【数学】2020届一轮复习人教A版第50课圆锥曲线的定义在解题中的应用作业（江苏专用） 4页

随堂巩固训练(50) 1. 抛物线 y＝1 2x2 的焦点坐标为　(0，1 2 )　. 解析：将抛物线 y＝1 2x2 化为 x2＝2y，所以 p＝1，p 2＝1 2，则焦点坐标为(0，1 2 ). 2. 在给定的椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为 2，焦点到相应准线的距离为 1， 则该椭圆的离心率为　 2 2 　. 解析：设椭圆方程为x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)，则有2b2 a ＝ 2且a2 c －c＝1，解得 e＝ 2 2 . 3. 两条对称轴与坐标轴重合，离心率 e＝0.8，焦点与相应准线的距离等于9 4的椭圆的 方程是　x2 25＋y2 9 ＝1 或y2 25＋x2 9 ＝1　. 解析：因为 e＝0.8，所以c a＝4 5.又焦点到相应准线的距离为a2 c －c＝9 4，所以 (5 4c )2 c －c＝ 9 4，解得 c＝4，则 a＝5 4c＝5，b2＝a2－c2＝25－16＝9，所以所求椭圆方程为x2 25＋y2 9 ＝1 或y2 25＋ x2 9 ＝1. 4. 已知双曲线 C：x2 16－y2 b2＝1(b>0)的渐近线方程为 3x±4y＝0，则双曲线 C 的准线方程 为　x＝±16 5 　. 解析：由题意可知b 4＝3 4，解得 b＝3，则 c2＝a2＋b2＝25，c＝5，故双曲线 C 的准线方程 为 x＝±16 5 . 5. 已知椭圆x2 5 ＋y2 4 ＝1 的中心为 A，右准线为 l，则以 A 为顶点，l 为准线的抛物线方 程为　y2＝－20x　. 解析：椭圆的中心为原点，右准线方程为 x＝5，从而p 2＝5，p＝10.由题意可知，抛物线 开口向左，故抛物线的标准方程为 y2＝－20x. 6. 已知 F 为抛物线 y2＝4x 的焦点，该抛物线上位于第一象限的点 A 到其准线的距离 为 5，则直线 AF 的斜率为　4 3　. 解析：设点 A(xA，yA)，由题意得 xA＋p 2＝5，所以 xA＝4，所以 yA＝4，即点 A(4，4)， 所以直线 AF 的斜率为4－0 4－1＝4 3. 7. 若双曲线x2 m－y2＝1 上的点到左准线的距离是到左焦点距离的1 3，则 m＝　1 8　. 解析：由题意可得 e＝ m＋1 m ，由双曲线的第二定义知，e＝ m＋1 m ＝3，解得 m＝1 8. 8. 若双曲线 mx2－2my2＝4 的一条准线是 y＝1，则实数 m＝　－2 3　. 解析：由题意得双曲线的实轴在 y 轴上，则 m<0，所以 －2 m －6 m ＝1，解得 m＝－2 3. 9. 平面内有一长度为 4 的线段 AB，动点 P 满足 PA＋PB＝6，则 PA 的取值范围是　 [1，5]　. 解析：由题意得，动点 P 在以 A，B 为焦点，长轴长为 6 的椭圆上，所以 a＝3，c＝2， 所以 PA 的最小值为 a－c＝1，最大值为 a＋c＝5，所以 PA 的取值范围是[1，5]. 10. 已知椭圆 C：x2 2 ＋y2＝1 的右焦点为 F，右准线为 l，点 A 在直线 l 上，线段 AF 与 椭圆 C 交于点 B.若|FA → |＝3|FB → |，求|AF → |的值. 解析：由题设知 F(1，0)，直线 l 的方程为 x＝2，离心率 e＝ 2 2 . 设点 B 到直线 l 的距离为 d，则 FB＝ 2 2 d，所以 AF＝3 2 2 d. 由三角形相似得d 1＝2 3，即 d＝2 3，所以|AF → |＝ 2. 11. 已知 P 是椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)上的点，点 P 与两焦点 F1，F2 的连线互相垂直，且 点 P 到两准线的距离分别为 d1＝6，d2＝12，求椭圆的方程. 解析：由圆锥曲线的定义知 PF1＝ed1，PF2＝ed2. 因为 PF21＋PF22＝F1F22，所以 e2d21＋e2d22＝(2c)2， 所以c2 a2(62＋122)＝4c2，即 a2＝45. 又 PF1＋PF2＝2a，所以 PF21＋PF22＋2PF1·PF2＝4a2， 即 4c2＋2e2d1d2＝4a2，即 4c2＋144c2 a2 ＝4a2＝4×45， 解得 c2＝452 81 ＝25，b2＝a2－c2＝20，所以椭圆方程为x2 45＋y2 20＝1. 12. 已知椭圆 E：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的离心离为1 2，右焦点为 F，且椭圆 E 上的点到点 F 距离的最小值为 2. (1) 求椭圆 E 的方程； (2) 设椭圆 E 的左、右顶点分别为 A，B，过点 A 的直线 l 与直线 x＝8 交于点 N，当过 A，F，N 三点的圆半径最小时，求这个圆的方程. 解析：(1) 由题意知c a＝1 2，a－c＝2，所以 a＝4，c＝2，所以 b2＝a2－c2＝12， 所以椭圆 E 的方程为x2 16＋y2 12＝1. (2) 设点 N(8，t)，圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 因为圆过点 A(－4，0)，F(2，0)，N(8，t)， 所以联立方程组{（－4）2－4D＋F＝0， 22＋2D＋F＝0， 82＋t2＋8D＋tE＋F＝0， 解得{D＝2， E＝－72＋t2 t ， F＝－8， 所以圆的方程为 x2＋y2 ＋2x－(t＋72 t )y－8＝0，即(x＋1)2＋[y－1 2(t＋72 t )]2＝9＋1 4(t＋72 t )2 . 因为(t＋72 t )2 ≥(2 72)2，当且仅当 t＝72 t ，即 t＝±6 2时取等号，圆的半径最小， 故所求圆的方程为 x2＋y2＋2x±12 2y－8＝0.