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- 2021-06-16 发布
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课时作业36 直接证明与间接证明
[基础达标]
一、选择题
1.要证明+<4可选择的方法有以下几种,其中最合理的为( )
A.综合法 B.分析法
C.比较法 D.归纳法
解析:要证明+<4,只需证明(+)2<16,即8+2<16,即证明<4,亦即只需证明15<16,而15<16显然成立,故原不等式成立.因此利用分析法证明较为合理,故选B.
答案:B
2.用反证法证明命题:“ a,b∈N,ab可被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”时,假设的内容应为( )
A.a,b都能被5整除 B.a,b都不能被5整除
C.a,b不都能被5整除 D.a不能被5整除
解析:“至少有一个”的否定是“一个也没有”,即“a,b都不能被5整除”.
答案:B
3.设x,y,z∈R+,a=x+,b=y+,c=z+,则a,b,c三个数( )
A.至少有一个不大于2 B.都小于2
C.至少有一个不小于2 D.都大于2
解析:假设a,b,c都小于2,则a+b+c<6,而a+b+c=x++y++z+=(x+)+(y+)+(z+)≥2+2+2=6,与a+b+c<6矛盾,
∴a,b,c都小于2错误.
∴a,b,c三个数至少有一个不小于2.故选C项.
答案:C
4.若P=+,Q=+(a≥0),则P,Q的大小关系是( )
A.P>Q B.P=Q
C.P
Q,要证P>Q,只需证P2>Q2,只需证: 2a+13+2>2a+13+2,只需证a2+13a+42>a2+13a+40,只需证42>40,因为42>40成立,所以P>Q成立. 答案:A 5.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,若x1+x2>0,则f(x1)+f(x2)的值( ) A.恒为负值 B.恒等于零 C.恒为正值 D.无法确定正负 解析:由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,可知f(x)是R上的单调递减函数,由x1+x2>0,可知x1>-x2,f(x1)a+b,则a,b应满足的条件是________. 解析:a+b>a+b,即(-)2(+)>0,需满足a≥0,b≥0且a≠b. 答案:a≥0,b≥0且a≠b 7.若向量a=(x+1,2),b=(4,-2),若a∥b,则实数x=________. 解析:因为a∥b, 所以(x+1)×(-2)=2×4, 解得x=-5. 答案:-5 8.[2020·太原模拟]用反证法证明“若x2-1=0,则x=-1或x=1”时,应假设__________________. 解析:“x=-1或x=1”的否定是“x≠-1且x≠1”. 答案:x≠-1且x≠1 三、解答题 9.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin Asin B+sin Bsin C+cos 2B=1.求证:a,b,c成等差数列. 证明:由已知得sin Asin B+sin Bsin C=2sin2B, 因为sin B≠0,所以sin A+sin C=2sin B, 由正弦定理,有a+c=2b,即a,b,c成等差数列. 10.已知a,b是正实数,求证+≥+. 证明:证法一 (作差法)因为a,b是正实数,所以+--=+ = =≥0, 所以+≥+. 证法二 (分析法)已知a,b是正实数, 要证+≥+, 只需证a+b≥(+), 即证(a+b-)(+)≥(+), 即证a+b-≥, 就是要证a+b≥2. 显然a+b≥2恒成立,所以+≥+. 证法三 (综合法)因为a,b是正实数, 所以+++≥2+2=2+2, 当且仅当a=b时取等号,所以+≥+. 证法四 (综合法)因为a,b是正实数, 所以(+)=a+b++≥a+b+2=a+b+2=(+)2, 当且仅当a=b时取等号, 所以+≥+. [能力挑战] 11.若a,b,c均为实数,且a=x2-2y+,b=y2-2z+,c=z2-2x+.求证:a,b,c中至少有一个大于0. 证明:假设a,b,c都不大于0, 即a≤0,b≤0,c≤0, 所以a+b+c≤0. 而a+b+c =++ =(x2-2x)+(y2-2y)+(z2-2z)+π =(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3. 所以a+b+c>0,这与a+b+c≤0矛盾,故a,b,c中至少有一个大于0.