2020-2021学年高二数学上册单元提升卷：不等式 14页

2020-2021 学年高二数学上册单元提升卷：不等式 一、单项选择题：（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。） 1.已知关于 x 的不等式 ax2﹣x+c＜0 的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则 a+c 等于（ ） A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3 【分析】根据题意即可得出，﹣1，2 是方程 ax2﹣x+c＝0 的两实根，将 x＝﹣1 带入方程即可求出 a+c＝﹣ 1． 【解答】解：据题意知，﹣1，2 是方程 ax2﹣x+c＝0 的两实根； ∴将 x＝﹣1 带入方程得 a+c+1＝0； ∴a+c＝﹣1． 故选：A． 【点评】考查一元二次不等式的解和对应一元二次方程实根的关系． 【知识点】其他不等式的解法 2.关于 x 的不等式 x2+ax﹣3＜0，解集为（﹣3，1），则不等式 ax2+x﹣3＜0 的解集为（ ） A．（ 1，2） B．（﹣1，2） C． D． 【分析】由题意知﹣3 和 1 是方程 x2+ax﹣3＝0 的两根，可求得 a 的值； 再代入不等式 ax2+x﹣3＜0 中求不等式的解集． 【解答】解：由题意知，x＝﹣3，x＝1 是方程 x2+ax﹣3＝0 的两根，可得﹣3+1＝﹣a，解得 a＝2； 所以不等式为 2x2+x﹣3＜0，即（2x+3）（ x﹣1）＜0， 解得 ， 所以不等式的解集为（﹣ ，1）． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题． 【知识点】一元二次不等式 3.若关于 x 的不等式 ax﹣b＞0 的解集是（﹣∞，﹣2），关于 x 的不等式 的解集为（ ） A．（﹣∞，﹣1）∪（1，2） B．（﹣1，0）∪（2，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（0，2） D．（ 0，1）∪（2，+∞） 【分析】根据题意，由 ax﹣b＞0 的解集分析可得 b＝﹣2a 且 a＜0，进而可得 ⇒（x+1）x（x ﹣2）＜0，解可得 x 的取值范围，即可得答案． 【解答】解：根据题意，关于 x 的不等式 ax﹣b＞0 的解集是（﹣∞，﹣2），必有 ，则有 b＝ ﹣2a 且 a＜0， 则 ⇒ ＞0⇒ ＞0⇒ ＜0⇒（x+1）x（x﹣2）＜0， 解可得：x＜﹣1 或 0＜x＜2， 即不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，2）； 故选：C． 【点评】本题考查分式不等式的解法，注意分析 a、b 的关系，属于基础题． 【知识点】其他不等式的解法 4.已知 log2（a﹣2）+log2（b﹣1）＝1，则 2a+b 取到最小值时，a+b＝（ ） A．9 B．6 C．4 D．3 【分析】依题意，（a﹣2）（ b﹣1）＝2 且 a＞2，b＞1，进而得到 ，利用基本不等式的取等条件可 得当 2a+b 取最小值时，a＝b＝3，由此得解． 【解答】解：由 log2（a﹣2）+log2（b﹣1）＝1 可得，（a﹣2）（ b﹣1）＝2 且 a＞2，b＞1， 由（a﹣2）（ b﹣1）＝2 可得， ， ∴ ，当且仅当 a＝b＝3 时，2a+b 取到最小值 9，此时 a+b＝3+3＝6． 故选：B． 【点评】本题主要考查基本不等式的运用，属于基础题． 【知识点】基本不等式 5.已知正数 x，y 满足 x+y＝1，且 ≥m，则 m 的最大值为（ ） A． B． C．2 D．4 【分析】根据题意，分析可得 ＝（ + ）﹣5，由基本不等式的性质求出 + 的最 小值，即可得 的最小值，据此分析可得答案． 【解答】解：根据题意，正数 x，y 满足 x+y＝1， 则 ＝ + ＝（y+1）+ ﹣4+（x+1）+ ﹣4＝（ + ） ﹣5， 又由 + ＝ （ + ）[（x+1）+（y+1）]＝ [8+ + ]≥ ， 当且仅当 x＝y＝ 时等号成立， 则 ＝（ + ）﹣5≥ ﹣5＝ ，即 的最小值为 ， 若 ≥m，则 m 的最大值为 ； 故选：B． 【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用，注意对 的变形，属于基础题． 【知识点】基本不等式 6.不等式（x﹣1）2＜x+5 的解集为（ ） A．{x|1＜x＜4} B．{x|﹣1＜x＜4} C．{x|﹣4＜x＜1} D．{x|﹣1＜x＜3} 【分析】把不等式化为 x2﹣3x﹣4＜0，求出解集即可． 【解答】解：不等式（x﹣1）2＜x+5 可化为 x2﹣3x﹣4＜0， 即（x﹣4）（ x+1）＜0， 解得﹣1＜x＜4， 所以不等式的解集为{x|﹣1＜x＜4}． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题． 【知识点】一元二次不等式 7.设函数 ，若 ，c＝f（20.2），则（ ） A．a＜b＜c B．b ＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c 【分析】容易看出 f（x）在（0，π）上单调递增，且可得出 ，且 1 ＜20.2＜2，从而得出 ，这样根据 f（x）的单调性即可得出 a， b，c 的大小关系． 【解答】解：f（x）在（0，π）上单调递增； ，且 log25＞log23＞1； ∴ ； ∴ ； 又 1＜20.2＜2； ∴ ； ∴b＜a＜c． 故选：D． 【点评】考查正切函数的单调性，增函数的定义，对数函数的单调性，对数的换底公式． 【知识点】不等式比较大小 8.若实数 x，y 满足 ，则 2x﹣y 的最大值为（ ） A．﹣2 B．0 C．7 D．9 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求 得最优解的坐标，代入目标函数得答案． 【解答】解：实数 x，y 满足 的可行域如图所示： 联立 ，解得 A（4，1）． 化目标函数 z＝2x﹣y 为 y＝2x﹣z， 由图可知，当直线 y＝2x﹣z 过 A 时， 直线在 y 轴上的截距最小，z 有最大值为 2×4+1＝9． 故选：D． 【点评】本题考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 【知识点】直线方程的斜截式 9.已知实数 x，y 满足 ，则 z＝ 的取值范围为（ ） A．[0， ] B．（﹣∞，0]∪[ ，+∞） C．[2， ] D．（﹣∞，2]∪[ ，+∞） 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论． 【解答】解：z＝ ＝2+ ， 设 k＝ ，则 k 的几何意义为区域内的点到 D（0，﹣2）的斜率， 作出不等式组对应的平面区域如图： 由 解得 ，即 A（3，2）， 则 AD 的斜率 k＝ ， CD 的斜率 k＝ ， 则 k 的取值范围是 k≥ 或 k≤﹣2， 则 k+2≥ 或 k+2≤0， 即 z≥ 或 z≤0， 故选：B． 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义结合直线的斜率公式是解决本题的关键． 【知识点】简单线性规划 10.已知实数 x，y 满足 如果目标函数 z＝x﹣y 的最小值为﹣1，则实数 m 等于（ ） A．7 B．5 C．4 D．3 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数 z＝x﹣y 的最小值是﹣1，确定 m 的取值． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由目标函数 z＝x﹣y 的最小值是﹣1， 得 y＝x﹣z，即当 z＝﹣1 时，函数为 y＝x+1，此时对应的平面区域在直线 y＝x+1 的下方， 由 ，解得 ，即 A（2，3）， 同时 A 也在直线 x+y＝m 上，即 m＝2+3＝5， 故选：B． 【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件求出 m 的值是解决本题的关键，利用数形结合是解决此 类问题的基本方法． 【知识点】简单线性规划 11.已知奇函数 的图象经过点（1，1），若矩形 ABCD 的顶点 A，B 在 x 轴上，顶点 C，D 在函 数 f（x）的图象上，则矩形 ABCD 绕 x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值为（ ） A． B．π C． D．2π 【分析】求出 a，b 的值，令 ，整理得 Rx2﹣2x+R＝0，则 xC，xD 为这个一元二次方程的两不等实 根，求出圆柱的体积，结合基本不等式的性质求出体积的最大值即可． 【解答】解：由 f（0）＝0，及 f（1）＝1 得，a＝2，b＝0， ， 如图，不妨设点 C，D 在 x 轴的上方， 不难知该旋转体为圆柱，半径 R＝|BC|， 令 ，整理得 Rx2﹣2x+R＝0， 则 xC，xD 为这个一元二次方程的两不等实根， 于是圆柱的体积 ≤π[R2+（1﹣R2）] ＝π， 当且仅当 时，等号成立． 故选：B． 【点评】本题考查了函数和方程问题，考查圆柱的体积以及基本不等式的性质，是一道综合题． 【知识点】基本不等式 12.已知关于 x 的方程 x2+2λ2+6λ＝2λcosx+16 仅有唯一实数根，则实数 λ 的值为（ ） A．2 或﹣4 B．2 C．2 或 4 D．4 【分析】问题转化为偶函数 y＝x2+2λ2+6λ 与偶函数 y＝2λcosx+16 的图象有且只有一个交点， 所以这个交点一定在 y 轴上，即 x＝0 是原方程的根，由此解出 λ，再进行检验，舍去﹣4 【解答】解：问题转化为偶函数 y＝x2+2λ2+6λ 与偶函数 y＝2λcosx+16 的图象有且只有一个交点， 所以这个交点一定在 y 轴上，即 x＝0 是原方程的根， ∴2λ2+6λ＝2λ+16，解得：λ＝2 或 λ＝﹣4， 当 λ＝2 时，经检验符合题意； 当 λ＝﹣4 时，经检验，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的根的分布与系数的关系．属中档题． 【知识点】一元二次方程的根的分布与系数的关系 二、填空题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。） 13.若变量 x，y 满足约束条件： ，则 z＝3x+2y 的最大值是 ． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，z＝3x+2y 得 y＝﹣ x+ z，利用数形结合即可的得到结论 【解答】解：画出约束条件的可行域，z＝3x+2y 得 y＝﹣ x+ z， 当 y＝﹣ x+ z 经过可行域的 B（2，2） 目标函数取得最大值：3×2+2×2＝10． 故答案为：10 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 【知识点】简单线性规划 14.若实数 a，b∈（0，1）且 ，则 的最小值为 ． 【分析】先根据条件消掉 b，将 b＝ 代入原式得 ，再列项并用贴“1“法，最后应用基本不 等式求其最小值． 【解答】解：因为 ab＝ ，所以 b＝ ， 因此 ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝2（ ）+2， ＝ [（4a﹣1）+（4﹣4a）]+2， ＝ [1+2+ ]+2， ≥ （3+2 ）+2＝4+ ， 当且仅当 a＝ ，取“＝”， 及 的最小值为 ， 故答案为： ， 【点评】本题考查基本不等式的应用，属于中档题． 【知识点】基本不等式 15.已知 a＞0，b＞0，c＞1 且 a+b＝1，则（ ﹣2）• c+ 的最小值为 ． 【分析】根据 a+b＝1 和“1”的代换，利用不等式化简 ，代入 化简后，利用添 补项和基本不等式求出式子的最小值，并求出等号成立时 a、b、c 的值． 【解答】解：因为 a＞0，b＞0，a+b＝1， 所以 ＝ ＝ ≥ ＝ ， 又 c＞1，则 ≥ ＝ [2（c﹣1）+ +2]≥ ＝4+2 ， 其中等号成立的条件：当且仅当 ， 解得 a ＝ 、b＝2 、c＝1+ ， 所以 的最小值是 ， 故答案为： ． 【点评】本题考查利用基本不等式求最值问题，“1”的代换灵活应用，考查灵活变形、化简能力，属于中 档题． 【知识点】基本不等式 16.设命题 P：实数 x，y 满足： ，命题 q：实数 x，y 满足（x+1）2+y2≤m，若 p 是 q 的必要不 充分条件，则正实数 m 的取值范围是 ． 【分析】m 为正实数，所以满足 q 的点（x，y）在以（﹣1，0）为圆心，以 为半径的圆周及其内部，记 作 Q，满足条件 p 的点构成的集合记作 P，p 是 q 的必要不充分条件，所以 Q⫋P，再根据几何关 系处理即可． 【解答】解：根据题意，m 为正实数，所以满足 q 的点（x，y）在以（﹣1，0）为圆心，以 为半径的 圆周及其内部，记作 Q， 满足条件 p 的点构成的集合记作 P， 因为 p 是 q 的必要不充分条件，所以 Q⫋P， 如图：设直线 x＝2 和直线 x+2y＝2 的交点为 A，直线 x﹣y＝0 和直线 x+2y＝2 的交点为 B， 直线 x＝2 和直线 y＝x 的交点为 C， 则点（﹣1，0）到直线 AC 的距离 d1＝1， 点（﹣1，0）到直线 AB 的距离 d2＝ ＝ ， 点（﹣1，0）到直线 BC 的距离 d3＝ ＝ ， 所以点（﹣1，0）到三角形 ABC 边界的最小距离为 ， 所以 ≤ ， 即 m∈（0， ]， 故答案为：（0， ]． 【点评】本题考查了线性规划，考查了点与圆的位置关系，考查了简易逻辑，属于难题． 【知识点】简单线性规划 三、解答题：（本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17.解下列不等式： （1）（ 1﹣x）（ x+2）＞﹣4 （2） 【分析】（1）原不等式可化为 x2+x﹣6＜0，然后按一元二次不等式的解法解即可； （2）原不等式可化为 ，该不等式又等价于 ，然后解不等式组即可． 【解答】解：（1）原不等式可化为 x2+x﹣6＜0，所以原不等式的解集为{x|﹣3＜x＜2}； （2）原不等式可化为 ， 等价于 ， 所以原不等式的解集为{x|x≤﹣4 或 x＞3}． 【点评】考查一元二次不等式和分式不等式的解法． 【知识点】其他不等式的解法 18.设 a，b，c＞0，且 ab+bc+ca＝1， 求证：（1）a+b+c≥ ； （2） + + ≥ （ + + ） 【分析】（1）运用分析法证明．要证 a+b+c≥ ，结合条件，两边平方，可得 a2+b2+c2≥1，运用重要不 等式，累加即可得证． （2）问题转化为证明 a +b +c ≤1，根据基本不等式的性质证明即可． 【解答】证明：（1）运用分析法证明． 要证 a+b+c≥ ， 即证（a+b+c）2≥3， 由 a，b，c 均为正实数，且 ab+bc+ca＝1， 即有 a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）≥3， 即为 a2+b2+c2≥1，① 由 a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac， 相加可得 a2+b2+c2≥zb+bc+ca＝1， 则①成立． 综上可得，原不等式成立． （2）∵ + + ＝ ， 而由（1）a+b+c≥ ， ∴ ≥ （ + + ）， 故只需 ≥ + + ， 即 a +b +c ≤1， 即：a +b +c ≤ab+bc+ac， 而 a ＝ • ≤ ，b ≤ ，c ≤ ， ∴a +b +c ≤ab+bc+ac＝1 成立， （当且仅当 a＝b＝c＝ 时）． 【点评】本题考查了基本不等式的证明，考查转化思想，是一道中档题． 【知识点】基本不等式 19.甲、乙两地生产某种产品，它们可调出的数量分别为 300t 和 750t，A、B、C 三地需要该种产品的数量 分别为 200t、450t 和 400t，甲地运往 A、B、C 三地的运费分别是 6 元/吨、3 元/吨、5 元/吨，乙地运往 A、B、C 三地的运费分别是 5 元/吨、9 元/吨、6 元/吨，问怎样的调运方案才能使总运费最省？ 【分析】设出变量，求出约束条件以及目标函数，利用线性规划的知识即可得到结论． 【解答】解：设由甲地调往 A、B 两地的产品数量各为 xt，yt，则甲地调往 C 地为 300﹣（x+y）t， ∴乙地调往 A、B、C 三地的产量数量分别为 （200﹣x）t，（ 450﹣y）t，（ 100+x+y）t， 则 ， 即 目标函数 z＝6x+3y+5（300﹣x﹣y）+5（200﹣x）+9（450﹣y）+6（100+x+y）＝2x﹣5y+7150 作出可行域，平移直线 2x﹣5y＝0， 可知过点（0，300）时，zmax＝5650， ∴甲地的产品全部运往 B 地，乙地的产品运往 A、B、C 三地分别为 200t，150t，400t 时总运 费最省为 5650 元． 【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件，建立不等式，利用数形结合是解决本题的关键． 【知识点】简单线性规划 20.已知函数 f（x）＝|x﹣2|+|x﹣t|（t＞0）的最小值为 2． （Ⅰ）求不等式 f（x）+|x﹣t|≥8 的解集； （Ⅱ）若 ，求 2ac+3bc 的最大值． 【分析】（Ⅰ）先利用绝对值三角不等式求出 f（x）的最小值，然后根据 f（x）的最小值为 2 求出 t，再解 绝对值不等式即可； （Ⅱ）根据（Ⅰ）可得 2a2+3b2+5c2＝10，然后利用基本不等式 求出 2ac+3bc 的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）∵|x﹣2|+|x﹣t|≥|（x﹣2）﹣（x﹣t）|＝|t﹣2|， ∴f（x）min＝|t﹣2|， 又 f（x）＝|x﹣2|+|x﹣t|（t＞0）的最小值为 2， ∴|t﹣2|＝2，∴t＝4（t＝0 舍去）． ∴f（x）+|x﹣t|＝|x﹣2|+2|x﹣4|＝ ． 当 x＜2 时，令 10﹣3x≥8，得 ，∴ ； 当 2≤x≤4 时，令 6﹣x≥8，得 x≤﹣2 无解； 当 x＞4 时，令 3x﹣10≥8，得 x≥6，∴x≥6． 综上，不等式的解集为 ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知 t＝4，∴2a2+3b2+5c2＝ ＝10， ∴10＝2a2+3b2+5c2＝2（a2+c2）+3（b2+c2）≥4ac+6bc， ∴2ac+3bc≤5，当且仅当 a＝b＝c＝±1 时等号成立， ∴2ac+3bc 的最大值为 5． 【点评】本题考查了绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法和利用基本不等式求最值，考查了分类讨论 思想和转化思想，属中档题． 知识点】绝对值不等式的解法、基本不等式 21.若实数 x，y，m 满足|x﹣m|＞|y﹣m|，则称 x 比 y 远离 m． （1）若 2 比 3x﹣4 远离 1，求 x 的取值范围； （2）对任意两个不相等的实数 a，b 证明 比（ ）2 远离 ab； （3）设函数 f（x）的定义域为 D，值域为 E，任取 x∈D，f（x）是 g（x）＝x2﹣2x﹣3 和 h（x）＝2x+2 中远离 0 的那个值，写出 f（x）的解析式，并写出其定义域与值域． 【分析】（1）运用基本不等式的知识可解决；（2）绝对值不等式的解法可解决此问题；（3）函数的解析式． 【解答】解：根据题意得：（1） ＞ ∴ ＜1 解得 ＜x＜2； （2）证明： ＝ ＝ ； ＝ ∵a≠b ∴ ＞ ∴ 比 远离 ab； （3）令 x2﹣2x﹣3＝2x+2＝0 得 x＝﹣1 令 x2﹣2x﹣3＝2x+2 得 x＝﹣1 或 x＝5 ∴f（x）＝ 定义域为 R 值域[﹣4，+∞）． 【点评】本题考查不等式的知识和绝对值不等式的解法． 【知识点】基本不等式、绝对值不等式的解法 22.某单位有员工 1000 名，平均每人每年创造利润 10 万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调 整出 x（x∈N*）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为 万元（a＞0）， 剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高 0.2x%． （1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 1000 名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名 员工从事第三产业？ （2）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 1000 名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出 的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则 a 的取值范围是多少？ 【分析】（1）根据题意可列出 10（1000﹣x）（ 1+0.2x%）≥10×1000，进而解不等式求得 x 的范围，确定 问题的答案． （2）根据题意分别表示出从事第三产业的员工创造的年总利润和从事原来产业的员工的年总 利润，进而根据题意建立不等式，根据均值不等式求得求 a 的范围． 【解答】解：（1）由题意，得 10（1000﹣x）（ 1+0.2x%）≥10×1000， 即 x2﹣500x≤0，又 x＞0，所以 0＜x≤500． 即最多调整 500 名员工从事第三产业． （2）从事第三产业的员工创造的年总利润为 万元， 从事原来产业的员工的年总利润为 万元， 则 ， 所以 ≤ ， 所以 ，即 恒成立． 因为 ， 当且仅当 ，即 x＝500 时等号成立，所以 a≤5， 又 a＞0，所以 0＜a≤5．所以 a 的取值范围为（0，5]． 【点评】本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用．考查了学生综合运用所学知识，解决实际问 题的能力． 【知识点】基本不等式