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- 2021-06-16 发布
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限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)
A级 基础夯实练
1.(2018·定州模拟)已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则( )
A.m∥l B.m∥n
C.n⊥l D.m⊥n
解析:选C.因为α∩β=l,所以l⊂β,又n⊥β,所以n⊥l.故选C.
2.(2018·郑州测试)已知两条不重合的直线m,n和两个不重合的平面α,β,m⊥α,n⊂β.给出下列四个命题:
①若α∥β,则m⊥n;②若m⊥n,则α∥β;③若m∥n,则α⊥β;④若α⊥β,则m∥n.
其中正确命题的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析:选C.依题意,对于①,由“若一条直线与两个平行平面中的一个垂直,则该直线也垂直于另一个平面”得知,m⊥β,又n⊂β,因此m⊥n,①正确;对于②,当α⊥β时,设α∩β=n,在平面β内作直线m⊥n,则有m⊥α,因此②不正确;对于③,由m∥n,m⊥α得n⊥α,又n⊂β,因此有α⊥β,③正确;对于④,当m⊥α,α∩β=n,α⊥β时,直线m,n不平行,因此④不正确.综上所述,正确命题的个数为2,故选C.
3.(2018·兰州重点中学联考)如图,四棱锥
PABCD的底面是边长为1的正方形,侧棱PA=1,PB=PD=,则它的五个面中,互相垂直的面共有( )
A.3对 B.4对
C.5对 D.6对
解析:选C.因为AB=AD=AP=1,PB=PD=,所以AB2+AP2=PB2,PA2+AD2=PD2,则PA⊥AB,PA⊥AD,可得PA⊥底面ABCD,又PA⊂平面PAB,PA⊂平面PAD,所以平面PAB⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面ABCD.又AB⊥AD,AD∩PA=A,所以AB⊥平面PAD,所以平面PAB⊥平面PAD.又BC⊥AB,BC⊥PA,AB∩PA=A,所以BC⊥平面PAB,所以平面PAB⊥平面PBC.又CD⊥AD,CD⊥AP,AD∩AP=A,所以CD⊥平面PAD,所以平面PAD⊥平面PCD.故选C.
4.(2018·南阳模拟)已知平面α⊥平面β,α∩β=l,点A∈α,A∉l,直线AB∥l,直线AC⊥l,直线m∥α,m∥β,则下列四种位置关系中,不一定成立的是( )
A.AB∥m B.AC⊥m
C.AB∥β D.AC⊥β
解析:选D.因为直线m∥α,m∥β,α∩β=l,所以m∥l,所以AB∥m正确,AC⊥m正确;根据线面平行的判定定理可得AB∥β正确;当直线AC不在平面α内时,尽管AC⊥l,AC与平面β可以平行,也可以相交(不垂直),所以AC⊥β不一定成立.故选D.
5.已知平面α与平面β相交,直线m⊥α,则( )
A.β内必存在直线与m平行,且存在直线与m垂直
B.β内不一定存在直线与m平行,不一定存在直线与m垂直
C.β内不一定存在直线与m平行,但必存在直线与m垂直
D.β内必存在直线与m平行,不一定存在直线与m垂直
解析:选C.如图,设平面α与平面β的交线为a,若在平面β内的直线与α,β的交线a平行,则该直线与m垂直.但β内不一定存在直线与m平行,只有当α⊥β时才存在.故选C.
6.(2018·丽水模拟)如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD且底面各边都相等,M是PC上一点,当点M满足________时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)
解析:如图,连接AC,因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD,因为四边形ABCD的各边相等,所以AC⊥BD,又PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC,所以BD⊥PC,要使平面MBD⊥平面PCD,只需PC垂直于平面MBD内与BD相交的直线即可,所以可填DM⊥PC(或BM⊥PC).
答案:DM⊥PC(或BM⊥PC)
7.若圆锥的侧面积是底面积的3倍,则其母线与底面夹角的余弦值为________.
解析:设圆锥的底面半径为r,母线长为l,由题意πrl=3πr2,即l=3r,母线与底面夹角为θ,则cos θ==.
答案:
8.(2018·南宁模拟)如图,在正方形ABCD中,AC为对角线,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点.现在沿AE,AF及EF
把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H.则下列说法错误的是________.(将符合题意的序号填到横线上)
①AG⊥△EFH所在平面;②AH⊥△EFH所在平面;③HF⊥△AEF所在平面;④HG⊥△AEF所在平面.
解析:根据折叠前AB⊥BE,AD⊥DF可得折叠后AH⊥HE,AH⊥HF,∴AH⊥平面EFH,即②正确;∵过点A只有一条直线与平面EFH垂直,∴①不正确;∵AG⊥EF,AH⊥EF,∴EF⊥平面HAG,∴平面HAG⊥平面AEF.过H作直线垂直于平面AEF,该直线一定在平面HAG内,∴③不正确;∵HG不垂直于AG,∴HG⊥平面AEF不正确,∴④不正确.综上,说法错误的是①③④.
答案:①③④
9.(2018·福建三明一中月考)如图,在四棱锥ABCD中,平面ABC⊥平面BCD,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F,G分别为AC,DC,AD的中点.
(1)求证:EF⊥平面BCG;
(2)求三棱锥DBCG的体积.
解:(1)证明:由已知得,△ABC≌△DBC,因此AC=DC,
因为G为AD的中点,所以CG⊥AD.
同理BG⊥AD,又CG∩BG=G,CG,BG⊂平面BCG,
所以AD⊥平面BCG,
由题意,EF为△DAC的中位线,
所以EF∥AD,所以EF⊥平面BCG.
(2)在平面ABC内作AO⊥CB,交CB的延长线于O(图略),
因为平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,所以AO⊥平面BCD,
又G为AD的中点,
所以G到平面BCD的距离h=AO=ABsin 60°=,
又S△BCD=BD·BC·sin 120°=,
所以VDBCG=VGBCD=S△BCD×h=××=.
10.如图,在几何体ABCA1B1C1中,点A1,B1,C1在平面ABC内的正投影分别为A,B,C,且AB⊥BC,E为AB1的中点,AB=AA1=BB1=2CC1.
(1)求证:CE∥平面A1B1C1;
(2)求证:平面AB1C1⊥平面A1BC.
证明:
(1)由题意知AA1⊥平面ABC,BB1⊥平面ABC,CC1⊥平面ABC,
∴AA1∥BB1∥CC1.
如图,取A1B1的中点F,连接EF,FC1.
∵E为AB1的中点,∴EF綊A1A,
又AA1=2CC1,∴CC1綊AA1,∴EF綊CC1,
∴四边形EFC1C为平行四边形,
∴CE∥C1F.
又CE⊄平面A1B1C1,C1F⊂平面A1B1C1,
∴CE∥平面A1B1C1.
(2)∵BB1⊥平面ABC,∴BB1⊥BC.
又AB⊥BC,AB∩BB1=B,∴BC⊥平面AA1B1B.
∵AB1⊂平面AA1B1B,∴BC⊥AB1.
∵AA1=BB1=AB,AA1∥BB1,
∴四边形AA1B1B为正方形,∴AB1⊥A1B.
∵A1B∩BC=B,
∴AB1⊥平面A1BC.
∵AB1⊂平面AB1C1,
∴平面AB1C1⊥平面A1BC.
B级 能力提升练
11.直三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,∠ACB=90°,D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1,DF相交于点E.要使AB1⊥平面C1DF,则线段B1F的长为( )
A. B.1
C. D.2
解析:选A.设B1F=x,
因为AB1⊥平面C1DF,DF⊂平面C1DF,
所以AB1⊥DF.
由已知可得A1B1=,
设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h,
则DE=h.
又2×=h,
所以h=,DE=.
在Rt△DB1E中,B1E= =.
由面积相等得× =x,得x=.
12.已知正方体ABCDA1B1C1D1中,点E,F,G分别是线段DC,D1D和D1B上的动点,给出下列结论
①对于任意给定的点E,存在点F,使得AF⊥A1E;
②对于任意给定的点F,存在点E,使得AF⊥A1E;
③对于任意给定的点G,存在点F,使得AF⊥B1G;
④对于任意给定的点F,存在点G,使得AF⊥B1G.
其中正确结论的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析:选C.由DE⊥平面A1D,根据三垂线定理,①对于任意给定的点E,A1E在平面A1D的射影为A1D,所以存在点F,使得AF⊥A1E,所以①正确;②如果对于任意给定的点F,存在点E,使得AF⊥A1E,那么,由A1D⊥AD1,可知过A有两条直线与A1D垂直,故②错误;③只有AF垂直B1G在平面AD1的射影时,AF⊥B1G,故③正确;④只有AF⊥平面BB1D1D时,④才正确,AF与平面BB1D1D不垂直,故④错误.
13.(2018·郴州模拟)如图,矩形ABCD中,AB=2AD,E为边AB的中点,将△ADE沿直线DE翻转成△A1DE(A1∉平面ABCD).若M,O分别为线段A1C,DE的中点,则在△ADE翻转过程中,下列说法错误的是( )
A.与平面A1DE垂直的直线必与直线BM垂直
B.异面直线BM与A1E所成角是定值
C.一定存在某个位置,使DE⊥MO
D.三棱锥A1ADE外接球半径与棱AD的长之比为定值
解析:选C.取CD的中点F,连接BF,MF,如图1,可知平面MBF∥平面A1DE,所以BM∥平面A1DE,A正确.取A1D中点G,可得EG∥BM,如图2,所以B正确.由题意可得点A关于直线DE的对称点为F,则DE⊥平面A1AF,即过O与DE垂直的直线在平面A1AF内,而M不在平面A1AF内,故C错误.三棱锥A1ADE外接球的球心即为O点,所以外接球半径为AD,故D正确.
14.(2018·石家庄一模)
已知一个直角三角形的三个顶点分别在底面边长为2的正三棱柱的侧棱上,则该直角三角形斜边的最小值为________.
解析:记该直角三角形为△ABC,且AC为斜边.不妨令点A与正三棱柱的一个顶点重合,如图,取AC的中点O,连接BO,∴BO=AC,∴当AC取得最小值时,BO取得最小值,即点B到平面ADEF的距离.∵△AHD是边长为2的正三角形,∴点B到平面ADEF的距离为,∴AC的最小值为2.
答案:2
15.已知三棱锥SABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形,AB=2,SA=SB=SC=2,则三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离是________.
解析:因为三棱锥SABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形,SA=SB=SC=2,∴S在平面ABC内的射影为AB中点,记为H,连接CH,SH,∴SH⊥平面ABC,∴SH上任意一点到A,B,C的距离相等,∴三棱锥的外接球的球心在线段SH上,记为O,连接OC,设外接球的半径为R,则SO=OC=R=-OH,在△OCH中,由OH2+HC2=OC2,得OH2=(-OH)2-12,得OH=,故外接球的球心到平面ABC的距离是.
答案:
16.如图,三棱柱ABCA1B1C1中,A1A⊥平面ABC,∠ACB=90°,AC=CB=CC1=2,M是AB的中点.
(1)求证:平面A1CM⊥平面ABB1A1;
(2)求点M到平面A1CB1的距离.
解:(1)证明:由A1A⊥平面ABC,CM⊂平面ABC,得A1A⊥CM.
由AC=CB,M是AB的中点,得AB⊥CM.
又A1A∩AB=A,则CM⊥平面ABB1A1,
又CM⊂平面A1CM,所以平面A1CM⊥平面ABB1A1.
(2)设点M到平面A1CB1的距离为h.连接MB1.
由题意可知A1C=CB1=A1B1=2MC=2,A1M=B1M=,
则S△A1CB1=2,S△A1MB1=2.
由(1)可知CM⊥平面ABB1A1,则CM是三棱锥CA1MB1的高,
由VCA1MB1=MC·S△A1MB1=VMA1CB1=h·S△A1CB1,得h==,
即点M到平面A1CB1的距离为.
C级 素养加强练
17.(2018·安徽淮北一中模拟)如图,四棱锥PABCD的底面是矩形,PA⊥平面ABCD,E,F分别是AB,PD的中点,且PA=AD.
(1)求证:AF∥平面PEC;
(2)求证:平面PEC⊥平面PCD.
证明:(1)取PC的中点G,连接FG、EG,
∵F为PD的中点,G为PC的中点,
∴FG为△CDP的中位线,
∴FG∥CD,FG=CD.
∵四边形ABCD为矩形,E为AB的中点,∴AE∥CD,AE=CD.
∴FG=AE,FG∥AE,∴四边形AEGF是平行四边形,
∴AF∥EG,又EG⊂平面PEC,AF⊄平面PEC,∴AF∥平面PEC.
(2)∵PA=AD,F为PD中点,∴AF⊥PD,∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD,
又∵CD⊥AD,AD∩PA=A,∴CD⊥平面PAD,∵AF⊂平面PAD,∴CD⊥AF,
又PD∩CD=D,∴AF⊥平面PCD,
由(1)知EG∥AF,∴EG⊥平面PCD,
又EG⊂平面PEC,∴平面PEC⊥平面PCD.
18.(2018·四川泸州模拟)如图,在四棱锥SABCD中,底面ABCD是梯形,AB∥DC,∠ABC=90°,AD=SD,BC=CD=AB,侧面SAD⊥底面ABCD.
(1)求证:平面SBD⊥平面SAD;
(2)若∠SDA=120°,且三棱锥SBCD的体积为,求侧面△
SAB的面积.
解:(1)证明:设BC=a,则CD=a,AB=2a,由题意知△BCD是等腰直角三角形,且∠BCD=90°,
则BD=a,∠CBD=45°,
所以∠ABD=∠ABC-∠CBD=45°,
在△ABD中,
AD==a,
因为AD2+BD2=4a2=AB2,所以BD⊥AD,由于平面SAD⊥底面ABCD, 平面SAD∩平面ABCD=AD,
BD⊂平面ABCD,
所以BD⊥平面SAD,
又BD⊂平面SBD,所以平面SBD⊥平面SAD.
(2)由(1)可知AD=SD=a,在△SAD中,∠SDA=120°,SA=2SDsin 60°=a,
作SH⊥AD,交AD的延长线于点H,
则SH=SDsin 60°=a,
由(1)知BD⊥平面SAD,
因为SH⊂平面SAD,所以BD⊥SH,
又AD∩BD=D,所以SH⊥平面ABCD,
所以SH为三棱锥SBCD的高,
所以VSBCD=×a××a2=,
解得a=1,由BD⊥平面SAD,SD⊂平面SAD,可得BD⊥SD,
则SB===2,
又AB=2,SA=,
在等腰三角形SBA中,
边SA上的高为 =,
则△SAB的面积为××=.