【数学】2020届一轮复习（理）通用版考点测试50两条直线的位置关系与距离公式作业 10页

考点测试50　两条直线的位置关系与距离公式 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 高考概览 考纲研读 ‎1．能根据两直线方程判断这两条直线平行或垂直 ‎2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标 ‎3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离 一、基础小题 ‎1．过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(　　)‎ A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0‎ C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0‎ 答案　A 解析　设直线方程为x－2y＋c＝0(c≠－2)，又该直线经过点(1，0)，故c＝－1，所求直线方程为x－2y－1＝0．故选A．‎ ‎2．若点P(a，b)与Q(b－1，a＋1)关于直线l对称，则直线l的倾斜角α为(　　)‎ A．135° B．45° C．30° D．60°‎ 答案　B 解析　由题意知，PQ⊥l，∵kPQ＝＝－1，‎ ‎∴kl＝1，即tanα＝1，∴α＝45°．故选B．‎ ‎3．已知点A(1，－2)，B(m，2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是(　　)‎ A．－2 B．－‎7 C．3 D．1‎ 答案　C 解析　因为线段AB的中点，0在直线x＋2y－2＝0上，代入解得m＝3．‎ ‎4．已知直线x＋y－1＝0与直线2x＋my＋3＝0平行，则它们之间的距离是(　　)‎ A．1 B． C．3 D．4‎ 答案　B 解析　∵＝≠，∴m＝2，两平行线之间的距离d＝＝．故选B．‎ ‎5．已知点M是直线x＋y＝2上的一个动点，若点P的坐标为(，－1)，则|PM|的最小值为(　　)‎ A． B．‎1 C．2 D．3‎ 答案　B 解析　|PM|的最小值即点P(，－1)到直线x＋y＝2的距离，又＝1，故|PM|的最小值为1．选B．‎ ‎6．若直线l1：ax＋2y－8＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行，则实数a的值为(　　)‎ A．1 B．1或‎2 C．－2 D．1或－2‎ 答案　A 解析　直线l1的方程为y＝－x＋4．若a＝－1，显然两直线不平行，所以a≠－1；要使两直线平行，则有＝，解得a＝1或a＝－2．当a＝－2时，‎ 两直线重合，所以不满足条件，所以a＝1．故选A．‎ ‎7．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2恒过定点(　　)‎ A．(0，4) B．(0，2)‎ C．(－2，4) D．(4，－2)‎ 答案　B 解析　直线l1：y＝k(x－4)恒过定点(4，0)，其关于点(2，1)的对称点为(0，2)．又由于直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，故直线l2恒过定点(0，2)．‎ ‎8．若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为(　　)‎ A．3 B． C．3 D．2 答案　C 解析　点M在直线x＋y－6＝0上，到原点的最小距离等价于原点O(0，0)到直线x＋y－6＝0的距离，即d＝＝＝3．故选C．‎ ‎9．已知x，y满足x＋2y－5＝0，则(x－1)2＋(y－1)2的最小值为(　　)‎ A． B． C． D． 答案　A 解析　(x－1)2＋(y－1)2表示点P(x，y)到点Q(1，1)的距离的平方．由已知可得点P在直线l：x＋2y－5＝0上，所以|PQ|的最小值为点Q到直线l的距离，即d＝＝，所以(x－1)2＋(y－1)2的最小值为d2＝．故选A．‎ ‎10．已知△ABC的顶点A(5，1)，边AB上的中线CM所在直线的方程为2x－y－5＝0，边AC上的高BH所在直线的方程为x－2y－5＝0，则直线BC的方程为(　　)‎ A．2x＋y－11＝0 B．6x－5y－10＝0‎ C．5x－6y－9＝0 D．6x－5y－9＝0‎ 答案　D 解析　依题意知kAC＝－2，点A(5，1)，则直线AC的方程为2x＋y－11＝0，‎ 联立可得点C(4，3)．‎ 设B(x0，y0)，则AB的中点M为，，‎ 代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，‎ 所以解得点B(－1，－3)，故kBC＝，则直线BC的方程为y－3＝(x－4)，即6x－5y－9＝0．故选D．‎ ‎11．已知A(－2，1)，B(1，2)，点C为直线y＝x上的动点，则|AC|＋|BC|的最小值为(　　)‎ A．2 B．‎2 C．2 D．2 答案　C 解析　设B关于直线y＝x的对称点为B′(x0，y0)，则解得B′(2，－1)．由平面几何知识得|AC|＋|BC|的最小值即是|B′A|＝＝2．故选C．‎ ‎12．已知点A(－3，－4)，B(6，3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为________．‎ 答案　－或－ 解析　由题意及点到直线的距离公式得＝，解得a＝－或－．‎ 二、高考小题 ‎13．(2016·全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝(　　)‎ A．－ B．－ C． D．2‎ 答案　A 解析　圆的方程可化为(x－1)2＋(y－4)2＝4，则圆心坐标为(1，4)，圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为＝1，解得a＝－．故选A．‎ ‎14．(2015·山东高考)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2‎ ‎＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　)‎ A．－或－ B．－或－ C．－或－ D．－或－ 答案　D 解析　如图，作出点P(－2，－3)关于y轴的对称点P0(2，－3)．由题意知反射光线与圆相切，其反向延长线过点P0．故设反射光线为y＝‎ k(x－2)－3，即kx－y－2k－3＝0．∴圆心到直线的距离 d＝＝1，解得k＝－或k＝－．故选D．‎ ‎15．(2015·广东高考)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是(　　)‎ A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0‎ B．2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0‎ C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0‎ D．2x－y＋＝0或2x－y－＝0‎ 答案　A 解析　设与直线2x＋y＋1＝0平行的直线方程为2x＋y＋m＝0(m≠1)，因为直线2x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝5相切，即点(0，0)到直线2x＋y＋m＝0的距离为，所以＝，|m|＝5．故所求直线的方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0．故选A．‎ ‎16．(经典重庆高考)已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________．‎ 答案　4± 解析　由△ABC为等边三角形可得，C到AB的距离为，即(1，a)到直线ax＋y－2＝0的距离d＝＝，即a2－‎8a＋1＝0，可求得a＝4±．‎ 三、模拟小题 ‎17．(2018·福建闽侯六中模拟)“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与(m－2)x＋(m＋2)y＝0互相垂直”是“m＝”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　若直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与(m－2)x＋(m＋2)y＝0互相垂直，则(m＋2)(m－2)＋‎3m(m＋2)＝0，解得m＝－2或m＝，即“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与(m－2)x＋(m＋2)y＝0互相垂直”是“m＝”的必要不充分条件．‎ ‎18．(2018·天津一中模拟)已知直线x＋a2y＋6＝0与直线(a－2)x＋3ay＋‎2a＝0平行，则a的值为(　　)‎ A．0或3或－1 B．0或3‎ C．3或－1 D．0或－1‎ 答案　D 解析　由题意知1×‎3a－a2(a－2)＝0，即a(a2－‎2a－3)＝0，∴a＝0，a＝－1或a＝3，经验证当a＝3时，两直线重合．故选D．‎ ‎19．(2018·广西陆川模拟)光线沿着直线y＝－3x＋b射到直线x＋y＝0上，经反射后沿着直线y＝ax＋2射出，则有(　　)‎ A．a＝，b＝6 B．a＝－，b＝－6‎ C．a＝3，b＝－ D．a＝－3，b＝ 答案　B 解析　由题意，直线y＝－3x＋b与直线y＝ax＋2关于直线y＝－x对称，故直线y＝ax＋2上点(0，2)关于y＝－x的对称点(－2，0)在直线y＝－3x＋b上，∴b＝－6，y＝－3x－6上的点(0，－6)，关于直线y＝－x对称点(6，0)在直线y＝ax ‎＋2上，∴a＝－，故选B．‎ ‎20．(2018·杭州月考)已知P1(a1，b1)与P2(a2，b2)是直线y＝kx＋1(k为常数)上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是(　　)‎ A．无论k，P1，P2如何，总是无解 B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解 C．存在k，P1，P2，使之恰有两解 D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解 答案　B 解析　由题意，直线y＝kx＋1一定不过原点O，P1，P2是直线y＝kx＋1上不同的两点，则与不平行，因此a1b2－a2b1≠0，所以二元一次方程组 一定有唯一解．故选B．‎ ‎21．(2018·湖北孝感五校联考)已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4，2)，(3，1)，则点C的坐标为(　　)‎ A．(－2，4) B．(－2，－4)‎ C．(2，4) D．(2，－4)‎ 答案　C 解析　设A(－4，2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则解得 ‎∴BC所在直线方程为y－1＝(x－3)，即3x＋y－10＝0．‎ 联立解得则C(2，4)．故选C．‎ ‎22．(2018·百校联盟TOP20联考)我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长．这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就，现作出圆x2＋y2＝2的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为(　　)‎ A．x＋(－1)y－＝0‎ B．(1－)x－y＋＝0‎ C．x－(＋1)y＋＝0‎ D．(－1)x－y＋＝0‎ 答案　C 解析　如图所示，可知A(，0)，B(1，1)，C(0，)，D(－1，1)，所以直线AB，BC，CD的方程分别为y＝(x－)，y＝(1－)x＋，y＝(－1)x＋，整理成一般式为x＋(－1)y－＝0，(1－)x－y＋＝0，(－1)x－y＋＝0，分别对应题中的A，B，D选项．故选C．‎ ‎23．(2018·北京西城区月考)已知l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，则直线l1的方程是________．‎ 答案　x＋2y－3＝0‎ 解析　当直线AB与l1，l2垂直时，l1，l2间的距离最大．因为A(1，1)，B(0，－1)，所以kAB＝＝2，所以两平行直线的斜率为k＝－，所以直线l1的方程是y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0．‎ ‎24．(2018·河南焦作调研)著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：‎ 可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得f(x)＝＋的最小值为________．‎ 答案　5 解析　∵f(x)＝＋＝‎ ＋，∴f(x)的几何意义为点M(x，0)到两定点A(－2，4)与B(－1，3)的距离之和，设点A(－2，4)关于x轴的对称点为A′，则A′为(－2，－4)．要求f(x)的最小值，可转化为|MA|＋|MB|的最小值，利用对称思想可知|MA|＋|MB|≥|A′B|＝＝5，即f(x)＝＋的最小值为5．‎ 一、高考大题 本考点在近三年高考中未涉及此题型．‎ 二、模拟大题 ‎1．(2018·江西九江月考)已知直线l1：x＋a2y＋1＝0和直线l2：(a2＋1)x－by＋3＝0(a，b∈R)．‎ ‎(1)若l1∥l2，求b的取值范围；‎ ‎(2)若l1⊥l2，求|ab|的最小值．‎ 解　(1)因为l1∥l2，所以－b－(a2＋1)a2＝0，‎ 即b＝－a2(a2＋1)＝－a4－a2＝－2＋，‎ 因为a2≥0，所以b≤0．‎ 又因为a2＋1≠3，所以b≠－6．‎ 故b的取值范围是(－∞，－6)∪(－6，0]．‎ ‎(2)因为l1⊥l2，所以(a2＋1)－a2b＝0，显然a≠0，所以ab＝a＋，|ab|＝≥2，当且仅当a＝±1时等号成立，因此|ab|的最小值为2．‎ ‎2．(2018·湖北十堰模拟)已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，l2：4x－2y－1＝0和l3：x＋y－1＝0，且两平行直线l1与l2间的距离是．‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②P点到l1的距离是P点到l2的距离的；③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是∶．若能，求P点坐标；若不能，说明理由．‎ 解　(1)l2的方程可化为2x－y－＝0，‎ ‎∴l1与l2间的距离d＝＝，‎ ‎∴＝，∴a＋＝，‎ ‎∵a>0，∴a＝3．‎ ‎(2)能．‎ 假设存在满足题意的P点．‎ 设点P(x0，y0)，因为P点满足条件②，所以P点在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋C＝0上，其中C满足＝×，C≠3且C≠－，‎ 则C＝或C＝，‎ ‎∴2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0．‎ 因为P点满足条件③，‎ 所以由点到直线的距离公式得 ＝×，‎ 即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，‎ ‎∴x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0．‎ ‎∵P点在第一象限，‎ ‎∴3x0＋2＝0不满足题意．‎ 由解得(舍去)．‎ 由解得 ‎∴存在满足题意的P点，且P点的坐标为，．‎