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- 2021-06-16 发布
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溯源回扣四 数列与不等式
1.已知数列的前n项和Sn求an,易忽视n=1的情形,直接用Sn-Sn-1表示.事实上,当n=1时,a1=S1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1.
[回扣问题1] 在数列{an}中,a1+++…+=2n-1(n∈N*),则an=________.
解析 依题意得,数列的前n项和为2n-1,
当n≥2时,=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-1,
又=21-1=1=21-1,因此=2n-1(n∈N*),
故an=n·2n-1.
答案 n·2n-1
2.等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件,并灵活整体代换进行基本运算.如等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,已知=,求时,无法正确赋值求解.
[回扣问题2] 等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且=,则=________.
解析 =====.
答案
3.运用等比数列的前n项和公式时,易忘记分类讨论.一定分q=1和q≠1两种情况进行讨论.
[回扣问题3] 设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+S6=S9,则公比q=________.
解析 (1)当q=1时,显然S3+S6=S9成立.
(2)当q≠1时,由S3+S6=S9,
得+=.
由于1-q3≠0,得q6=1,∴q=-1.
答案 1或-1
4.利用等差数列定义求解问题时,易忽视an-an-1=d(常数)中,n≥2,n∈N*的限制,类似地,在等比数列中,=q(常数且q≠0),忽视n≥2,n∈N*的条件限制.
[回扣问题4] (2015·安徽卷改编)已知数列{an}中,a1=a2=1,an+1=an+(n≥2),则数列{an}的前9项和等于________.
解析 由a2=1,an+1=an+(n≥2),∴数列{an}从第2项起是公差为的等差数列,∴S9=a1+a2+a3+…+a9
=1+8a2+×=23.
答案 23
5.对于通项公式中含有(-1)n的一类数列,在求Sn时,切莫忘记讨论n的奇偶性;遇到已知an+1-an-1=d或=q(n≥2),求{an}的通项公式时,要注意分n的奇偶性讨论.
[回扣问题5] 若an=2n-1,bn=(-1)n-1an,则数列{bn}的前n项和Tn=________.
解析 bn=(-1)n-1an=(-1)n-1(2n-1).
当n为偶数时,Tn=a1-a2+a3-a4+…+an-1-an=(-2)×=-n.
当n为奇数时,Tn=Tn-1+bn=-(n-1)+an=n.
故Tn=
答案 Tn=
6.解形如一元二次不等式ax2+bx+c>0时,易忽视系数a的讨论导致漏解或错解,要注意分a>0,a<0进行讨论.
[回扣问题6] 若不等式x2+x-10对x∈R恒成立.
(1)当m2-1=0且m+1=0,不等式恒成立,∴m=-1.
(2)当m2-1≠0时,则
即所以m>或m<-1.
综合(1)(2)知,m的取值范围为(-∞,-1]∪.
答案 (-∞,-1]∪
7.容易忽视使用基本不等式求最值的条件,即“一正、二定、三相等”导致错解,如求函数f(x)=+的最值,就不能利用基本不等式求解最值.
[回扣问题7] (2017·山东卷)若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为________.
解析 依题意+=1(a>0,b>0),
∴2a+b=(2a+b)=4++≥8,
当且仅当=,即a=2,b=4时,取等号.
故2a+b的最小值为8.
答案 8
8.求解线性规划问题时,不能准确把握目标函数的几何意义导致错解,如是指已知区域内的点(x,y)与点(-2,2)连线的斜率,而(x-1)2+(y-1)2是指已知区域内的点(x,y)到点(1,1)的距离的平方等.
[回扣问题8] 若x,y满足约束条件则z=的最小值为( )
A.-2 B.-
C.- D.
解析 作出满足条件的可行域如图中阴影部分所示,
z=的几何意义为可行域内的动点与定点P(-3,2)连线的斜率,设过P的圆的切线的斜率为k,则切线方程为y-2=k(x+3),即kx-y+3k+2=0,
由=2,解得k=0或k=-.
∴z=的最小值为-.
答案 C
9.求解不等式、函数的定义域、值域时,其结果一定要用集合或区间表示,另外一元二次不等式的解集表示形式受到二次项系数符号的影响.
[回扣问题9] 已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是,则ax2-bx+c>0的解集为________.
解析 ∵ax2+bx+c<0的解集为,
∴a<0,且=1,-=-,
∴b=a,c=a,故ax2-bx+c>0化为ax2-ax+a>0,
由于a<0,得x2-x+1<0,解之得