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- 2021-06-16 发布
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2020-2021 学年高二数学上册同步练习:空间向量的数乘运算
一、单选题
1.下列命题中正确的是( )
A.若 a 与 b 共线,b 与 c 共线,则 a 与 c 共线
B.向量 a,b,c 共面,即它们所在的直线共面
C.零向量没有确定的方向
D.若 a∥b,则存在唯一的实数 λ,使 a=λb
【答案】C
【解析】从向量共线反例判断 A,共面向量定理判断 B,零向量的定义判断 C,共线向量定理判断
D.推出正确命题选项.
解:若 a 与 b 共线,b 与 c 共线,则 a 与 c 共线,如果 b 是零向量,a 与 c 不共线,A 不正确.
向量 a,b,c 共面就是它们所在的直线共面,这是不正确的,三个向量所在直线可以互为异面直线.
零向量没有确定的方向,满足零向量的定义.
若 a∥b,则存在唯一的实数 λ,使 a=λb,不正确,因为 b 是零向量,a 不是零向量时,不存在 λ 满足
条件.
故选 C.
2.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AC1 的中点为 O,则下列命题中正确的是( )
A. OAOD 与 11OBOC 是一对相等向量
B.OB OC 与 11OAOD 是一对相反向量
C. 1OAOA 与 1OCOC 是一对相等向量
D.OAOBOCOD 与 1111OAOBOCOD 是一对相反向量
【答案】D
【解析】A. 取 AD, 11BC 的中点 M,N,则: 2OAOD OM , 112OBOCON ,两者不是一对相等
向量;
B. OBOCCB
uuuruuuruur
, 1 111OA O ADD ,两者是一对相等向量;
C. 11OA OA AA , 11OC O CCC ,两者是一对相反向量;
D.设底面 1 1 1 1,ABCD A BC D 的中心分别为 P,Q,则:
OAOBOCODOP , 1111OAOBOCODOQ ,
两者是一对相反向量;
故选 D.
3.如图所示,空间四边形OABC 中, ,,OAaOBbOCc ,点 M 在OA 上,且 2O M M A , N 为
BC 中点,则 MN 等于( )
A. 121
232abc B. 2 1 1
3 2 2 a b c
C. 1 1 2
2 2 3a b c D. 2 2 1
3 3 2a b c
【答案】B
【解析】 MN =ON - OM = 1
2 ( OB +OC )- 2
3 OA = (b+c)- a=- a+ b+ c.
故选 B
4.在平行六面体 1 1 1 1ABCD A BC D ,设 1AA a , ABb , AD c , M N P, , 分别是 1AA , ,
11CD 的中点,则 1MP NC( )
A. 3 1 3
2 2 2a b c B. 1
2ac
C. 11
22a b c D. 3 1 1
2 2 2a b c
【答案】A
【解析】如图
1111 11 11
11111
22222MP MDD P MAA DD CAAADABa cb
1111
111
222NCNCCCBCAAADAAca
1
111313
222222MPNCacbcaabc
故选 A
5.在长方体 1 111ABCDA BC D 中, AB a , ADb , 1AA c , E 是 1BB 中点,则 1DE ( )
A. 1
2abc B. 2a b c C. 1
2bac D. 2c a b
【答案】A
【解析】 长方体 1 111ABCDA BC D 中, ABa , ADb , 1AA c , 是 1BB 中点,
11D A AD b , 11A B AB a, 1 1 1
111
222B E BB AA c
又 1111111DEDAA BBE , 1
1
2DEabc ,
故选 A.
6.在平行六面体 ABCD-A′B′C′D′中,若 '23'ACxAByBCzCC ,则 x+y+z 等于( )
A.11
6 B. 7
6 C. 5
6 D. 2
3
【答案】B
【 解 析 】 由 图 可 知 '''ACACCCABBCCC ,又 , 可 得
111,, 23xyz ,则 7
6x y z .
故选 B
7.在三棱锥OABC 中, D 是 BC 的中点,则直 AD ( )
A. 11
22OA OB OC B. 11
22OA OB OC
C. 11
22OAOBOC D. 11
22OA OB OC
【答案】C
【解析】 111
222AD OD OAOC OB OA OA OB OC
故选 C
8.如图,平行六面体 1 1 1 1ABCD A BC D 中, AC 与 BD 的交点为 M ,设 ABa , ADb ,
1AA c ,则下列选项中与向量 1MC 相等的是( )
A. 11
22a b c B. 11
22a b c
C. 11
22a b c D. 11
22a b c
【答案】B
【解析】如图所示, 11MCMCCC,
1
2M CC A , A C A B A D , A B a , A D b , 1C C c ,
111
11
2
11
2 22
1
2MCABCCABADADb CC ac ,
故选 B .
9.如图,在空间四边形 ABCD 中,E,M,N 分别是边 BC,BD,CD 的中点,DE,MN 交于 F 点,则
11
22AB AC EF ( )
A. AD B. AF C. FA D. EM
【答案】B
【解析】 E 是边 BC 的中点,
11
22ABACAE;
11
22AB AC EF AE EF AF ;
故选 B .
10.三棱锥 O A B C 中,点 D 在棱 BC 上,且 2B D D C ,则 AD
uuuv为( )
A. 21
33ADOAOBOC B. 21
33ADOAOBOC
C. 12
33ADOAOBOC D. 12
33ADOAOBOC
【答案】D
【解析】由题得:
AD = AOODAOOBBD
= 22
33AO OB BC OA OB OC OB
= 12
33OAOBOC
故选 D
11.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,向量 1DA, 1DC , 11AC 是( )
A.有相同起点的向量 B.等长向量
C.共面向量 D.不共面向量
【答案】C
【解析】如图所示,因为 11D CDAAC,而 11ACA C ,
1111D CD AAC ,即 1111D CDAAC
由于 1DA与 11AC 不共线,所以 1DA, 1DC , 11AC 三向量共面.
故选 C.
12.如图所示,在平行六面体 1 1 1 1ABCD A BC D 中, ABa , ADb , 1AAc , M 是 1DD的中
点,点 N 是 1AC 上的点,且 1
1
3ANAC ,用 ,,abc表示向量 MN 的结果是( )
A. 1
2 abc B. 1 1 4
5 5 5a b c
C. 1 3 1
5 1 0 5a b c D. 1 2 1
3 3 6a b c
【答案】D
【解析】连接 1CM,
1
1
3ANAC ,
可得: 11
2
3CNCA ,
111ACAAACAAADABcab ,
11
2 2 2 2
3 3 3 3C N C A c a b ,
又 1
1
2C M a c ,
11MNCNC M
2 2 2 1
3 3 3 2c a b a c
1 2 1
3 3 6a b c
121
336abN cM ,
故选 D.
二、填空题
13.给出以下结论:
①空间任意两个共起点的向量是共面的;
②两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量;
③空间向量的加法满足结合律: abcabc ;
④首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.
请将正确的说法题号填在横线上:__________.
【答案】①③④
【解析】①中,两个向量共起点,与两向量终点共有 3 个点,则 点共面,可知两向量共面,①正
确;
②中,两个相等向量需大小相等,方向相同,②错误;
③中,空间向量加法满足结合律,③正确;
④中,由向量加法的三角形法则可知④正确.
故填①③④
14.在正方体 1111ABCDA BC D 中,若 1BDxADy ABz AA ,则 x y z的值为__________.
【答案】0
【解析】由题意可知 BDADAB.
又 1BDxADy ABz AA ,所以 1 y 1,z 0x , .
所以 1 1 0 0x y z .
故填 0.
15.在四面体OABC 中, ,,OA a OB b OC c , D 为 BC 的中点, E 为 AD 的中点,则OE
=_________.(用 ,,abc表示)
【答案】 1 1 1
2 4 4a b c
【解析】∵在四面体 O A B C 中, ,,OAaOBbOCc , D 为 BC 的中点, E 为 AD 的中点
∴ 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 4 4
OA ODOE OA OD a OB OC a b c
故填 1 1 1
2 4 4a b c
16.在正方体 中,给出以下向量表达式:
① ;② ;
③ ;④ .
其中能够化简为向量 的是________.
【答案】①②
【解析】①中, ;
②中, ;
③中, ;
④中, .
故填①②
17.如图所示,M,N 分别是四面体 OABC 的棱 OA,BC 的中点,P,Q 是 MN 的三等分点,用向量
,,OAOBOC 表示 OP 和 OQ ,则 =OP __________________; =OQ ____________________
【答案】 1 1 1
6 3 3OA OB OC; 1 1 1
3 6 6OA OB OC
【解析】 1 2 1 2 ()2 3 2 3OP OM MP OA MN OA ON OM
121121111 ()232632633OAONOAOAOBOCOAOBOC
;
1111 ()2323OQOMMQOAMNOAONOM
111111111 ()232332366OAONOAOAOBOCOAOBOC
.
故填 111
633OAOBOC; 111
366OAOBOC
18.在空间四边形 ABCD 中,连接 AC、BD,若 BCD 是正三角形,且 E 为其中心,则
13
22ABBCDEAD 的化简结果为________.
【答案】 0
【解析】如图,取 BC 的中点 F,连结 DF,则 2
3D F D E ,
∴ 13
22ABBCDEAD ABBFDFDA A F F D D A 0 .
故填 0
三、解答题
19.如图,平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 是 AD1 中点, N 是 BD 中点,判断 MN 与 1DC 是否共
线?
【解析】∵M,N 分别是 AD1,BD 的中点,四边形 ABCD 为平行四边形,
连结 AC,则 N 为 AC 的中点.
∴ MN = AN AM 1
11
22AC AD 1
1
2 AC AD 1
1
2 DC .
∴ 与 1DC共线.
20.如图所示,已知斜三棱柱 111A B C A BC ,点 M , N 分别在 1AC 和 BC 上,且满足 1AM k AC ,
(0 1)BN kBC k 剟 ,判断向量 MN 是否与向量 AB , 1AA 共面.
【解析】 ()(1)ANABBNABkACABkABk AC .
11()AMk ACkAAAC , 1(1 )MN AN AM k AB k AA ,
由共面向量定理知向量 MN 与向量 AB , 1AA 共面.
21.如图,已知 ,,,,,,,,OABCDEFGH 为空间的 9 个点,且 ,,OEkOAOFkOBOHkOD ,
,,0,0ACADmABEGEHmEFkm ,求证:
(1) ,,,ABCD 四点共面, ,,,EFGH 四点共面;
(2) //ACEG ;
(3)OGkOC .
【解析】证明:(1) ,0ACADmAB m ,∴A、B、C、D 四点共面.
,0EG EH mEF m ,∴E、F、G、H 四点共面.
(2) ( ) ( ) lon( )EG EH mEF OH OE m OF OE k OD OA OB OA
(),/ /k AD kmAB k AD mAB k AC AC EG .
(3) ()OG OE EG kOA k AC k OA AC kOC .
22.如图所示,若 P 为平行四边形 ABCD 所在平面外一点,点 H 为 PC 上的点,且 1
2
PH
HC ,点 G 在 AH
上,且 AG
AH =m,若 G,B,P,D 四点共面,求 m 的值.
【解析】连接 BD,BG.
∵ AB = PB - PA , AB = DC ,∴ DC = PB - PA ,
∵ PC = PD + DC ,∴ PC = PD + PB - PA =- PA + PB + PD .
∵ 1
2
PH
HC ,∴ PH = 1
3 PC ,∴ PH = 1
3
(- PA + PB + PD )= 1
3 PA + 1
3 PB + 1
3 PD .
又∵ AH = PH - PA ,∴ AH = 4
3 PA + 1
3 PB + 1
3 PD ,
∵ AG
AH
=m,∴ AG =m·AH = 4
3
m PA +
3
m
PB +
3
m
PD ,
∵ BG =- AB + AG = PA - PB + AG ,
∴ BG =(1 4
3
m ) PA +(
3
m -1) PB +
3
m
PD .
又∵G,B,P,D 四点共面,∴1 4
3
m =0,m= 3
4
.
即 m 的值是 3
4 .