【数学】2020届一轮复习（理）通用版考点测试68坐标系与参数方程作业 12页

选考内容 考点测试68　坐标系与参数方程 ‎ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 高考概览 考纲研读 ‎1．了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况 ‎2．了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化 ‎3．能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程 ‎4．了解参数方程，了解参数的意义 ‎5．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程 一、基础小题 ‎1．参数方程为(0≤t≤5)的曲线为(　　)‎ A．线段 B．双曲线的一支 C．圆弧 D．射线 答案　A 解析　化为普通方程为x＝3(y＋1)＋2，即x－3y－5＝0，由于x＝3t2＋2∈[2，77]，故曲线为线段．故选A．‎ ‎2．直线(t为参数)的倾斜角为(　　)‎ A．30° B．60° C．90° D．135°‎ 答案　D 解析　将直线参数方程化为普通方程为x＋y－1＝0，其斜率k＝－1，故倾斜角为135°．故选D．‎ ‎3．在极坐标系中，过点作圆ρ＝4sinθ的切线，则切线的极坐标方程是(　　)‎ A．ρsinθ＝2 B．ρcosθ＝2‎ C．ρsin＝2 D．ρcos＝2‎ 答案　B 解析　ρ＝4sinθ的直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，而点化为直角坐标是(2，2)，过(2，2)作圆的切线，其方程为x＝2，即ρcosθ＝2．故选B．‎ ‎4．在极坐标系中，过圆ρ＝6cosθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________．‎ 答案　ρcosθ＝3‎ 解析　把ρ＝6cosθ两边同乘ρ，得ρ2＝6ρcosθ，所以圆的普通方程为x2＋y2－6x＝0，即(x－3)2＋y2＝9，圆心为(3，0)，故所求直线的极坐标方程为ρcosθ＝3．‎ ‎5．在极坐标系中，直线ρsin＝2被圆ρ＝4所截得的弦长为________．‎ 答案　4 解析　分别将直线与圆的极坐标方程化成直角坐标方程为x＋y－2＝0，x2＋y2＝16，则圆心O到直线x＋y－2＝0的距离d＝＝2，半弦长为＝2，所以弦长为4．‎ ‎6．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ(cosθ＋sinθ)＝－2，曲线C2的参数方程为(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标为________．‎ 答案　(2，－4)‎ 解析　曲线C1的直角坐标方程为x＋y＝－2，曲线C2的普通方程为y2＝8x，由得所以C1与C2交点的直角坐标为(2，－4)．‎ 二、高考小题 ‎7．(2018·北京高考)在极坐标系中，直线ρcosθ＋ρsinθ＝a(a>0)与圆ρ＝2cosθ相切，则a＝________．‎ 答案　1＋ 解析　由可将直线ρcosθ＋ρsinθ＝a化为x＋y－a＝0，将ρ＝2cosθ，即ρ2＝2ρcosθ化为x2＋y2＝2x，整理成标准方程为(x－1)2＋y2＝1．又∵直线与圆相切，∴圆心(1，0)到直线x＋y－a＝0的距离d＝＝1，解得a＝1±，∵a>0，∴a＝1＋．‎ ‎8．(2018·天津高考)已知圆x2＋y2－2x＝0的圆心为C，直线(t为参数)与该圆相交于A，B两点，则△ABC的面积为________．‎ 答案　 解析　由题意可得圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，直线的直角坐标方程为x＋y－2＝0，则圆心到直线的距离d＝＝，由弦长公式可得|AB|＝2×＝，则S△ABC＝××＝．‎ ‎9．(2017·北京高考)在极坐标系中，点A在圆ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0上，点P的坐标为(1，0)，则|AP|的最小值为________．‎ 答案　1‎ 解析　由ρ2－2ρcosθ－4ρsinθ＋4＝0，得 x2＋y2－2x－4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y－2)2＝1，‎ 圆心坐标为C(1，2)，半径长为1．‎ ‎∵点P的坐标为(1，0)，∴点P在圆C外．‎ 又∵点A在圆C上，∴|AP|min＝|PC|－1＝2－1＝1．‎ ‎10．(2017·天津高考)在极坐标系中，直线4ρcos＋1＝0与圆ρ＝2sinθ 的公共点的个数为________．‎ 答案　2‎ 解析　由4ρcos＋1＝0得2ρcosθ＋2ρsinθ＋1＝0，故直线的直角坐标方程为2x＋2y＋1＝0．‎ 由ρ＝2sinθ得ρ2＝2ρsinθ，‎ 故圆的直角坐标方程为x2＋y2＝2y，‎ 即x2＋(y－1)2＝1．圆心为(0，1)，半径为1．‎ ‎∵圆心到直线2x＋2y＋1＝0的距离 d＝＝＜1，‎ ‎∴直线与圆相交，有两个公共点．‎ 三、模拟小题 ‎11．(2018·北京通州月考)下面直线中，平行于极轴且与圆ρ＝2cosθ相切的是(　　)‎ A．ρcosθ＝1 B．ρsinθ＝‎1 C．ρcosθ＝2 D．ρsinθ＝2‎ 答案　B 解析　由ρ＝2cosθ得ρ2＝2ρcosθ，即x2＋y2＝2x，所以圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，所以圆心坐标为(1，0)，半径为1．与x轴平行且与圆相切的直线方程为y＝1或y＝－1，则极坐标方程为ρsinθ＝1或ρsinθ＝－1，所以选B．‎ ‎12．(2018·合肥调研)已知圆C的参数方程为 (α为参数)，当圆心C到直线kx＋y＋4＝0的距离最大时，k的值为(　　)‎ A． B． C．－ D．－ 答案　D 解析　⊙C的直角坐标方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C(－1，1)，又直线kx＋y＋4＝0过定点A(0，－4)，故当CA与直线kx＋y＋4＝0垂直时，圆心C到直线的距离最大，∵kCA＝－5，∴－k＝，∴k＝－．选D．‎ 一、高考大题 ‎1．(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ－3＝0．‎ ‎(1)求C2的直角坐标方程； ‎ ‎(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程．‎ 解　(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得C2的直角坐标方程为(x＋1)2＋y2＝4．‎ ‎(2)由(1)知C2是圆心为A(－1，0)，半径为2的圆．‎ 由题设知，C1是过点B(0，2)且关于y轴对称的两条射线，曲线C1的方程为y＝记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2．由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点．‎ 当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝－或k＝0．‎ 经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点．‎ 当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以＝2，故k＝0或k＝．‎ 经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝时，l2与C2没有公共点． ‎ 综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2．‎ ‎2．(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(1)求C和l的直角坐标方程；‎ ‎(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1，2)，求l的斜率．‎ 解　(1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1．‎ 当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y＝tanα·x＋2－tanα，当cosα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1．‎ ‎(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0．①‎ 因为曲线C截直线l所得线段的中点(1，2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0．‎ 又由①得t1＋t2＝－，故2cosα＋sinα＝0，于是直线l的斜率k＝tanα＝－2．‎ ‎3．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为(θ为参数)，过点(0，－)且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．‎ ‎(1)求α的取值范围；‎ ‎(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．‎ 解　(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1．‎ 当α＝时，l与⊙O交于两点．‎ 当α≠时，记tanα＝k，则l的方程为y＝kx－．l与⊙O交于两点当且仅当<1，解得k<－1或k>1，‎ 即α∈，或α∈，．综上，α的取值范围是，．‎ ‎(2)l的参数方程为t为参数，<α<．‎ 设A，B，P对应的参数分别为tA，tB，tP，则tP＝，且tA，tB满足t2－2tsinα＋1＝0．‎ 于是tA＋tB＝2sinα，tP＝sinα．‎ 又点P的坐标(x，y)满足 所以点P的轨迹的参数方程是 α为参数，<α<．‎ ‎4．(2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；‎ ‎(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a．‎ 解　(1)曲线C的普通方程为＋y2＝1．‎ 当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0．‎ 由 解得或 从而C与l的交点坐标为(3，0)，－，．‎ ‎(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点(3cosθ，sinθ)到l的距离为d＝．‎ 当a≥－4时，d的最大值为 ．‎ 由题设得＝，所以a＝8；‎ 当a＜－4时，d的最大值为．‎ 由题设得＝，‎ 所以a＝－16．‎ 综上，a＝8或a＝－16．‎ ‎5．(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4．‎ ‎(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．‎ 解　(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．‎ 由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝．‎ 由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ(ρ>0)．‎ 因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．‎ ‎(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．‎ 由题设知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB的面积 S＝|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cosα· ‎＝2≤2＋．‎ 当α＝－时，S取得最大值2＋．‎ 所以△OAB面积的最大值为2＋．‎ 二、模拟大题 ‎6．(2018·河南名校联盟联考)在平面直角坐标系xOy中，圆C的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ(cosθ＋sinθ)＝5．‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程和直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)在圆上找一点A，使它到直线l的距离最小，并求点A的极坐标．‎ 解　(1)x2＋(y－1)2＝1即x2＋y2－2y＝0．‎ 因为ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y，‎ 所以圆C的极坐标方程为ρ2＝2ρsinθ，即ρ＝2sinθ．‎ ρ(cosθ＋sinθ)＝5即ρcosθ＋ρsinθ＝5，‎ 因为ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，‎ 所以直线l的直角坐标方程为y＝－x＋5．‎ ‎(2)曲线C：x2＋(y－1)2＝1是以C(0，1)为圆心，1为半径的圆．‎ 设圆上点A(x0，y0)到直线l：y＝－x＋5的距离最短，所以圆C在点A处的切线与直线l：y＝－x＋5平行．‎ 即直线CA与l的斜率的乘积等于－1，即×(－)＝－1．①‎ 因为点A在圆上，所以x＋(y0－1)2＝1，②‎ 联立①②可解得x0＝－，y0＝或x0＝，y0＝．‎ 所以点A的坐标为－，或，．‎ 又由于圆上点A到直线l：y＝－x＋5的距离最小，‎ 所以点A的坐标为，，‎ 点A的极径为 ＝，极角θ满足tanθ＝且θ为第一象限角，则可取θ＝．‎ 所以点A的极坐标为，．‎ ‎7．(2019·福建福州四校模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，直线C2的方程为y＝x．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求＋．‎ 解　(1)由曲线C1的参数方程为(α为参数)，得曲线C1的普通方程为(x－2)2＋(y－2)2 ＝1，‎ 则C1的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋7＝0，‎ 由于直线C2过原点，且倾斜角为，故其极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．‎ ‎(2)由得ρ2－(2＋2)ρ＋7＝0，设A，B对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝2＋2，ρ1ρ2＝7，‎ ‎∴＋＝＝＝．‎ ‎8．(2018·河南郑州二模)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A的极坐标为，，直线l的极坐标方程为ρcosθ－＝a，且l过点A，曲线C1的参数方程为(α为参数)．‎ ‎(1)求曲线C1上的点到直线l的距离的最大值；‎ ‎(2)过点B(－1，1)与直线l平行的直线l1与曲线C1交于M，N两点，求|BM|·|BN|的值．‎ 解　(1)由直线l过点A可得cos－＝a，‎ 故a＝，‎ ‎∴易得直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0．‎ 根据点到直线的距离公式可得曲线C1上的点(2cosθ，sinθ)到直线l的距离d＝＝，其中sinφ＝，cosφ＝，‎ ‎∴dmax＝＝．‎ ‎(2)由(1)知直线l的倾斜角为，‎ ‎∴直线l1的参数方程为y＝(t为参数)．‎ 又易知曲线C1的普通方程为＋＝1，‎ 把直线l1的参数方程代入曲线C1的普通方程可得t2＋7t－5＝0，‎ 设M，N两点对应的参数为t1，t2，‎ ‎∴t1t2＝－，依据参数t的几何意义可知|BM|·|BN|＝|t1t2|＝．‎ ‎9．(2018·山西太原二模)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P(a，1)，其参数方程为(t为参数，a∈R)，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0．‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)已知曲线C1和曲线C2交于A，B两点，且|PA|＝2|PB|，求实数a的值．‎ 解　(1)C1的参数方程为消参得普通方程为x－y－a＋1＝0，C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0，两边同乘ρ得ρ2cos2θ＋4ρcosθ－ρ2＝0，得y2＝4x．‎ 所以曲线C2的直角坐标方程为y2＝4x．‎ ‎(2)曲线C1的参数方程可转化为(t为参数，a∈R)，代入曲线C2：y2＝4x，得t2－t＋1－‎4a＝0，由Δ＝(－)2－4××(1－‎4a)>0，得a>0，‎ 设A，B对应的参数分别为t1，t2，‎ 由|PA|＝2|PB|得|t1|＝2|t2|，即t1＝2t2或t1＝－2t2，‎ 当t1＝2t2时，解得a＝；‎ 当t1＝－2t2时，解得a＝，‎ 综上，a＝或．‎ ‎10．(2018·河北衡水中学模拟)在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程是ρ＝，在以极点为原点O，极轴为x轴正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系xOy中，曲线C2的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(1)求曲线C1的直角坐标方程与曲线C2的普通方程；‎ ‎(2)将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3，若M，N分别是曲线C1和曲线C3上的动点，求|MN|的最小值．‎ 解　(1)∵C1的极坐标方程是ρ＝，‎ ‎∴4ρcosθ＋3ρsinθ＝24，‎ ‎∴4x＋3y－24＝0，‎ 故C1的直角坐标方程为4x＋3y－24＝0．‎ ‎∵曲线C2的参数方程为∴x2＋y2＝1，‎ 故C2的普通方程为x2＋y2＝1．‎ ‎(2)将曲线C2经过伸缩变换后得到曲线C3，则曲线C3的参数方程为(α为参数)．设N(2cosα，2sinα)，则点N到曲线C1的距离 d＝ ‎＝ ‎＝其中φ满足tanφ＝．‎ 当sin(α＋φ)＝1时，d有最小值，‎ 所以|MN|的最小值为．‎