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  • 2021-06-16 发布

2020-2021学年高二数学上册同步练习:空间向量的数乘运算

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2020-2021 学年高二数学上册同步练习:空间向量的数乘运算 一、单选题 1.下列命题中正确的是( ) A.若 a 与 b 共线,b 与 c 共线,则 a 与 c 共线 B.向量 a,b,c 共面,即它们所在的直线共面 C.零向量没有确定的方向 D.若 a∥b,则存在唯一的实数 λ,使 a=λb 【答案】C 【解析】从向量共线反例判断 A,共面向量定理判断 B,零向量的定义判断 C,共线向量定理判断 D.推出正确命题选项. 解:若 a 与 b 共线,b 与 c 共线,则 a 与 c 共线,如果 b 是零向量,a 与 c 不共线,A 不正确. 向量 a,b,c 共面就是它们所在的直线共面,这是不正确的,三个向量所在直线可以互为异面直线. 零向量没有确定的方向,满足零向量的定义. 若 a∥b,则存在唯一的实数 λ,使 a=λb,不正确,因为 b 是零向量,a 不是零向量时,不存在 λ 满足 条件. 故选 C. 2.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AC1 的中点为 O,则下列命题中正确的是( ) A. OAOD 与 11OBOC 是一对相等向量 B.OB OC 与 11OAOD 是一对相反向量 C. 1OAOA 与 1OCOC 是一对相等向量 D.OAOBOCOD 与 1111OAOBOCOD 是一对相反向量 【答案】D 【解析】A. 取 AD, 11BC 的中点 M,N,则: 2OAOD OM  , 112OBOCON  ,两者不是一对相等 向量; B. OBOCCB uuuruuuruur , 1 111OA O ADD ,两者是一对相等向量; C. 11OA OA AA , 11OC O CCC  ,两者是一对相反向量; D.设底面 1 1 1 1,ABCD A BC D 的中心分别为 P,Q,则: OAOBOCODOP , 1111OAOBOCODOQ  , 两者是一对相反向量; 故选 D. 3.如图所示,空间四边形OABC 中, ,,OAaOBbOCc ,点 M 在OA 上,且 2O M M A , N 为 BC 中点,则 MN 等于( ) A. 121 232abc B. 2 1 1 3 2 2  a b c C. 1 1 2 2 2 3a b c D. 2 2 1 3 3 2a b c 【答案】B 【解析】 MN =ON - OM = 1 2 ( OB +OC )- 2 3 OA = (b+c)- a=- a+ b+ c. 故选 B 4.在平行六面体 1 1 1 1ABCD A BC D ,设 1AA a , ABb , AD c , M N P, , 分别是 1AA , , 11CD 的中点,则 1MP NC( ) A. 3 1 3 2 2 2a b c B. 1 2ac C. 11 22a b c D. 3 1 1 2 2 2a b c 【答案】A 【解析】如图 1111 11 11 11111 22222MP MDD P MAA DD CAAADABa cb  1111 111 222NCNCCCBCAAADAAca 1 111313 222222MPNCacbcaabc 故选 A 5.在长方体 1 111ABCDA BC D 中, AB a , ADb , 1AA c , E 是 1BB 中点,则 1DE ( ) A. 1 2abc B. 2a b c C. 1 2bac D. 2c a b 【答案】A 【解析】 长方体 1 111ABCDA BC D 中, ABa , ADb , 1AA c , 是 1BB 中点, 11D A AD b     , 11A B AB a, 1 1 1 111 222B E BB AA c      又 1111111DEDAA BBE , 1 1 2DEabc , 故选 A. 6.在平行六面体 ABCD-A′B′C′D′中,若 '23'ACxAByBCzCC ,则 x+y+z 等于( ) A.11 6 B. 7 6 C. 5 6 D. 2 3 【答案】B 【 解 析 】 由 图 可 知 '''ACACCCABBCCC ,又 , 可 得 111,, 23xyz ,则 7 6x y z   . 故选 B 7.在三棱锥OABC 中, D 是 BC 的中点,则直 AD  ( ) A. 11 22OA OB OC B. 11 22OA OB OC C. 11 22OAOBOC D. 11 22OA OB OC 【答案】C 【解析】  111 222AD OD OAOC OB OA OA OB OC     故选 C 8.如图,平行六面体 1 1 1 1ABCD A BC D 中, AC 与 BD 的交点为 M ,设 ABa , ADb , 1AA c ,则下列选项中与向量 1MC 相等的是( ) A. 11 22a b c   B. 11 22a b c C. 11 22a b c D. 11 22a b c 【答案】B 【解析】如图所示, 11MCMCCC, 1 2M CC A , A C A B A D , A B a , A D b , 1C C c  ,  111 11 2 11 2 22 1 2MCABCCABADADb CC ac  , 故选 B . 9.如图,在空间四边形 ABCD 中,E,M,N 分别是边 BC,BD,CD 的中点,DE,MN 交于 F 点,则 11 22AB AC EF   ( ) A. AD B. AF C. FA D. EM 【答案】B 【解析】 E 是边 BC 的中点,  11 22ABACAE; 11 22AB AC EF AE EF AF     ; 故选 B . 10.三棱锥 O A B C 中,点 D 在棱 BC 上,且 2B D D C ,则 AD uuuv为( ) A. 21 33ADOAOBOC B. 21 33ADOAOBOC C. 12 33ADOAOBOC D. 12 33ADOAOBOC 【答案】D 【解析】由题得: AD = AOODAOOBBD =  22 33AO OB BC OA OB OC OB       = 12 33OAOBOC 故选 D 11.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,向量 1DA, 1DC , 11AC 是( ) A.有相同起点的向量 B.等长向量 C.共面向量 D.不共面向量 【答案】C 【解析】如图所示,因为 11D CDAAC,而 11ACA C , 1111D CD AAC ,即 1111D CDAAC 由于 1DA与 11AC 不共线,所以 1DA, 1DC , 11AC 三向量共面. 故选 C. 12.如图所示,在平行六面体 1 1 1 1ABCD A BC D 中, ABa , ADb , 1AAc , M 是 1DD的中 点,点 N 是 1AC 上的点,且 1 1 3ANAC ,用 ,,abc表示向量 MN 的结果是( ) A. 1 2 abc B. 1 1 4 5 5 5a b c C. 1 3 1 5 1 0 5a b c D. 1 2 1 3 3 6a b c 【答案】D 【解析】连接 1CM, 1 1 3ANAC , 可得: 11 2 3CNCA ,  111ACAAACAAADABcab ,  11 2 2 2 2 3 3 3 3C N C A c a b     , 又 1 1 2C M a c   , 11MNCNC M 2 2 2 1 3 3 3 2c a b a c       1 2 1 3 3 6a b c 121 336abN cM  , 故选 D. 二、填空题 13.给出以下结论: ①空间任意两个共起点的向量是共面的; ②两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量; ③空间向量的加法满足结合律:    abcabc ; ④首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量. 请将正确的说法题号填在横线上:__________. 【答案】①③④ 【解析】①中,两个向量共起点,与两向量终点共有 3 个点,则 点共面,可知两向量共面,①正 确; ②中,两个相等向量需大小相等,方向相同,②错误; ③中,空间向量加法满足结合律,③正确; ④中,由向量加法的三角形法则可知④正确. 故填①③④ 14.在正方体 1111ABCDA BC D 中,若 1BDxADy ABz AA ,则 x y z的值为__________. 【答案】0 【解析】由题意可知 BDADAB. 又 1BDxADy ABz AA ,所以 1 y 1,z 0x    , . 所以 1 1 0 0x y z      . 故填 0. 15.在四面体OABC 中, ,,OA a OB b OC c   , D 为 BC 的中点, E 为 AD 的中点,则OE =_________.(用 ,,abc表示) 【答案】 1 1 1 2 4 4a b c 【解析】∵在四面体 O A B C 中, ,,OAaOBbOCc , D 为 BC 的中点, E 为 AD 的中点 ∴    1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 4 4 OA ODOE OA OD a OB OC a b c           故填 1 1 1 2 4 4a b c 16.在正方体 中,给出以下向量表达式: ① ;② ; ③ ;④ . 其中能够化简为向量 的是________. 【答案】①② 【解析】①中, ; ②中, ; ③中, ; ④中, . 故填①② 17.如图所示,M,N 分别是四面体 OABC 的棱 OA,BC 的中点,P,Q 是 MN 的三等分点,用向量 ,,OAOBOC 表示 OP 和 OQ ,则 =OP __________________; =OQ ____________________ 【答案】 1 1 1 6 3 3OA OB OC; 1 1 1 3 6 6OA OB OC 【解析】 1 2 1 2 ()2 3 2 3OP OM MP OA MN OA ON OM       121121111 ()232632633OAONOAOAOBOCOAOBOC ; 1111 ()2323OQOMMQOAMNOAONOM 111111111 ()232332366OAONOAOAOBOCOAOBOC . 故填 111 633OAOBOC; 111 366OAOBOC 18.在空间四边形 ABCD 中,连接 AC、BD,若 BCD 是正三角形,且 E 为其中心,则 13 22ABBCDEAD 的化简结果为________. 【答案】 0 【解析】如图,取 BC 的中点 F,连结 DF,则 2 3D F D E , ∴ 13 22ABBCDEAD ABBFDFDA A F F D D A   0 . 故填 0 三、解答题 19.如图,平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 是 AD1 中点, N 是 BD 中点,判断 MN 与 1DC 是否共 线? 【解析】∵M,N 分别是 AD1,BD 的中点,四边形 ABCD 为平行四边形, 连结 AC,则 N 为 AC 的中点. ∴ MN = AN AM 1 11 22AC AD  1 1 2 AC AD 1 1 2 DC . ∴ 与 1DC共线. 20.如图所示,已知斜三棱柱 111A B C A BC ,点 M , N 分别在 1AC 和 BC 上,且满足 1AM k AC , (0 1)BN kBC k 剟 ,判断向量 MN 是否与向量 AB , 1AA 共面. 【解析】 ()(1)ANABBNABkACABkABk AC . 11()AMk ACkAAAC , 1(1 )MN AN AM k AB k AA     , 由共面向量定理知向量 MN 与向量 AB , 1AA 共面. 21.如图,已知 ,,,,,,,,OABCDEFGH 为空间的 9 个点,且 ,,OEkOAOFkOBOHkOD , ,,0,0ACADmABEGEHmEFkm ,求证: (1) ,,,ABCD 四点共面, ,,,EFGH 四点共面; (2) //ACEG ; (3)OGkOC . 【解析】证明:(1) ,0ACADmAB m ,∴A、B、C、D 四点共面. ,0EG EH mEF m   ,∴E、F、G、H 四点共面. (2) ( ) ( ) lon( )EG EH mEF OH OE m OF OE k OD OA OB OA          (),/ /k AD kmAB k AD mAB k AC AC EG . (3) ()OG OE EG kOA k AC k OA AC kOC       . 22.如图所示,若 P 为平行四边形 ABCD 所在平面外一点,点 H 为 PC 上的点,且 1 2 PH HC  ,点 G 在 AH 上,且 AG AH =m,若 G,B,P,D 四点共面,求 m 的值. 【解析】连接 BD,BG. ∵ AB = PB - PA , AB = DC ,∴ DC = PB - PA , ∵ PC = PD + DC ,∴ PC = PD + PB - PA =- PA + PB + PD . ∵ 1 2 PH HC  ,∴ PH = 1 3 PC ,∴ PH = 1 3 (- PA + PB + PD )= 1 3 PA + 1 3 PB + 1 3 PD . 又∵ AH = PH - PA ,∴ AH = 4 3 PA + 1 3 PB + 1 3 PD , ∵ AG AH =m,∴ AG =m·AH = 4 3 m PA + 3 m PB + 3 m PD , ∵ BG =- AB + AG = PA - PB + AG , ∴ BG =(1 4 3 m ) PA +( 3 m -1) PB + 3 m PD . 又∵G,B,P,D 四点共面,∴1 4 3 m =0,m= 3 4 . 即 m 的值是 3 4 .