴d＝6，∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋6(n－1)＝6n－3．‎ ‎14．(2016·江苏高考)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是________．‎ 答案　20‎ 解析　设等差数列{an}的公差为d，则由题设可得 解得 从而a9＝a1＋8d＝20．‎ 三、模拟小题 ‎15．(2018·深圳4月调研)设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝S3＝3，则S4的值为(　　)‎ A．－3 B．‎0 C．3 D．6‎ 答案　B 解析　解法一：由S3＝‎3a2＝3，得a2＝1，又a1＝3，则公差d＝－2，故S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝3＋1＋(－1)＋(－3)＝0，故选B．‎ 解法二：a2＋a3＝S3－a1＝0，则S4＝2(a2＋a3)＝0，故选B．‎ ‎16．(2018·青岛质检)已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝‎3a4，且S9＝λa4，则λ的值为(　　)‎ A．18 B．‎20 C．21 D．25‎ 答案　A 解析　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d．由a6＝‎3a4，得a1＋5d＝3(a1‎ ‎＋3d)，所以a1＝－2d．由S9＝λa4，得‎9a1＋36d＝λ(a1＋3d)，代入a1＝－2d，得λ＝18．故选A．‎ ‎17．(2018·沈阳质检一)在等差数列{an}中，若Sn为其前n项和，‎2a7＝a8＋5，则S11的值是(　　)‎ A．55 B．‎11 C．50 D．60‎ 答案　A 解析　依题意有a7－(a8－a7)＝5，即a7－d＝5(d为{an}的公差)，亦即a6＝5．从而S11＝‎11a6＝11×5＝55．故选A．‎ ‎18．(2018·安徽江南十校模拟)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知A，B，C，D，E五人分5钱，A，B两人所得与C，D，E三人所得相同，且A，B，C，D，E每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．在这个问题中，E所得为(　　)‎ A． 钱 B． 钱 C． 钱 D． 钱 答案　A 解析　由题意，设A所得为a－4d，B所得为a－3d，C所得为a－2d，D所得为a－d，E所得为a，则解得a＝，故E所得为钱．故选A．‎ ‎19．(2018·衡阳二模)已知在等差数列{an}中，－1<<0，若它的前n项和Sn有最大值，则当Sn>0时，n的最大值为(　　)‎ A．11 B．‎12 C．13 D．14‎ 答案　B 解析　由数列{an}为等差数列，且它的前n项和Sn有最大值，可得d<0．因为－1<<0，由<0，得a6>0，a7<0，由>－1，得>0，所以a6＋a7>0，所以a1＋a12>0，所以S12>0，又S13＝‎13a7<0，则当Sn>0时，n的最大值为12，故选B．‎ ‎20．(2018·合肥质检三)已知数列{an}的前n项和为Sn，且数列为等差数列，若S2＝1，S2018－S2016＝5，则S2018＝________．‎ 答案　3027‎ 解析　依题意，设＝xn＋y(x，y∈R)，则＝＝2x＋y，且S2018－S2016＝20182x＋2018y－(20162x＋2016y)＝5，联立可解得x＝，y＝．则Sn＝n2＋n，S2018＝3027．‎ 一、高考大题 ‎1．(2018·全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15．‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)求Sn，并求Sn的最小值．‎ 解　(1)设{an}的公差为d，由题意，得‎3a1＋3d＝－15．‎ 由a1＝－7，得d＝2．‎ 所以{an}的通项公式为an＝－7＋(n－1)×2＝2n－9．‎ ‎(2)由(1)，得Sn＝n×(－7)＋×2＝n2－8n＝(n－4)2－16．‎ 所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16．‎ ‎2．(2018·北京高考)设{an}是等差数列，且a1＝ln 2，a2＋a3＝5ln 2．‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)求ea1＋ea2＋…＋ean．‎ 解　(1)设{an}的公差为d．‎ 因为a2＋a3＝5ln 2，所以‎2a1＋3d＝5ln 2．‎ 又a1＝ln 2，所以d＝ln 2．‎ 所以an＝a1＋(n－1)d＝nln 2．‎ ‎(2)因为ea1＝eln 2＝2，＝ean－an－1＝eln 2＝2，‎ 所以{ean}是首项为2，公比为2的等比数列．‎ 所以ea1＋ea2＋…＋ean＝2×＝2(2n－1)＝2n＋1－2．‎ ‎3．(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6．‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．‎ 解　(1)设{an}的公比为q，由题设可得 解得q＝－2，a1＝－2．‎ 故{an}的通项公式为an＝(－2)n．‎ ‎(2)由(1)可得Sn＝＝－＋(－1)n·．‎ 由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n· ‎＝2－＋(－1)n·＝2Sn，‎ 故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列．‎ 二、模拟大题 ‎4．(2018·福建龙岩检测)已知数列{an}满足(an＋1－1)·(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝．‎ ‎(1)证明：数列{bn}是等差数列；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式．‎ 解　(1)证明：－＝ ‎＝，∴bn＋1－bn＝，∴数列{bn}是等差数列．‎ ‎(2)由(1)及b1＝＝＝1，知bn＝n＋，‎ ‎∴an－1＝，∴an＝．‎ ‎5．(2018·福建外国语中学调研)已知等差数列{an}的公差d>0，前n项和为Sn，且a2·a3＝45，S4＝28．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若bn＝(c为非零常数)，且数列{bn}也是等差数列，求c的值．‎ 解　(1)∵S4＝28，∴＝28，‎ ‎∴a1＋a4＝14，∴a2＋a3＝14，‎ 又a2·a3＝45，公差d>0，‎ ‎∴a2