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- 2021-06-16 发布
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专题六 数 列
【真题典例】
6.1 数列的概念及其表示
挖命题
【考情探究】
考点
内容解读
5年考情
预测热度
考题示例
考向
关联考点
数列的概念及其表示
①了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式);
②了解数列是自变量为正整数的一类函数
2018课标Ⅰ,14,5分
由an与Sn的关系求数列的通项公式
等比数列的通项公式
★★★
2015课标Ⅱ,16,5分
由an与Sn的关系求数列的通项公式
等差数列的通项公式
分析解读 在高考中主要考查利用an和Sn的关系求通项an或利用递推公式构造等差或等比数列求通项an.能结合通项公式或简单的递推关系去分析数列的性质,如单调性、周期性等,并能利用性质解题.本节内容多出现在选择题、解答题中,分值约为 5分或12 分,属中档题.
破考点
【考点集训】
考点 数列的概念及其表示
1.(2017湖南湘潭一中、长沙一中等六校联考,4)已知数列{an}满足:∀m,n∈N*,都有an·am=an+m,且a1=12,那么a5=( )
A.132 B.116 C.14 D.12
答案 A
2.(2018湖北枣阳12月模拟,2)已知数列2,5,22,11,…,则25是这个数列的( )
A.第6项 B.第7项 C.第11项 D.第19项
答案 B
3.(2017河南郑州、平顶山、濮阳二模,7)已知数列{an}满足an+1=an-an-1(n≥2),a1=m,a2=n,Sn为数列{an}的前n项和,则S2 017的值为( )
A.2 017n-m B.n-2 017m
C.m D.n
答案 C
4.(2018百校联盟TOP20三月联考,14)已知数列{an}满足2Sn=4an-1,当n∈N*时,{(log2an)2+λlog2an}是递增数列,则实数λ的取值范围是 .
答案 (1,+∞)
炼技法
【方法集训】
方法1 利用Sn与an的关系求通项公式
1.(2017湖南岳阳一模,7)已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=(n+1)an2,则a2 017=( )
A.2 016 B.2 017 C.4 032 D.4 034
答案 B
2.已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+4a4+…+nan=3n2-2n+1,求an.
解析 设a1+2a2+3a3+4a4+…+nan=Tn.
当n=1时,a1=T1=3×12-2×1+1=2;
当n≥2时,nan=Tn-Tn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1]=6n-5,因此an=6n-5n,
显然当n=1时,不满足上式.
故数列{an}的通项公式为an=2,n=1,6n-5n,n≥2.
方法2 由递推关系求数列的通项公式
1.(2018广东深圳耀华实验学校期中,11)在数列{an}中,a1=1,an+1=2an-2n,则a17=( )
A.-15×216 B.15×217
C.-16×216 D.16×217
答案 A
2.已知数列{an}满足a1=2,(n+1)an=(n-1)an-1(n≥2,n∈N*),则a3a1= ,数列{an}的通项公式为 .
答案 16;an=4n(n+1)(n∈N*)
3.已知数列{an}满足a1=1,an+1=anan+2(n∈N*),求数列{an}的通项公式.
解析 由题意可知an≠0.
由an+1=anan+2,得1an+1=2an+1,
所以1an+1+1=21an+1.
又a1=1,所以1a1+1=2,
所以数列1an+1是以2为首项,2为公比的等比数列,
所以1an+1=2×2n-1=2n,
所以an=12n-1(n∈N*).
方法3 数列的单调性和最大(小)项
1.已知an=9n(n+1)10n(n∈N*),则数列{an}的最大项为 .
答案 a8和a9
2.(2017湖南湘潭三模,16)数列{an}满足a1+a2+a3+…+an=2n-an(n∈N*),数列{bn}满足bn=2-n2(an-2),则{bn}中的最大项的值是 .
答案 18
过专题
【五年高考】
A组 统一命题·课标卷题组
1.(2018课标Ⅰ,14,5分)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6= .
答案 -63
2.(2015课标Ⅱ,16,5分)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn= .
答案 -1n
B组 自主命题·省(区、市)卷题组
1.(2015江苏,11,5分)设数列{an}满足a1=1,且an+1-an=n+1(n∈N*),则数列1an前10项的和为 .
答案 2011
2.(2015四川,16,12分)设数列{an}(n=1,2,3,…)的前n项和Sn满足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记数列1an的前n项和为Tn,求使得|Tn-1|<11 000成立的n的最小值.
解析 (1)由已知Sn=2an-a1,有an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2),即an=2an-1(n≥2).
从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.
又因为a1,a2+1,a3成等差数列,
即a1+a3=2(a2+1).
所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2.
所以,数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列.
故an=2n.
(2)由(1)得1an=12n,
所以Tn=12+122+…+12n=121-12n1-12=1-12n.
由|Tn-1|<11 000,得1-12n-1<11 000,即2n>1 000.
因为29=512<1 000<1 024=210,所以n≥10.
于是,使|Tn-1|<11 000成立的n的最小值为10.
C组 教师专用题组
1.(2016浙江,13,6分)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,则a1= ,S5= .
答案 1;121
2.(2015浙江,20,15分)已知数列{an}满足a1=12且an+1=an-an2(n∈N*).
(1)证明:1≤anan+1≤2(n∈N*);
(2)设数列{an2}的前n项和为Sn,证明:12(n+2)≤Snn≤12(n+1)(n∈N*).
证明 (1)由题意得an+1-an=-an2≤0,即an+1≤an,
故an≤12.
由an=(1-an-1)an-1得an=(1-an-1)(1-an-2)…(1-a1)a1>0.
由010,若数列{an}满足an=f(n)(n∈N*),且{an}是递增数列,则实数a的取值范围是( )
A.(1,3) B.(1,2] C.(2,3) D.2411,3
答案 C
7.(2018山西晋中高考适应性调研,9)“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年,英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理,因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将1到2 018这2 018个数中,能被3除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{an},则此数列共有( )
A.98项 B.97项
C.96项 D.95项
答案 B
8.(2018河南安阳二模,9)已知数列:11,21,12,31,22,13,41,32,23,14,…,依它的前10项的规律,这个数列的第2 018项a2 018等于( )
A.131 B.163 C.64 D.632
答案 D
二、填空题(每小题5分,共10分)
9.(2019届安徽皖中名校联盟高三10月联考,14)已知数列{an}满足:an=1-1an+1,且a1=2,则a2 019= .
答案 12
10.(2018山东菏泽第一次模拟,16)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=(-1)n·an-12n,记bn=8a2·2n-1,若对任意的n∈N*,总有λbn-1>0成立,则实数λ的取值范围为 .
答案 12,+∞
三、解答题(共10分)
11.(2018山东六校联考,17)设数列{an}满足:a1+a2+a3+…+an=n-an(n∈N*).
(1)求a1,a2;
(2)若bn=n(2-n)(an-1),求{bn}的最大项,并写出取最大项的项数.
解析 (1)∵数列{an}满足:a1+a2+a3+…+an=n-an(n∈N*),∴a1=1-a1,a1+a2=2-a2,
解得a1=12,a2=34.
(2)由数列{an}满足:a1+a2+a3+…+an=n-an(n∈N*),
得n≥2时,a1+a2+a3+…+an-1=n-1-an-1,
两式相减可得an=1-an+an-1(n≥2),
可得:an-1=12(an-1-1)(n≥2),
又a1-1=-12,
∴数列{an-1}是等比数列,其公比为12,首项为-12.
∴an-1=-12n,
∴bn=n(2-n)(an-1)=n(n-2)×12n,
∴bn+1-bn=(n+1)(n-1)×12n+1-n(n-2)×12n=-(n2-4n+1)2n+1,
令bn+1-bn>0,解得2-3b5>b6>….
数列{an}的最大项是第4项,且b4=12.