2020-2021学年高二数学上册同步练习：空间向量基本定理 15页

2020-2021 学年高二数学上册同步练习：空间向量基本定理 一、单选题 1．  ,,abc 为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是（ ） A．  ,,a a b a b B．  ,,b a b a b C． ,,c a b a b D． , , 2a b a b a b   【答案】C 【解析】对于 A，因为()()2ababa ，所以 ,,a a b a b共面，不能构成基底，排除 A， 对于 B，因为 )()2ababb( ，所以 ,,b a b a b共面，不能构成基底，排除 B， 对于 D， 312 ( ) ( )22a b a b a b     ，所以 ,,2ababab 共面，不能构成基底，排除 D， 对于 C，若 ,,c a b a b共面，则 ()()()()cababab ，则 ,,abc共面，与 为空间向量的一组基底相矛盾，故 可以构成空间向量的一组基底， 故选 C 2．如图，在三棱锥O ABC 中，点 D 是棱 AC 的中点，若 OA a ， OB b ， O C c ，则 BD 等于 （ ） A． 11 22abc B． a b c C． a b c D． 11 22abc 【答案】A 【解析】由题意在三棱锥 中，点 D 是棱 的中点，若 ， ， ， 可知： BD BO OD， BO b ， 1111 2222ODOAOCac ， 11 22BDabc ． 故选 A ． 3．如图，在三棱锥 A B C D 中， E ､ F 分别是棱 AD ､ BC 的中点，则向量 EF  与 ,A B C D 的关系是 （ ） A． 11 22EFABCD   B． 11 22EFABCD   C． 11 22EFABCD   D． 11 22EFABCD    【答案】C 【解析】取 AC 的中点 M ，连结 ,EM FM ， ,EF分别是 ,A D B C 的中点， 1 2MECD   ， 1 2MFAB   ， 11 22EF MF ME AB CD           . 故选 C . 4．如图，在四面体 OABC 中， 2OMMA ， BN NC ，则 MN  （ ） A． 111 222OAOBOC   B． 221 332OAOBOC   C． 121 232OAOBOC   D． 211 322OAOBOC   【答案】D 【解析】∵ 2OM MA   ， B N NC   ， ∴ 12()23MNONOMOBOCOA   211 322OAOBOC   ． 故选 D． 5．在下列结论中： ①若向量 ,ab共线，则向量 所在的直线平行； ②若向量 所在的直线为异面直线，则向量 一定不共面； ③若三个向量 ,,abc两两共面，则向量 共面； ④已知空间的三个向量 ，则对于空间的任意一个向量 p 总存在实数 x，y，z 使得 p xa yb zc   . 其中正确结论的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】平行向量就是共线向量，它们的方向相同或相反，未必在同一条直线上，故①错． 两条异面直线的方向向量可通过平移使得它们在同一平面内，故②错， 三个向量两两共面，这三个向量未必共面，如三棱锥 P A B C 中， ,,P A P B P C 两两共面，但它们不 是共面向量，故③错． 根据空间向量基本定理， ,,abc需不共面，故④错． 故选 A． 6．如图所示，在平行六面体 1111A B C D A BC D 中， M 为 11AC 与 11BD 的交点，若 1,,ABaADbAAc ，则 CM  （ ） A． 11 22abc B． 11 22abc C． 11 22abc D． 11 22abc 【答案】D 【解析】由题意，因为 为 与 的交点，所以 也为 与 的中点， 因此    111 1 2CMAMACAAA MAB ADAAACAB AD  1 1 2 11 22AAABADabc  . 故选 D. 7．在三棱锥 A BCD 中， E 是棱CD 的中点，且 2 3BF BE ，则 AF  （ ） A． 133 244ABACAD B． 33 44AB AC AD C． 533ABACAD D． 1 1 1 3 3 3AB AC AD 【答案】D 【解析】因为 是棱 的中点， 2 3BF BE ， 所以  2221 3333AFABBFABBEABAEABAEAB  11111 33333ACADABABACAD . 故选 D. 8．若  ,,a b c 是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是（ ） A． ,2 ,3a b c B． ,,a b b c c a   C． ,,a b c b c c   D． 2,23,39abbcac 【答案】D 【解析】对于 : ,2 ,3 ,:,,,:,,A abc B ab bc ca C abc bc c ，每组都是不共面的向量，能构 成空间的一个基底， 对于 D ： 2,23,3-9abbcac 满足：    3 -9 3 2 - 2 3a c a b b c  ，是共面向量，不能构成空间的一个基底， 故选 D 9．如图，在四面体OABC 中， G 是底面  ABC 的重心，则 OG 等于（ ） A． O A O B O C B． 111 222OAOBOC C． 111 236OAOBOC D． 111 333OAOBOC 【答案】D 【解析】    211112 323333AGACABOCOAOBOAOCOBOA 则 1 1 1 3 3 3OG AG OA OA OB OC     , 故选 D. 10．已知在平行六面体 ABCDABCD  中， 3AB  ， 45A D A A  ， ， 120BAD   ， 60BAA  ， 90D A A  ，则 AC的长为（ ） A． 52 B． 53 C． 58 D． 53 【答案】D 【解析】在平行六面体 中， ， A D 4 , 5AA  ， ， ， ， ACABADAA ,  22ACABADAA  222 222ABADAAAB ADAB AAAD AA  9 16 25 2 3 4 cos120 2 3 5 cos60 50 12 15 53                则 53AC  故选 D 11．（多选题）给出下列命题，其中正确命题有（ ） A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一个基底 B．已知向量 //ab，则 ,ab与任何向量都不能构成空间的一个基底 C． ,,,A BMN 是空间四点，若 ,,BA BM BN 不能构成空间的一个基底，那么 共面 D．已知向量 ,,a b c 组是空间的一个基底，若 m a c，则 ,,a b m 也是空间的一个基底 【答案】ABCD 【解析】选项 A 中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所 以 A 正确； 选项 B 中，根据空间基底的概念，可得 正确； 选项 C 中，由 ,,B A B M B N 不能构成空间的一个基底，可得 共面， 又由 过相同点 B，可得 , , ,A B M N 四点共面，所以 正确； 选项 D 中：由 ,,abc 是空间的一个基底，则基向量 ,ab与向量 m a c一定不共面，所以可以构成 空间另一个基底，所以 正确． 故选 ABCD. 12．（多选题）设 a ， b ， c 是空间一个基底，则（ ） A．若 ⊥ ， ⊥ ，则 ⊥ B．则 ， ， 两两共面，但 ， ， 不可能共面 C．对空间任一向量 p ，总存在有序实数组(x，y，z)，使 p xa yb zc   D．则 ＋ ， ＋ ， ＋ 一定能构成空间的一个基底 【答案】BCD 【解析】对于 A 选项， b 与 ,ac都垂直， 夹角不一定是 π 2 ，所以 A 选项错误. 对于 B 选项，根据基底的概念可知 a ， ， c 两两共面，但 ， ， 不可能共面. 对于 C 选项，根据空间向量的基本定理可知，C 选项正确. 对于 D 选项，由于 ， ， 是空间一个基底，所以 ， ， 不共面.假设 ＋ ， ＋ ， ＋ 共 面，设     1a b x b c x c a      ，化简得  1xaxbc ，即  1cxaxb ，所以 ， ， 共面，这与已知矛盾，所以 ＋ ， ＋ ， ＋ 不共面，可以作为基底.所以 D 选项正 确. 故选 BCD 三、填空题 13．已知 S 是△ABC 所在平面外一点，D 是 SC 的中点，若 BD  x SA ySB zSC，则 x+y+z=_____. 【答案】 1 2 【解析】如图，根据条件:  1 2BD BC BS  1 2 SCSBSB 1 2S B S C   10 2SASBSC , 又 BDxSAySBzSC , ∴由空间向量基本定理得 110122xyz  , 故填 1 2 14．平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，向量 1,,ABADAA 两两的夹角均为 60°，且 AB =1，| AD uuuv|=2，| 1AA |=3，则| 1AC |等于_____. 【答案】5 【解析】由平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 可得: 1 1AC AB AD AA   ， ∴ 2222 11 11222AC AB AD AAAB AD AB AA AD AA    =12+22+32+2cos60°(1×2+1×3+2×3) =25，∴ 1AC =5. 故填 5. 15．已知点 M，N 分别是空间四面体 OABC 的边 OA 和 BC 的中点，P 为线段 MN 的中点，若OP =λOA +μOB +γOC ，则实数 λ+μ+γ=_____. 【答案】 3 4 【解析】如图，连接 ON， 在△OMN 中，点 P 是 MN 中点，由平行四边形法则得    1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 4 2 2 4 4 4OP OM ON OM ON OA OB OC OA OB OC           , 又 OP =λ OA +μ OB +γ OC ， ∴ 111,,444 ， ∴ 3 4     ． 故填 3 4 ． 16．如图，在三棱柱 111ABCA BC 中， D 是 1CC 的中点， 11 1 3A FA B ，且 1DFABACAA ，则 __________． 【答案】 1 2 【解析】由题意的： 11 1 3A FA B ， 1 1 1 1DF DC C A A F   = 11 11 23CCACA B = 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3AA AC A B A A   = 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3AA AC A B AA   = 1 11 36AB AC A A , 故可得  1 3 ，  =-1， = 1 6 ， 可得：      1- 2 . 故填 . 17．如图所示,在空间四边形 OABC 中， ,,OAaOBbOCc ,点 M 在线段 OA 上，且 2O M M A ， N 为 BC 中点，若 =MN xa yb zc，则 x y z  _____________ 【答案】 1 3 【解析】 ,,,OAaOBbOCc 点 在 上，且 ， 为 的中点， 22= 33OMOAa  111 222ONOBOCbc 112= 223MNONOMbca 2 1 1,,3 2 2x y z     故 2111 3223xyz  故填 18．如图，在空间四边形 O A B C 中， ， 分别为 、 的中点，点 G 在线段 MN 上，且 3MGGN ，用向量OA 、 OB 、OC 表示向量 OG ，设OG x OA y OB z OC      ，则 x 、 y 、 z 的 和为______. 【答案】 7 8 【解析】 MNMAABBN 1 1 1 1 1()2 2 2 2 2OA OB OA OC OB OA OB OC         1313111 2424222OGOMMGOAMNOAOAOBOC  8 1 33 88OAOBOC 133,,888xyz 即 7 8xyz 故填 三、解答题 19．已知 ABCD A B C D     是平行六面体． （1）化简 12 23AABCAB  ，并在图形中标出其结果； （2）设 M 是底面 ABCD的中心， N 是侧面 BCCB的对角线 BC 上的点，且 :3:1BNNC  ，设 MN AB AD AA      ，试求 ，  ， 的值． 【解析】（1）如图所示，取线段 AA 中点 E，则 1 2E A A A ， B C A D A D  ， 取 2 3D F D C    ， ∵ A B D C   ， ∴ 22 33ABDCDF． 则 2 3 1 2 AABCABEAA DD FEF ． （2）∵ MN MB BN 1 24 3 BCDB 31 4()()2 DAABBCCC  113 244ABADAA  αAB βAD γAA ， ∴ 1 2  ， 1 4β  ， 3 4γ  ． 20．在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，设 1,,ABaADbAAc ，E，F 分别是 AD1，BD 的中点． （1）用向量 ,,abc表示 1 ,D B EF ，； （2）若 1D F xa yb zc   ，求实数 x，y，z 的值． 【解析】（1） 1 1 1D B D D DB AA AB AD a b c         ， 1 11 22EF EA AF D A AC    1 111()()()222AAADABADac  . （2） 111 11111()()22222D FD DD Bcabcabc  ， 所以 11,,122xyz . 21．如图，三棱柱 111A B C A BC 中，底面边长和侧棱长都等于 1， 1160BAACAA ． （1）设 1A A a ， A B b ， AC c ，用向量 a ， b ， c 表示 1BC ，并求出 1BC 的长度； （2）求异面直线 1AB 与 所成角的余弦值． 【解析】（1） 111 111 11 1BCBBBCBBACA Bacb  1 1cos 1 1 cos60 2a b a b BAA       ，同理可得 1 2a c b c，  2 222 1 22 22BCac bacba ca bc b   ． （2）因为 1ABab， 所以  2 22 1 23AB a b a b a b      ， 因为     22 11 1AB BC a b a c b a a c a b b a c b b           ， 所以 11 11 11 16cos, 623 AB BCAB BC ABBC   ． 异面直线 与 所成角的余弦值为 6 6 ． 22．如图，在平行六面体 1 111ABCDA BC D 中，以顶点 A 为端点的三条棱长都是 1 ，且它们彼此的夹角都 是 60 ， M 为 11AC 与 11BD 的交点.若 ABa ， ADb ， 1AAc ， （1）用 ,,abc表示 BM ； （2）求对角线 1AC 的长； （3）求 1c o s , A B A C 【解析】（1）连接 1AB , AC ， ，如图： A B a ， A D b ， 1A A c 在 1A A B ，根据向量减法法则可得： 11BAAAABca 底面 A B C D 是平行四边形  AC AB AD a b    11//ACAC 且 11ACAC 11ACACa b 又 M 为线段 11AC 中点  1 1 1 11 22AM bAC a   在 1AMB 中  11 1 11 222BM BA A M c aaab c b     （2） 顶点 A 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60  1cos60 2abab s 2c 160oaacc   s 2c 160obbcc   由（1）可知 A C a b 平行四边形 11A AC C 中 故： 11ACACA bAac     222 11Cac bAAC        222 +++222 +aca bcc bb a 222 +++ coscoscos60606 2 022babcab cca   111 21+1+1+22 222  6 1 6AC  故：对角线 1AC 的长为： 6 . （3） 1ACabc ， A B a 又  1 1 1 cos, 16 aacAB ACAB AC ABAC b     2 1 2622 36 11 66 baaa c     