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- 2021-06-16 发布
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第五节 二次函数与幂函数
A组 基础题组
1.下图是①y=xa;②y=xb;③y=xc在第一象限的图象,则a,b,c的大小关系为( )
A.c10-2a,a+1>0,10-2a>0,解得32x+m恒成立,
即x2-3x+1>m在区间[-1,1]上恒成立.
令g(x)=x2-3x+1=x-322-54,
因为g(x)在[-1,1]上的最小值为g(1)=-1,
所以m<-1.故实数m的取值范围为(-∞,-1).
10.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时, f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示.
(1)写出函数f(x)(x∈R)的增区间;
(2)写出函数f(x)(x∈R)的解析式.
解析 (1)f(x)的增区间为(-1,0),(1,+∞).
(2)若x>0,则-x<0,又函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时, f(x)=x2+2x,
∴f(x)=f(-x)=(-x)2+2×(-x)=x2-2x(x>0),
∴f(x)=x2-2x(x>0),x2+2x(x≤0).
B组 提升题组
1.下图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出下列四个结论:
①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a0,即b2>4ac,①正确.
图象的对称轴为x=-1,即-b2a=-1,2a-b=0,②错误.
结合图象,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,③错误.
由图象的对称轴为x=-1知,b=2a.又函数图象开口向下,所以a<0,所以5a<2a,即5a1,即a<-12时,
f(x)max=f(-1)=-2a-1,
∴-2a-1=1,即a=-1,满足题意.综上可知,a=-13或-1.
4.已知函数f(x)=x2+3|x-a|(a>0),记f(x)在[-1,1]上的最小值为g(a).
(1)求g(a)的表达式;
(2)若对x∈[-1,1],恒有f(x)≤g(a)+m成立,求实数m的取值范围.
解析 (1)f(x)=x2-3x+3a,x0,-1≤x≤1,
①01时, f(x)在[-1,1]上递减,
则g(a)=f(1)=3a-2.
综上可得g(a)=a2,01.
(2)令h(x)=f(x)-g(a),
①01时,g(a)=3a-2,h(x)=x2-3x+2≤h(-1)=6.
综上可得,h(x)=f(x)-g(a)在a>0,-1≤x≤1上的最大值为6,
即有h(x)≤m恒成立,即m≥6.
所以m的取值范围是[6,+∞).
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