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- 2021-06-16 发布
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限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)
A级 基础夯实练
1.(2018·北京东城区二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=3,a5=5,则S7的值是( )
A.30 B.29
C.28 D.27
解析:选C.由题意,设等差数列的公差为d,则d==1,故a4=a3+d=4,所以S7===7×4=28.故选C.
2.(2018·唐山统考)等差数列{an}的前n项和为Sn,若S11=22,则a3+a7+a8等于( )
A.18 B.12
C.9 D.6
解析:选D.由题意得S11===22,即a1+5d=2,所以a3+a7+a8=a1+2d+a1+6d+a1+7d=3(a1+5d)=6,故选D.
3.在等差数列{an}中,a1=-2 017,其前n项和为Sn,若-=2,则S2 020=( )
A.2 020 B.-2 020
C.4 040 D.-4 040
解析:选C.设等差数列{an}的前n项和为Sn=An2+Bn,则=
An+B,∴是等差数列.∵-=2,∴的公差为1,又==-2 017,∴是以-2 017为首项,1为公差的等差数列,∴=-2 017+2 019×1=2,∴S2 020=4 040.故选C.
4.(2018·山西太原模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)(n∈N*)在函数y=x2-10x的图象上,等差数列{bn}满足bn+bn+1=an(n∈N*),其前n项和为Tn,则下列结论正确的是( )
A.Sn<2Tn B.b4=0
C.T7>b7 D.T5=T6
解析:选D.因为点(n,Sn)(n∈N*)在函数y=x2-10x的图象上,所以Sn=n2-10n,所以an=2n-11,又bn+bn+1=an(n∈N*),数列{bn}为等差数列,设公差为d,所以2b1+d=-9,2b1+3d=-7,解得b1=-5,d=1,所以bn=n-6,所以b6=0,所以T5=T6,故选D.
5.(2018·江西南昌模拟)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为( )
A.1升 B.升
C.升 D.升
解析:选B.设该等差数列为{an},公差为d,
由题意得即
解得
∴a5=+4×=.故选B.
6.(2018·山东五校联考)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题:
p1:数列{an}是递增数列;p2:数列{nan}是递增数列;
p3:数列{}是递增数列;p4:数列{an+3nd}是递增数列.
其中的真命题为( )
A.p1,p2 B.p3,p4
C.p2,p3 D.p1,p4
解析:选D.{an}是等差数列,则an=a1+(n-1)d=dn+a1-d,因为d>0,所以{an}是递增数列,故p1正确;对p2,举反例,令a1=-3,a2=-2,d=1,则a1>2a2,故{nan}不是递增数列,p2不正确;=d+,当a1-d>0时,{}递减,p3不正确;an+3nd=4nd+a1-d,4d>0,{an+3nd}是递增数列,p4正确.故p1,p4是正确的,选D.
7.(2018·揭阳质检)数列{an}的首项为3,{bn}为等差数列且bn=an+1-an(n∈N*),若b3=-2,b10=12,则a8等于( )
A.0 B.3
C.8 D.11
解析:选B.∵{bn}为等差数列,设其公差为d,
由b3=-2,b10=12,
∴7d=b10-b3=12-(-2)=14,∴d=2,
∵b3=-2,∴b1=b3-2d=-2-4=-6,
∴b1+b2+…+b7=7b1+d
=7×(-6)+21×2=0,
又b1+b2+…+b7=(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a8-a7)=a8-a1=a8-3,
∴a8-3=0,∴a8=3.故选B.
8.(2018·日照二模)若数列{an}满足a1=15,且3an+1=3an-2,则使ak·ak+1<0的k值为________.
解析:因为3an+1=3an-2,所以an+1-an=-,所以数列{an}是首项为15,公差为-的等差数列,所以an=15-·(n-1)=-n+,令an=-n+>0,得n<23.5,所以使ak·ak+1<0的k值为23.
答案:23
9.(2018·长春模拟)《张丘建算经》卷上第22题为:“今有女善织,日益功疾.初日织五尺,今一月日织九匹三丈.则月末日织几何?”其意思为今有女子善织布,且从第2天起,每天比前一天多织相同量的布.若第一天织5尺布,现在一个月(按30天计)共织390尺布,则该女最后一天织________尺布.
解析:由题意得,该女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列,设为{an},其中a1=5,前30项和为390,于是有=390,解得a30=21,即该女最后一天织21尺布.
答案:21
10.(2017·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和.已知S2=2,S3=-6.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.
解:(1)设{an}的公比为q,由题设可得
解得q=-2,a1=-2.
故{an}的通项公式为an=(-2)n.
(2)由(1)可得Sn==-+(-1)n·.
由于Sn+2+Sn+1=-+(-1)n·
=2=2Sn,
故Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.
B级 能力提升练
11.(2018·潍坊模拟)设Sn为等差数列{an}的前n项和,(n+1)Sn<nSn+1(n∈N*).若<-1,则( )
A.Sn的最大值是S8 B.Sn的最小值是S8
C.Sn的最大值是S7 D.Sn的最小值是S7
解析:选D.由已知条件得<,即<,所以an<an+1,所以等差数列{an}为递增数列.又<-1,所以a8>0,a7<0,即数列{an}前7项均小于0,第8项大于零,所以Sn的最小值为S7,故选D.
12.如图,点列{An},{Bn}分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,An≠An+2,n∈N*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+2,n∈N*(P≠Q表示点P
与Q不重合).若dn=|AnBn|,Sn为△AnBnBn+1的面积,则( )
A.{Sn}是等差数列 B.{S}是等差数列
C.{dn}是等差数列 D.{d}是等差数列
解析:选A.作A1C1,A2C2,A3C3,…,AnCn垂直于直线B1Bn,垂足分别为C1,C2,C3,…,Cn,则A1C1∥A2C2∥…∥AnCn.
∵|AnAn+1|=|An+1An+2|,
∴|CnCn+1|=|Cn+1Cn+2|.
设|A1C1|=a,|A2C2|=b,|B1B2|=c,
则|A3C3|=2b-a,…,|AnCn|=(n-1)b-(n-2)a(n≥3),
∴Sn=c[(n-1)b-(n-2)a]
=c[(b-a)n+(2a-b)],
∴Sn+1-Sn=c[(b-a)(n+1)+(2a-b)-(b-a)n-(2a-b)]=c(b-a),∴数列{Sn}是等差数列.
13.(2018·南充模拟)已知数列{an}为等差数列,若<-1,且它们的前n项和Sn有最大值,则使Sn>0的n的最大值为________.
解析:∵<-1,且Sn有最大值,
∴a10>0,a11<0,且a10+a11<0,
∴S19==19·a10>0,
S20==10(a10+a11)<0,
故使得Sn>0的n的最大值为19.
答案:19
14.(2018·山东菏泽二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,n∈N*,满足a1+a2=10,S5=40.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=|13-an|,求数列{bn}的前n项和Tn.
解:(1)设等差数列{an}的公差为d,
由题意知,a1+a2=2a1+d=10,
S5=5a3=40,即a3=8,所以a1+2d=8,
所以所以an=4+(n-1)·2=2n+2.
(2)令cn=13-an=11-2n,
bn=|cn|=|11-2n|=
设数列{cn}的前n项和为Qn,则Qn=-n2+10n.
当n≤5时,Tn=b1+b2+…+bn=Qn=-n2+10n.
当n≥6时,Tn=b1+b2+…+bn=c1+c2+…+c5-(c6+c7+…+cn)=-Qn+2Q5=n2-10n+2(-52+10×5)=n2-10n+50.
∴Tn=
15.(2018·惠州市二调)在公差不为0的等差数列{an}中,a1,a4,a8成等比数列.
(1)若数列{an}的前10项和为45,求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=,且数列{bn}的前n项和为Tn,若Tn=-,求数列{an}的公差.
解:(1)设数列{an}的公差为d(d≠0),
由a1,a4,a8成等比数列可得a=a1·a8,即(a1+3d)2=a1·(a1+7d),解得a1=9d.
由数列{an}的前10项和为45得10a1+45d=45,即90d+45d=45,所以d=,a1=3.
故数列{an}的通项公式为an=3+(n-1)×=.
(2)因为bn==,
所以数列{bn}的前n项和Tn=++…+=,
即Tn====-,
因此=1,解得d=-1或d=1.
故数列{an}的公差为-1或1.
C级 素养加强练
16.(2018·湘东五校联考)设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a5+a13=34,S3=9.
(1)求数列{an}的通项公式及前n项和公式;
(2)设数列{bn}的通项公式为bn=,问:是否存在正整数t,使得b1,b2,bm(m≥3,m∈N)成等差数列?若存在,求出t和m的值;若不存在,请说明理由.
解:(1)设{an}的公差为d,由题意得
解得a1=1,d=2,
故an=2n-1,Sn=n2.
(2)由(1)知bn=,
要使b1,b2,bm成等差数列,必须有2b2=b1+bm,
即2×=+,
移项得=-=,
整理得m=3+.
因为m,t为正整数,
所以t只能取2,3,5.
当t=2时,m=7;当t=3时,m=5;
当t=5时,m=4.
所以存在正整数t,使得b1,b2,bm成等差数列.