【数学】2020届一轮复习新课改省份专用版8-8-2解析几何压轴大题解题上——6大技法破解计算繁杂这一难题作业 6页

课时跟踪检测（五十五） 解题上——6大技法破解计算繁杂这一难题 ‎ ‎1．在平面直角坐标系xOy中，设直线y＝－x＋2与圆x2＋y2＝r2(r＞0)交于A，B两点，O为坐标原点，若圆上一点C满足＝＋，则r＝(　　)‎ A．2　　　　　　　　 B. C．2 D. 解析：选B　已知＝＋，‎ 两边平方化简得·＝－r2，‎ 所以cos∠AOB＝－，所以cos＝，‎ 又圆心O(0,0)到直线的距离为＝，‎ 所以＝，解得r＝.‎ ‎2．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p＞0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为(　　)‎ A.　　　　　　　　　 B. C. D．1‎ 解析：选C　如图所示，设P(x0，y0)(y0＞0)，‎ 则y＝2px0，即x0＝.设M(x′，y′)，由＝2，‎ 得 化简可得∴直线OM的斜率k＝＝＝≤＝(当且仅当y0＝p时取等号)．故直线OM的斜率的最大值为.‎ ‎3．(2019·惠州调研)设m，n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且直线l与圆x2＋y2＝4相交所得的弦长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为(　　)‎ A．5 B.4‎ C．3 D．2‎ 解析：选C　由直线与圆相交所得的弦长为2，得圆心到直线的距离d＝＝，所以m2＋n2＝≥2|mn|，当且仅当m＝n时等号成立．所以|mn|≤，又A，B，所以△AOB的面积S＝≥3，故△AOB面积的最小值为3.‎ ‎4．(2019·兰州模拟)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线右支上一点，若|PF1|2＝8a|PF2|，则双曲线C的离心率的取值范围为(　　)‎ A．(1,3] B.[3，＋∞)‎ C．(0,3) D．(0,3]‎ 解析：选A　根据双曲线的定义及点P在双曲线的右支上，得|PF1|－|PF2|＝2a，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m－n＝2a，m2＝8an，∴m2－4mn＋4n2＝0，∴m＝2n，则n＝2a，m＝4a，依题得|F1F2|≤|PF1|＋|PF2|，∴2c≤4a＋2a，∴e＝≤3，又e＞1，∴1＜e≤3，即双曲线C的离心率的取值范围为(1,3]．‎ ‎5．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，斜率为的直线交抛物线于A，B两点，若＝λ (λ＞1)，则λ的值为(　　)‎ A．5 B.4‎ C. D. 解析：选B　根据题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由＝λ，得＝λ，‎ 故－y1＝λy2，即λ＝－.‎ 设直线AB的方程为y＝，‎ 联立直线与抛物线方程，消去x，得y2－py－p2＝0.‎ 故y1＋y2＝p，y1y2＝－p2，‎ 则＝＋＋2＝－，‎ 即－λ－＋2＝－.‎ 又λ＞1，解得λ＝4.‎ ‎6.已知椭圆C：＋y2＝1，过椭圆上一点A(0,1)作直线l交椭圆于另一点B，P为线段AB的中点，若直线AB，OP的斜率存在且不为零，则kABkOP＝________.‎ 解析：法一：(特殊值法)取B，则P，‎ 则kAB＝，kOP＝，‎ 故kAB·kOP＝×＝－.‎ 法二：由题意，设直线l的方程为y＝kx＋1，‎ 联立方程 消去y得，(1＋4k2)x2＋8kx＝0，‎ 得xB＝，即B.‎ 则P，‎ ‎∴kAB＝k，kOP＝－，‎ ‎∴kAB·kOP＝－.‎ 法三：(点差法)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，P(x0，y0)，‎ 则两式相减得＋y－y＝0，‎ 化简得·＝－，‎ 即·＝－，‎ ‎∴kAB·kOP＝－.‎ 答案：－ ‎7．已知AB为圆x2＋y2＝1的一条直径，点P为直线x－y＋2＝0上任意一点，则·的最小值为________．‎ 解析：由题意，设A(cos θ，sin θ)，P(x，x＋2)，‎ 则B(－cos θ，－sin θ)，‎ ‎∴＝(cos θ－x，sin θ－x－2)，‎ ＝(－cos θ－x，－sin θ－x－2)，‎ ‎∴·＝(cos θ－x)(－cos θ－x)＋(sin θ－x－2)·(－sin θ－x－2)＝x2＋(x＋2)2－cos2θ－sin2θ＝2x2＋4x＋3＝2(x＋1)2＋1，‎ 当且仅当x＝－1，即P(－1，1)时，·取最小值1.‎ 答案：1‎ ‎8．(2019·武汉调研)已知A，B分别为椭圆＋＝1(0＜b＜3)的左、右顶点，P，Q是椭圆上关于x轴对称的不同两点，设直线AP，BQ的斜率分别为m，n，若点A到直线y＝ x的距离为1，则该椭圆的离心率为________．‎ 解析：根据椭圆的标准方程＋＝1(0＜b＜3)知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，A(－3,0)，B(3,0)，设P(x0，y0)，Q(x0，－y0)，则＋＝1，kAP＝m＝，kBQ＝n＝，∴mn＝＝，∴＝，∴直线y＝ x＝x，即x－3y＝0.又点A到直线y＝ x的距离为1，∴＝＝1，解得b2＝，∴c2＝a2－b2＝，∴e＝＝＝.‎ 答案： ‎9．已知椭圆C：＋y2＝1的右顶点为A，上顶点为B.设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．‎ 解：由题意知，A(2,0)，B(0,1)，‎ 设P(x0，y0)(x0＜0，y0＜0)，则x＋4y＝4，‎ 所以直线PA的方程为y＝(x－2)，‎ 令x＝0，得yM＝－，‎ 从而|BM|＝1－yM＝1＋，‎ 直线PB的方程为y＝x＋1，‎ 令y＝0，得xN＝－，‎ 从而|AN|＝2－xN＝2＋，‎ 所以四边形ABNM的面积 S＝|AN||BM|＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝2，‎ 从而四边形ABNM的面积为定值．‎ ‎10．已知离心率为的椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点为F，过F且与x轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点，|AB|＝.‎ ‎(1)求此椭圆的方程；‎ ‎(2)已知直线y＝kx＋2与椭圆交于C，D两点，若以线段CD为直径的圆过点E(－1,0)，求k的值．‎ 解：(1)设焦距为2c，∵e＝＝，a2＝b2＋c2，‎ ‎∴＝.由题意可知＝，∴b＝1，a＝，‎ ‎∴椭圆的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)将y＝kx＋2代入椭圆方程，得(1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0，‎ 又直线与椭圆有两个交点，‎ 所以Δ＝(12k)2－36(1＋3k2)＞0，解得k2＞1.‎ 设C(x1，y1)，D(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝－，x1x2＝.‎ 若以CD为直径的圆过E点，‎ 则·＝0，‎ 即(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝0，‎ 而y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4，‎ 所以(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2‎ ‎＝(k2＋1)x1x2＋(2k＋1)(x1＋x2)＋5‎ ‎＝－＋5＝0，‎ 解得k＝，满足k2＞1，所以k＝.‎