【数学】2020届一轮复习人教B版解析几何作业(3) 5页

‎(六十)‎ ‎1．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　)‎ A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　若两直线平行，则a(a＋1)＝2，即a2＋a－2＝0，∴a＝1或－2，故a＝1是两直线平行的充分不必要条件．‎ ‎2．若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为(　　)‎ A．－12 B．－2‎ C．0 D．10‎ 答案　A 解析　由2m－20＝0，得m＝10.‎ 由垂足(1，p)在直线mx＋4y－2＝0上，得10＋4p－2＝0.‎ ‎∴p＝－2.‎ 又垂足(1，－2)在直线2x－5y＋n＝0上，则解得n＝－12.‎ ‎3．若l1：x＋(1＋m)y＋(m－2)＝0，l2：mx＋2y＋6＝0平行，则实数m的值是(　　)‎ A．m＝1或m＝－2　　　 B．m＝1‎ C．m＝－2 D．m的值不存在 答案　A 解析　方法一：据已知若m＝0，易知两直线不平行，若m≠0，则有＝≠⇒m＝1或m＝－2.‎ 方法二：由1×2＝(1＋m)m，得m＝－2或m＝1.‎ 当m＝－2时，l1：x－y－4＝0，l2：－2x＋2y＋6＝0，平行．‎ 当m＝1时，l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y＋6＝0，平行．‎ ‎4．(2019·临川一中)直线kx－y＋2＝4k，当k变化时，所有直线都通过定点(　　)‎ A．(0，0)　　　　　　　 B．(2，1)‎ C．(4，2) D．(2，4)‎ 答案　C 解析　直线方程可化为k(x－4)－(y－2)＝0，所以直线恒过定点(4，2)．‎ ‎5．(2019·保定模拟)分别过点A(1，3)和点B(2，4)的直线l1和l2互相平行且有最大距离，则l1的方程是(　　)‎ A．x－y－4＝0 B．x＋y－4＝0‎ C．x＝1 D．y＝3‎ 答案　B 解析　连接AB，当l1与l2分别与AB垂直时，l1与l2之间有最大距离且d＝|AB|，此时kAB＝1，∴kl1＝－1，则y－3＝－(x－1)，即x＋y－4＝0.‎ ‎6．光线沿直线y＝2x＋1射到直线y＝x上，被y＝x反射后的光线所在的直线方程为(　　)‎ A．y＝x－1 B．y＝x－ C．y＝x＋ D．y＝x＋1‎ 答案　B 解析　由得即直线过(－1，－1)．‎ 又直线y＝2x＋1上一点(0，1)关于直线y＝x对称的点(1，0)在所求直线上，‎ ‎∴所求直线方程为＝，即y＝－.‎ ‎7．点A(1，1)到直线xcosθ＋ysinθ－2＝0的距离的最大值是(　　)‎ A．2 B．2－ C．2＋ D．4‎ 答案　C 解析　由点到直线的距离公式，得d＝＝2－sin(θ＋)，又θ∈R，‎ ‎∴dmax＝2＋.‎ ‎8．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为(　　)‎ A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0‎ C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0‎ 答案　A 解析　令y′＝4x3＝4，得x＝1，∴切点为(1，1)，l的斜率为4.故l的方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.‎ ‎9．(2019·江西赣州模拟)若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0，l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为(　　)‎ A．3 B．2 C．3 D．4 答案　A 解析　由题意知，点M所在直线与l1，l2平行且与两直线距离相等．‎ 设该直线的方程为x＋y＋c＝0，则＝，解得c＝－6.点M在直线x＋y－6＝0上．点M到原点的最小值就是原点到直线x＋y－6＝0的距离，即d＝＝3.故选A.‎ ‎10．(2019·江西师大附中月考)复数z满足zi＝3＋4i，若复数在复平面内对应的点为M，则点M到直线3x－y＋1＝0的距离为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　由zi＝3＋4i，得z＝＝＝4－3i，∴＝4＋3i，∴在复平面内对应的点M(4，3)，∴所求距离d＝＝.‎ ‎11．(2019·青岛调考)三条直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0构成一个三角形，则k的取值范围是(　　)‎ A．k∈R B．k∈R且k≠±1，k≠0‎ C．k∈R且k≠±5，k≠－10 D．k∈R且k≠±5，k≠1‎ 答案　C 解析　由l1∥l3，得k＝5；由l2∥l3，得k＝－5；由x－y＝0与x＋y－2＝0，得若(1，1)在l3上，则k＝－10.若l1，l2，l3能构成一个三角形，则k≠±5且k≠－10，故选C.‎ ‎12．(2019·云南师大附中适应性月考)已知倾斜角为α的直线l与直线m：x－2y＋3＝0垂直，则cos2α＝________．‎ 答案　－ 解析　直线m：x－2y＋3＝0的斜率是，∵l⊥m，∴直线l的斜率是－2，故tanα＝－2，∴<α<，sinα＝，cosα＝－，∴cos2α＝2cos2α－1＝2×(－)2－1＝－.‎ ‎13．若函数y＝ax＋8与y＝－x＋b的图像关于直线y＝x对称，则a＋b＝________．‎ 答案　2‎ 解析　直线y＝ax＋8关于y＝x对称的直线方程为x＝ay＋8，‎ 所以x＝ay＋8与y＝－x＋b为同一直线，故得所以a＋b＝2.‎ ‎14．已知点M(a，b)在直线3x＋4y＝15上，则的最小值为________．‎ 答案　3‎ 解析　∵M(a，b)在直线3x＋4y＝15上，∴3a＋4b＝15.而的几何意义是原点到M点的距离|OM|，所以()min＝＝3.‎ ‎15．已知直线l过点P(3，4)且与点A(－2，2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为________．‎ 答案　2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0‎ 解析　设所求直线方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，由已知，得 ＝.‎ ‎∴k＝2或k＝－. ∴所求直线l的方程为2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0.‎ ‎16.如图所示，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是________．‎ 答案　2 解析　由题意，求出P关于直线x＋y＝4及y轴的对称点分别为P1(4，2)，P2(－2，0)，由物理知识知，光线所经路程即为|P1P2|＝2.‎ ‎17．在△ABC中，BC边上的高所在直线l1的方程为x－2y＋1＝0，∠A的平分线所在的直线l2的方程为y＝0，若点B的坐标为(1，2)，求点A，C的坐标．‎ 答案　A(－1，0)，C(5，－6)‎ 解析　如图，设C(x0，y0)，由题意知l1∩l2＝A，则⇒ 即A(－1，0)．‎ 又∵l1⊥BC，∴kBC·kl1＝－1. ∴kBC＝＝＝－2.‎ ‎∴由点斜式可得BC的直线方程为y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0.‎ 又∵l2：y＝0(x轴)是∠A的平分线，‎ ‎∴B关于l2的对称点B′在直线AC上，易得B′点的坐标为(1，－2)，由两点式可得直线AC的方程为x＋y＋1＝0.‎ 由C(x0，y0)在直线AC和BC上，可得⇒即C(5，－6)．‎ ‎18．设一直线l经过点(－1，1)，此直线被两平行直线l1：x＋2y－1＝0和l2：x＋2y－3＝0所截得线段的中点在直线x－y－1＝0上，求直线l的方程．‎ 答案　2x＋7y－5＝0‎ 解析　方法一：设直线x－y－1＝0与l1，l2的交点为C(xC，yC)，D(xD，yD)，则 ⇒∴C(1，0)．‎ ⇒∴D(，)．‎ 则C，D的中点M为(，)．‎ 又l过点(－1，1)，由两点式得l的方程为＝，即2x＋7y－5＝0为所求方程．‎ 方法二：∵与l1，l2平行且与它们的距离相等的直线方程为x＋2y＋＝0，即x＋2y－2＝0.‎ 由得M(，)．(以下同方法一)‎ 方法三：过中点且与两直线平行的直线方程为x＋2y－2＝0，‎ 设所求方程为(x－y－1)＋λ(x＋2y－2)＝0，‎ ‎∵(－1，1)在此直线上，∴－1－1－1＋λ(－1＋2－2)＝0，∴λ＝－3，代入所设得2x＋7y－5＝0.‎ 方法四：设所求直线与两平行线l1，l2的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ⇒(x1＋x2)＋2(y1＋y2)－4＝0.‎ 又A，B的中点在直线x－y－1＝0上，∴－－1＝0.‎ 解得(以下同方法一)‎