【数学】2021届一轮复习人教A版导数的概念与计算作业 4页

第10节 导数的概念与计算 ‎1．(2019·商洛市模拟)设f(x)在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能是(　　 )‎ 解析：B　[由f(x)的图象可得，在y轴的左侧，图象下降，f(x)递减，即导数小于0，可排除C，D；再由y轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，函数f(x)递减，再递增，后递减，即导数先小于0，再大于0，最后小于0，可排除A；则B正确．]‎ ‎2．(2019·邵阳市质检)已知函数f(x)＝f′(－2)ex－x2，则f′(－2)＝(　　 )‎ A.　　　　　　　 B. C. D. 解析：D　[∵f′(x)＝f′(－2)ex－2x，‎ ‎∴f′(－2)＝f′(－2)·e－2－2·(－2)，解得f′(－2)＝.]‎ ‎3．设曲线y＝sin x上任一点(x，y)处切线的斜率为g(x)，则函数y＝x‎2g(x)的部分图象可以为(　　)‎ 解析：C　[根据题意得g(x)＝cos x，∴y＝x‎2g(x)＝x2cos x为偶函数．又x＝0时，y＝0，故选C.]‎ ‎4．(2019·长春市一模)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为(　　 )‎ A．1－a　　 B．‎1　‎　　C．a－1　　　D．－1‎ 解析：B　[函数f(x)＝ax－ln x的导数为f′(x)＝a－，所以图象在点(1，f(1))处的切线斜率为a－1，且f(1)＝a，则切线方程为y－a＝(a－1)(x－1)，‎ 令x＝0，可得y＝1，故选B.]‎ ‎5．(2019·聊城市一模)若曲线y＝acos x＋sin x在处的切线方程为x－y＋1－＝0，则实数a的值为(　　 )‎ A．－1 B．‎1 C．－2 D．2‎ 解析：A　[y＝acos x＋sin x的导数为y′＝－asin x＋cos x，‎ 可得曲线在处的切线斜率为k＝－a，由切线方程x－y＋1－＝0，可得－a＝1，即a＝－1.]‎ ‎6．(2019·绍兴市柯桥区高三模拟)已知曲线y＝x2－3ln x的一条切线的斜率为－，则切点的横坐标为________．‎ 解析：设切点为(m，n)(m＞0)，y＝x2－3ln x的导数为y′＝x－，可得切线的斜率为m－＝－，解方程可得，m＝2.‎ 答案：2‎ ‎7．若曲线f(x)＝ax5＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．‎ 解析：曲线f(x)＝ax5＋ln x存在垂直于y轴的切线，即f′(x)＝0有正实数解．又∵f′(x)＝5ax4＋，‎ ‎∴方程5ax4＋＝0有正实数解．∴5ax5＝－1有正实数解．‎ ‎∴a<0.故实数a的取值范围是(－∞，0)．‎ 答案：(－∞，0)‎ ‎8.如图，已知y＝f(x)是可导函数，直线l是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线，令g(x)＝，则g′(4)＝________.‎ 解析：g′(x)＝′＝‎ .‎ 由已知图象可知，直线l经过点P(0,3)和Q(4,5)，故k1＝＝.由导数的几何意义可得f′(4)＝，‎ 因为Q(4,5)在曲线y＝f(x)上，故f(4)＝5.‎ 故g′(4)＝＝＝－.‎ 答案：－ ‎9．已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.‎ ‎(1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程；‎ ‎(2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于P的直线方程．‎ 解：(1)由f(x)＝x3－3x得f′(x)＝3x2－3，过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率f′(1)＝0，‎ ‎∴所求的直线方程为y＝－2.‎ ‎(2)设过P(1，－2)的直线l与y＝f(x)切于另一点(x0，y0)，‎ 则f′(x0)＝3x－3.又直线过(x0，y0)，P(1，－2)，‎ 故其斜率可表示为＝，‎ 又＝3x－3，‎ 即x－3x0＋2＝3(x－1)(x0－1)，‎ 解得x0＝1(舍去)或x0＝－，‎ 故所求直线的斜率为k＝3×＝－，‎ ‎∴y－(－2)＝－(x－1)，即9x＋4y－1＝0.‎ ‎10．已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.‎ ‎(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；‎ ‎(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．‎ 解：(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，‎ 则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，‎ 即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．‎ ‎(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，‎ 则由(2)中条件并结合(1)中结论可知， 解得－1≤k＜0或k≥1，‎ 故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，‎ 得x∈(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞)．‎