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  • 2021-06-16 发布

【数学】2020届一轮复习(理)通用版考点测试24正弦定理和余弦定理作业

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考点测试24 正弦定理和余弦定理 ‎                    ‎ 高考概览 本考点是高考必考知识点,常考题型为选择题、填空题和解答题,分值5分、12分,中、低等难度 考纲研读 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题 一、基础小题 ‎1.在△ABC中,C=60°,AB=,BC=,那么A等于(  )‎ A.135° B.105° C.45° D.75°‎ 答案 C 解析 由正弦定理知=,即=,所以sinA=,又由题知0°a,B>A,角B有两个解,故选C.‎ 二、高考小题 ‎9.(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=(  )‎ A.4 B. C. D.2 答案 A 解析 因为cosC=2cos2-1=2×2-1=-,所以AB2=BC2+AC2-2BC×ACcosC=1+25-2×1×5×-=32,∴AB=4.故选A.‎ ‎10.(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为,则C=(  )‎ A. B. C. D. 答案 C 解析 由题可知S△ABC=absinC=,所以a2+b2-c2=2absinC.‎ 由余弦定理得a2+b2-c2=2abcosC,所以sinC=cosC.∵C∈(0,π),∴C=,故选C.‎ ‎11.(2017·山东高考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角形,且满足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是(  )‎ A.a=2b B.b=‎2a C.A=2B D.B=‎‎2A 答案 A 解析 解法一:因为sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,所以sinB+2sinBcosC=sinAcosC+sin(A+C),所以sinB+2sinBcosC=sinAcosC+sinB,‎ 即cosC(2sinB-sinA)=0,‎ 所以cosC=0或2sinB=sinA,‎ 即C=90°或2b=a,‎ 又△ABC为锐角三角形,所以0°<C<90°,故2b=a.‎ 故选A.‎ 解法二:由正弦定理和余弦定理得 b1+=‎2a·+c·,‎ 所以2b21+=a2+3b2-c2,‎ 即(a2+b2-c2)=a2+b2-c2,‎ 即(a2+b2-c2)-1=0,‎ 所以a2+b2=c2或2b=a,‎ 又△ABC为锐角三角形,所以a2+b2>c2,故2b=a.故选A.‎ ‎12.(2018·浙江高考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60°,则sinB=________,c=________.‎ 答案  3‎ 解析 由=得sinB=sinA=,由a2=b2+c2-2bccosA,得c2-‎2c-3‎ ‎=0,解得c=3(舍去负值).‎ ‎13.(2018·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为________.‎ 答案  解析 根据题意,结合正弦定理可得sinBsinC+sinC·sinB=4sinAsinBsinC,即sinA=,结合余弦定理可得2bccosA=8,所以A为锐角,且cosA=,从而求得bc=,所以△ABC的面积为S=bcsinA=××=.‎ 三、模拟小题 ‎14.(2018·广东广雅中学、江西南昌二中联考)已知a,b,c为△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若3bcosC=c(1-3cosB),则sinC∶sinA=(  )‎ A.2∶3 B.4∶‎3 C.3∶1 D.3∶2‎ 答案 C 解析 由正弦定理得3sinBcosC=sinC-3sinCcosB,3sin(B+C)=sinC,因为A+B+C=π,所以B+C=π-A,所以3sinA=sinC,所以sinC∶sinA=3∶1,故选C.‎ ‎15.(2018·合肥质检)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若sin(C-A)=sinB,且b=4,则c2-a2=(  )‎ A.10 B.‎8 C.7 D.4‎ 答案 B 解析 依题意,有sinCcosA-cosCsinA=sinB,由正弦定理得ccosA-acosC=b;再由余弦定理可得c·-a·=b,将b=4代入整理,得c2-a2=8,故选B.‎ ‎16.(2018·珠海摸底)在△ABC中,已知角A,B,C对应的边分别为a,b,c,C=60°,a=4b,c=,则△ABC的面积为________.‎ 答案  解析 根据余弦定理,有a2+b2-2abcosC=c2,即16b2+b2-8b2×=13,所以b2=1,解得b=1,所以a=4,所以S△ABC=absinC=×4×1×=.‎ ‎17.(2018·贵阳期末)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asinB=bcosA,a=4,若△ABC的面积为4,则b+c=________.‎ 答案 8‎ 解析 由asinB=bcosA得=,再由正弦定理=,所以=,即tanA=,又A为△ABC的内角,所以A=.由△ABC的面积为S=bcsinA=bc×=4,得bc=16.再由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得b2+c2=32,所以b+c====8.‎ ‎18.(2018·长春质检)已知△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若其面积S=b2sinA,角A的平分线AD交BC于点D,AD=,a=,则b=________.‎ 答案 1‎ 解析 由S=bcsinA=b2sinA,可知c=2b,由角平分线定理可知,===2.又BD+CD=a=,所以BD=,CD=.在△ABD中,因为BD=AD=,AB=c=2b,所以cos∠ABD==b,在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABD,所以b2=4b2+3-4bcos∠ABD=3+4b2-6b2,解得b=1.‎ 一、高考大题 ‎1.(2018·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=‎ ‎2,BD=5.‎ ‎(1)求cos∠ADB;‎ ‎(2)若DC=2,求BC.‎ 解 (1)在△ABD中,由正弦定理,得=.‎ 由题设知,=,所以sin∠ADB=.‎ 由题设知,∠ADB<90°,‎ 所以cos∠ADB= =.‎ ‎(2)由题设及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=.‎ 在△BCD中,由余弦定理,得 BC2=BD2+DC2-2BD×DCcos∠BDC=25+8-2×5×2×=25,所以BC=5.‎ ‎2.(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为.‎ ‎(1)求sinBsinC;‎ ‎(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长.‎ 解 (1)由题设得acsinB=,即csinB=.‎ 由正弦定理得sinCsinB=.‎ 故sinBsinC=.‎ ‎(2)由题设及(1)得cosBcosC-sinBsinC=-,‎ 即cos(B+C)=-,所以B+C=,故A=.‎ 由题设得bcsinA=,即bc=8.‎ 由余弦定理得b2+c2-bc=9,‎ 即(b+c)2-3bc=9,得b+c=.‎ 故△ABC的周长为3+.‎ ‎3.(2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.‎ ‎(1)求C;‎ ‎(2)若c=,△ABC的面积为,求△ABC的周长.‎ 解 (1)由已知及正弦定理得,‎ ‎2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,‎ ‎2cosCsin(A+B)=sinC.‎ 故2sinCcosC=sinC.因sinC≠0,‎ 可得cosC=,因为C∈(0,π),所以C=.‎ ‎(2)由已知,得absinC=.‎ 又C=,所以ab=6.‎ 由已知及余弦定理,得a2+b2-2abcosC=7.‎ 故a2+b2=13,从而(a+b)2=25,a+b=5.‎ 所以△ABC的周长为5+.‎ 二、模拟大题 ‎4.(2018·深圳4月调研)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知B为锐角,且acosB+bsinB=c.‎ ‎(1)求C的大小;‎ ‎(2)若B=,延长线段AB至点D,使得CD=,且△ACD的面积为,求线段BD的长度.‎ 解 (1)由已知及正弦定理可得sinAcosB+sin2B=sinC.‎ 因为sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,‎ 所以sin2B=cosAsinB.‎ 因为B∈0,,所以sinB>0,所以sinB=cosA,‎ 即cos-B=cosA.‎ 因为A∈(0,π),-B∈0,,‎ 所以-B=A,即A+B=,所以C=.‎ ‎(2)设BD=m,CB=n.因为B=,C=,‎ 所以A=,∠DBC=,且AC=n,AB=2n,AD=2n+m.所以S△ACD=AC·AD·sinA=×n×(2n+m)×=,即n(2n+m)=3,①‎ 在△BCD中,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC·BDcos∠DBC,即m2+n2+mn=3,②‎ 联立①②解得m=n=1,即BD=1.‎ ‎5.(2018·长沙统考)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a2=c(a-c)+b2.‎ ‎(1)求角B的大小;‎ ‎(2)设m=‎2a-c,若b=,求m的取值范围.‎ 解 (1)因为a2=c(a-c)+b2,所以a2+c2-b2=ac,‎ 所以cosB==.‎ 又因为0