【数学】2020届一轮复习人教B版（文）第八章36空间点、线、面的位置关系作业 9页

‎【课时训练】空间点、线、面的位置关系 一、选择题 ‎1．(2018佛山模拟)设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，a⊂α，b⊥β，则“α∥β”是“a⊥b”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】若a⊂α，b⊥β，α∥β，则由α∥β，b⊥β⇒b⊥α，‎ 又a⊂α，所以a⊥b；若a⊥b，a⊂α，b⊥β，‎ 则b⊥α或b∥α，此时α∥β或α与β相交，‎ 所以“α∥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选A.‎ ‎2．(2018福州质检)在三棱柱ABC－A1B‎1C1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与直线A1B1、EF、BC都相交的直线(　　)‎ A．不存在 ‎ B．有且只有两条 C．有且只有三条 ‎ D．有无数条 ‎【答案】D ‎【解析】在EF上任意取一点M，直线A1B1与M确定一个平面，这个平面与BC有且仅有1个交点N，当M的位置不同时确定不同的平面，从而与BC有不同的交点N，而直线MN与A1B1，EF，BC分别有交点P，M，N，如图，故有无数条直线与直线A1B1，EF，BC都相交．‎ ‎3．(2018南昌二模)对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l(　　)‎ A．平行 B．相交 C．垂直 D．互为异面直线 ‎【答案】C ‎【解析】不论l∥α，l⊂α，还是l与α相交，α内都有直线m，使得m⊥l.‎ ‎4．(2018广州模拟)在四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF与HG交于点M，则(　　)‎ A．M一定在直线AC上 B．M一定在直线BD上 C．M可能在AC上，也可能在BD上 D．M既不在AC上，也不在BD上 ‎【答案】A ‎【解析】由于EF∩HG＝M，且EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，所以点M为平面ABC与平面ACD的一个公共点．而这两个平面的交线为AC，所以点M一定在直线AC上．故选A.‎ ‎5．(2018余姚模拟)下列命题中，正确的是(　　)‎ A．若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线 B．若a，b是两条直线，且a∥b，则直线a平行于经过直线b的所有平面 C．若直线a与平面α不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行 D．若直线a∥平面α，点P∈α，则平面α内经过点P且与直线a平行的直线有且只有一条 ‎【答案】D ‎【解析】对于A，当α∥β，a，b分别为第三个平面γ与α，β的交线时，由面面平行的性质可知a∥b，故A错误．‎ 对于B，设a，b确定的平面为α，显然a⊂α，故B错误．‎ 对于C，当a⊂α时，直线a与平面α内的无数条直线都平行，故C错误．易知D正确．故选D.‎ ‎6．(2018江西七校联考)已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是(　　)‎ A．相交或平行 ‎ B．相交或异面 C．平行或异面 ‎ D．相交、平行或异面 ‎【答案】D ‎【解析】依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面．‎ ‎7．(2018合肥质检)已知l，m，n为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列判断正确的是(　　)‎ A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n C．若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥l D．若α∩β＝m，α∩γ＝n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α ‎【答案】C ‎【解析】m，n可能的位置关系为平行，相交，异面，故A错误；根据面面垂直与线面平行的性质可知B错误；根据线面平行的性质可知C正确；若m∥n，根据线面垂直的判定可知D错误，故选C.‎ ‎8．(2018江西六校联考)四棱锥P－ABCD的所有侧棱长都为，‎ 底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与PA所成角的余弦值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】B ‎【解析】因为四边形ABCD为正方形，故CD∥AB，则CD与PA所成的角即为AB与PA所成的角，即为∠PAB.在△PAB内，PB＝PA＝，AB＝2，利用余弦定理可知cos∠PAB＝＝＝，故选B.‎ 二、填空题 ‎9．(2018福建六校联考)设a，b，c是空间中不重合的三条直线，下面给出四个命题：‎ ‎①若a∥b，b∥c，则a∥c；‎ ‎②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；‎ ‎③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；‎ ‎④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．‎ 上述命题中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)．‎ ‎【答案】①‎ ‎【解析】由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错．‎ ‎10．(2018南昌高三期末)如图，在直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，底面为直角三角形．∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝，P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值为________．‎ ‎【答案】5 ‎【解析】连接A1B，将△A1BC1与△CBC1同时展平形成一个平面四边形A1BCC1，则此时对角线CP＋PA1＝A‎1C达到最小，在等腰直角三角形△BCC1中，BC1＝2，∠CC1B＝45°，在△A1BC1中，A1B＝＝2，A‎1C1＝6，BC1＝2，∴A‎1C＋BC＝A1B2，即∠A‎1C1B＝90°.对于展开形成的四边形A1BCC1，在△A‎1C1C中，C‎1C＝，A‎1C1＝6，∠A‎1C1C＝135°，由余弦定理有CP＋PA1＝A‎1C＝＝＝5.‎ ‎11．(2018深圳调研)如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，‎ ‎①GH与EF平行；‎ ‎②BD与MN为异面直线；‎ ‎③GH与MN成60°角；‎ ‎④DE与MN垂直．‎ 以上四个命题中，正确命题的序号是________．‎ ‎【答案】②③④‎ ‎【解析】把正四面体的平面展开图还原，如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.‎ ‎12．(2018郑州质检)如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A‎1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是________．‎ ‎①BM是定值；‎ ‎②点M在某个球面上运动；‎ ‎③存在某个位置，使DE⊥A‎1C；‎ ‎④存在某个位置，使MB∥平面A1DE.‎ ‎【答案】③‎ ‎【解析】取DC的中点F，连接MF，BF，MF∥A1D且MF＝A1D，FB∥ED且FB＝ED，所以∠MFB＝∠A1DE.由余弦定理可得MB2＝MF2＋FB2－2MF·FB·cos∠MFB是定值，所以M是在以B为圆心，MB为半径的球上，可得①②正确；由MF∥A1D与FB∥ED可得平面MBF∥平面A1DE，可得④正确；A‎1C在平面ABCD中的投影与AC重合，AC与DE不垂直，可得③不正确．‎ 三、解答题 ‎13．(2018长春一模)已知几何体A－BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，求异面直线DE与AB所成角的余弦值．‎ ‎【解】如图，取EC的中点F，连接BF，AF，则BF∥DE，　‎ ‎∴∠FBA为异面直线DE与AB所成的角或其补角．‎ 在△BAF中，AB＝4，BF＝AF＝2，‎ 则cos∠FBA＝，　‎ ‎∴异面直线DE与AB所成角的余弦值为.‎ ‎14．(2018江西宜春模拟)如图所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．‎ ‎(1)求证AE与PB是异面直线；‎ ‎(2)求异面直线AE与PB所成角的余弦值．‎ ‎(1)【证明】假设AE与PB共面，设平面为α，∵A∈α，B∈α，E∈α，∴平面α即为平面ABE.∴P∈平面ABE.‎ 这与P∉平面ABE矛盾，∴AE与PB是异面直线．‎ ‎(2)【解】如图，取BC的中点F，连接EF，AF，则EF∥PB，所以∠AEF(或其补角)就是异面直线AE与PB所成的角．‎ ‎∵∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC，‎ ‎∴AF＝，AE＝，‎ EF＝，cos∠AEF＝＝＝.‎ 故异面直线AE与PB所成角的余弦值为.‎