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- 2021-06-16 发布
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考点测试 61 几何概型
高考概览
高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值为 5 分，中等难度
考纲研读
1．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率
2．了解几何概型的意义
一、基础小题
1．在区间(0，4)上任取一数 x，则1
4<2x－1<1 的概率是( )
A．1
2 B．1
3 C．1
4 D．3
4
答案 C
解析 由题设可得－220，解得
216，∴p1－p3>0，即 p1>p3．
而 p2－p3＝1
4
－1
2ln 2＝1
4lne
4<0，
∴p2p3>p2．
18．(2017·江苏高考)记函数 f(x)＝ 6＋x－x2的定义域为 D．在区间[－4，5]
上随机取一个数 x，则 x∈D 的概率是________．
答案 5
9
解析 由 6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，∴D＝[－2，3]．如图，区间[－4，
5]的长度为 9，定义域 D 的长度为 5，∴P＝5
9
．
三、模拟小题
19．(2018·唐山模拟)右图是一个边长为 4 的正方形二维码，为了测算图中黑
色部分的面积，在正方形区域内随机投掷 400 个点，其中落入黑色部分的有 225
个点，据此可估计黑色部分的面积为( )
A．8 B．9 C．10 D．12
答案 B
解析 根据面积之比与点数之比相等的关系，得黑色部分的面积 S＝4×4×
225
400
＝9．故选 B．
20．(2018·郑州质检三)七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东
方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板
组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点
取自黑色部分的概率为( )
A． 9
32 B． 5
16 C．3
8 D． 7
16
答案 C
解析 设正方形的边长为 2，则由几何概型的概率公式，知所求概率为
2 × 1 × 1
2
＋1 × 1
2
22
＝3
8
．故选 C．
21．(2018·合肥质检三)如图所示的图形是一个正六边形及其内切圆，现采取
随机模拟的方法估计圆周率的值：随机撒一把豆子，若落在正六边形内的豆子个
数为 N，落在圆内的豆子个数为 M，则估计圆周率 π 的值为( )
A． 2 3M
N
B． 3M
N C．3M
N D．2 3M
N
答案 D
解 析 设 圆 的 半 径 为 r ， 则 根 据 几 何 概 型 的 概 率 公 式 ， 可 得 M
N
＝
πr2
6 × 3
4 × 2
3·r2
，故 π＝2 3M
N
，选 D．
22．(2018·福建质检)如图，已知曲线 y＝sinπx
2
＋3 把边长为 4 的正方形 OABC
分成黑色部分和白色部分．若在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概
率是( )
A．1
4 B．1
3 C．3
8 D．3
4
答案 A
解析 如图，点 D，E 在直线 y＝3 上，F 为 y＝3 与曲线 y＝sinπx
2
＋3(0＜x＜
4)的交点．将 y＝3 代入 y＝sinπx
2
＋3 得 sinπx
2
＝0．又因为 0＜x＜4，所以 x＝2．由
正弦函数的性质可知 y＝sinπx
2
＋3 的图象关于点 F(2，3)对称，所以阴影部分的
面积 S＝S 四边形 BCDE＝4×(4－3)＝4．又因为 S 正方形 OABC＝4×4＝16，所以此点
取自黑色部分的概率是 4
16
＝1
4
．故选 A．
23．(2018·长春质检二)若向区域 Ω＝{(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}内投点，则
该点到原点的距离小于 1 的概率为________．
答案 π
4
解析 如图，由题意知区域 Ω 的面积为 1，在区域 Ω 内，到原点的距离小
于 1 的区域为阴影部分，即四分之一个圆，其面积为π
4
，所以所求概率为π
4
．
24．(2018·合肥质检二)小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午 5：
00～6：00 之间送货上门．已知小李下班到家的时间为下午 5：30～6：00．快递
员到小李家时，若小李未到家，就将商品存放快递柜中，则小李需要去快递柜收
取商品的概率等于________．
答案 3
4
解析 设快递员到小李家的时间为 5 点 x 分，小李到家的时间为 5 点 y 分，
则依题意，若需要去快递柜收取商品，需满足Error!
则可行域所表示的区域为图中阴影部分．由于随机试验落在矩形方框内的任
何位置的等可能性，进而依据几何概型的概率公式，可得小李需要去快递柜收取
商品的概率为
1
2 × (30＋60) × 30
30 × 60
＝3
4
．
一、高考大题
本考点在近三年高考中未涉及此题型．
二、模拟大题
1．(2018·湖北黄冈、黄石等八市联考)若张三每天的工作时间在 6 小时至 9
小时之间随机均匀分布，求张三连续两天平均工作时间不少于 7 小时的概率．
解 设第一天工作的时间为 x 小时，第二天工作的时间为 y 小时，则Error!
因为连续两天平均工作时间不少于 7 小时，所以x＋y
2
≥7，即 x＋y≥14，Error!
表示的区域面积为 9，其中满足 x＋y≥14 的区域面积为 9－1
2
×2×2＝7，∴张三
连续两天平均工作时间不少于 7 小时的概率是7
9
．
2．(2018·安徽皖南地区调研)某港口有一个泊位，现统计了某月 100 艘轮船
在该泊位停靠的时间(单位：小时)，如果停靠时间不足半小时按半小时计时，超
过半小时不足 1 小时按 1 小时计时，依此类推，统计结果如下表：
停靠时间 2．
5
3
3．
5
4
4．
5
5 5．5 6
轮船数量 12 12 17 20 15 13 8 3
(1)设该月 100 艘轮船在该泊位的平均停靠时间为 a 小时，求 a 的值；
(2)假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠 a 小时，且在一昼夜的
时间段中随机到达，求这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率．
解 (1)a＝ 1
100
×(2．5×12＋3×12＋3．5×17＋4×20＋4．5×15＋5×13＋
5．5×8＋6×3)＝4．
(2)设甲船到达的时间为 x，乙船到达的时间为 y，则Error!
若这两艘轮船在停靠该泊位时至少有一艘船需要等待，则|y－x|<4，符合题
意的区域为阴影部分(不包括 x，y 轴)，
所以所求概率 P＝
24 × 24－2 × 1
2 × 20 × 20
24 × 24
＝11
36
，
则这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率为11
36
．
3．(2018·山东临沂一模)设 f(x)和 g(x)都是定义在同一区间上的两个函数，
若对任意 x∈[1，2]，都有|f(x)＋g(x)|≤8，则称 f(x)和 g(x)是“友好函数”，设 f(x)
＝ax，g(x)＝b
x
．
(1)若 a∈{1，4}，b∈{－1，1，4}，求 f(x)和 g(x)是“友好函数”的概率；
(2)若 a∈[1，4]，b∈[1，4]，求 f(x)和 g(x)是“友好函数”的概率．
解 (1)设事件 A 表示 f(x)和 g(x)是“友好函数”，
则|f(x)＋g(x)|(x∈[1，2])所有的情况有：
x－1
x
，x＋1
x
，x＋4
x
，4x－1
x
，4x＋1
x
，4x＋4
x
，
共 6 种且每种情况被取到的可能性相同．
又当 a>0，b>0 时，
ax＋b
x
在(0，
b
a)上递减，在( b
a，＋∞)上递增；
x－1
x
和 4x－1
x
在(0，＋∞)上递增，
∴对 x∈[1，2]可使|f(x)＋g(x)|≤8 恒成立的有 x－ 1
x
，x＋1
x
，x＋4
x
，4x－1
x
，
故事件 A 包含的基本事件有 4 种，
∴P(A)＝4
6
＝2
3
，故所求概率是2
3
．
(2)设事件 B 表示 f(x)和 g(x)是“友好函数”，
∵a 是从区间[1，4]中任取的数，b 是从区间[1，4]中任取的数，
∴点(a，b)所在区域是长为 3，宽为 3 的矩形区域．
要使 x∈[1，2]时，|f(x)＋g(x)|≤8 恒成立，
需 f(1)＋g(1)＝a＋b≤8 且 f(2)＋g(2)＝2a＋b
2
≤8，
∴事件 B 表示的点的区域是如图所示的阴影部分．
∴P(B)＝
1
2 × (2＋11
4 ) × 3
3 × 3
＝19
24
，
故所求概率是19
24
．
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