安徽省皖江名校联盟2021届高三数学（文）12月联考试题（Word版附答案） 9页

皖江名校联盟 2021 届高三上学期 12 月联考 数学（文科） 本试卷共 4 页，全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟． 考生注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写 在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸 和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1．设复数 1 3 2 iz i    ，则 | |z （ ） A．3 B． 3 2 2 C．2 D． 2 2．设全集U R ，集合  | | ( 1)(3 ) 0, 2 4A x x x B x     ∣„ ，则集合  U A Bð 等于（ ） A． (1, 2) B． (2,3] C． (1,3) D． (2,3) 3．已知命题 2 ,| 1| 0p x R x x     ；命题 :q “a b ”是“1na>1nb ”的充要条件，则（ ） A． ( ) qp  为真命题 B． p q 为真命题 C． p q 为真命题 D． ( )p q  为假命题 4．若 2ln , log,6, log 0,64a b c   ，则（ ） A．c a b  B．b a c  C．a b c  D．b c a  5．两千多年前，古希腊著名数学家欧几里得把素数（即质数）看作数学中的原子．长期以来，人们在研究 素数的过程中取得了及其丰硬的成果，如哥德巴赫猜想、梅森素数等．对于如何判断一个大于 1 的自然数 0n 是否为素数，某数学爱好者设计了如图所示的程序框图，则空白的判断框内应填入的最优判断条件为（ ） A． ?i k B． 1?i k „ C． ?i k D． 1?i k … 6．已知单位向量 ,a b  满足 | 2 | 2a b a b      ∣ ，则 (4 ) ( )a b a b       （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．设等比数列 na 中，前 n项和为 nS ，已知 63 8, 7S S  ，则 87 9a a a  等于（ ） A． 55 8 B． 57 8 C． 1 8  D． 1 8 8．函数  2( ) 2 xf x x x e  的图象大致是（ ） A． B． C． D． 9．已知函数 ( ) sin(3 ) 2 2 f x x            图象关于直线 5 18 x   对称，则函数 ( )f x 在区间[0, ] 上零 点的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知关于 x的不等式 2 2 4 0ax x a   在 (0,2]上有解，则实数 a的取值范围是（ ） A． 1, 2      B． 1 , 2      C． ( , 2) D． (2, ) 11．在正方体 1 1 1,ABCD A BC D 中，三棱锥 1 1A BC D 内切球的体积为 4 3  ，则正方体外接球的表面积为 （ ） A．24 B．36 C． 48 D．96 12．已知函数 1( ) e lnmxf x x m   ，当 0x  时， ( ) 0f x  恒成立，则 m的取值范围为（ ） A． (1, ) B． ( , )e  C． 1 ,e e       D． 1 , e      二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．已知角 的顶点与坐标原点重合，始边与 x轴的非负半轴重合，若点 ( 3, 4)P  在角 的终边上，则 sin 2  __________． 14．已知实数 ,x y满足约束条件 0 4 0 1 x y x y y        … … ，则 22 x yz  的最大值为___________． 15．已知数列 na 的各项均为正数，其前 n项和 nS 满足 1 1 2n n n S a a        ，则 na  ________． 16．在 ABC 中， , ,a b c分别是角 , ,A B C的对边，若 2 1cos cos 2 cos , 3 3 c B b C a A AM AB AC       ， 且 3AM  ，则 2b c 的最大值是_________． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10 分） 设数列 na 的前 n项和为 nS ，若 51 1, 25a S  ，且 1 12 1 1 n n nS S S n n n      （ 2n… 且 *n N ）． （1）求 nS ，并求出数列 na 的通项公式； （2）设 2 2 11 3 1 1 1 n n n T a a a a a a      ，求 2021T 的值． 18．（12 分） 已知 ABC 的内角 , ,A B C的对边分别为 , ,a b c，且 cos cos cos 3 sin cos B A C a B C b   ． （1）求角 C的大小； （2）若 6c  ，且 AB边上的中线 4CD  ，求 ABC 的面积． 19．（12 分） 如图，三棱锥 P ABC 中， 2, ,PA PB AB BC AB BC D     是 AC的中点． （1）证明： PD AB ； （2）若 PB BC ，求点 D到平面PBC的距离． 20．（12 分） 设函数 3 2( ) 3 2f x x x   ． （1）求函数 ( )f x 的单调递减区间； （2）若函数 ( )f x 在区间 ( , 5)m m  内存在最小值，求实数 m的取值范围． 21．（12 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD为菱形， , 3 BAD Q   为 AD的中点， 2PA PD AD   ． （1）点 M在线段 PC上， PM tPC ，试确定 t的值，使得 / /PA 平面MQB； （2）在（1）的条件下，若 6PB  ，求三棱锥M BCQ 的体积． 22．（12 分） 已知函数 ( ) 1x x xf x ae e   （其中 0,a e 是自然对数的底数）． （1）当 2a  时，求曲线 ( )y f x 在点 (0, (0))f 处的切线方程； （2）若函数 ( )f x 恰好有两个零点，求实数 a的取值范围． 2021 届高三第四次联考 文数参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A B C B C D B C A B D 1．【解析】 1 3 (1 3 )(2 ) 1 7 1 7 2 5 5 5 5 i i i iz i i             ，则 1 49| | 2 25 25 z    ． 2．【解析】因为 { ( 1)(3 ) 0} { 1 3}U A x x x x x      ∣ ∣ð ，又因为 { 2}B x x ∣ ． 所以   { 1 2}U A B x x   ∣ð ． 3．【解析】 | 1| 0 | 1| , 0x x x x x       时右边负数显然成立， 0x  时 1x x  也成立，所以命题 p 是真命题．对于命题 q，当 0a  时 ln a没有意义，命题 q是假命题．所以 ( )p q  为假命题，A 错误；p q 为真命题，B 正确； p q 为假命题，C 错误； ( )p q  为真命题，D 错误．故选 B． 4．【解析】利用中间值 0 和 1 来比较： 7 2ln 1,0 log 6 1, log 0.64 0a b c       5．【解析】假如 n是合数，它必有一个约数 a，使得a b n  ，且a b、 两个数中必有一个大于或者等于 n， 另一个小于或者等于 n，所以只要小于或者等于 n的数（1 除外）不能整除 n，则 n必是素数，应填入 1?i k  ，故选 B． 6．【解析】由 | 2 | | 2 |a b a b      得 0a b   ，又 2 2| | 1,| | 1, (4 ) ( ) 4 3a b a b a b a b                ． 7．【解析】 3 3 3 6 3 3 18 8 7 , 8 S S q S q q        2 67 8 9 7 8 9 1 2 3 1 1 1 8 64 8 a a a q a a a a a a                8．【解析】函数有且只有 2 个零点，排除 AC，求导可得函数有极大值和极小值，故选 B． 9．【解析】函数 ( ) sin(3 ) 2 2 f x x            图象关于直线 5 18 x   对称， 所以 53 ( ) 18 2 k k Z       ，解得 ( ) 3 k k Z    ，又因为 2 2     ，所以 3    ， 所以 ( ) sin 3 3 f x x       ，令 ( ) sin 3 0 3 f x x        ，则3 ( ) 3 x k k Z    ，得 3 9 kx     ， 因为 [0, ]x  ，所以 4 7, , 9 9 9 x     ．即函数 ( )f x 在区间[0, ] 上零点的个数为 3． 10．【解析】 (0, 2]x 时，不等式可化为 2 2 2 44 xa x x x     ；令 2( ) 4f x x x   ，则 max 2 1( ) 22 4 a f x   综上所述，实数 a的取值范围是 1, 2      ． 11．【解析】设正方体的棱长为 a，则三棱锥 1 1A BC D 是棱长 2BD a 的正四面体．因为三棱锥 1 1A BC D 内切球的体积为 4 3  ，所以三棱锥 1 1A BC D 内切球的半径为 1，设 1 1A BC D 内切球的球心为 O， 1A到面 1BC D的距离为 h，则 1 1 1 1 1 1 14 , 4 1 3 3A BC D O BC D BC D BC DV V S h S         ， 4h  ，又 2 2 3 6 6( 2 ) 2 2 , 2 4, 2 3 3 3 3 h a a a a a                 ，又因为正方体外接 球直接就是正方体对角线长，∴正方体外接球的半径为 2 2 2(2 3) (2 3) (2 3) 3 2    ，其表面积为 24 3 36   ． 12．【解析】由题意，若 0m  显然 ( )f x 不是恒大于零，故 0m  ．（由 4 个选项也是显然可得） 0m  ，则 1( ) ln 0mxf x e x m    在 (0,1] 上恒成立；当 1x  时， 1( ) ln 0mxf x e x m    等价于 ln1 ln ln lnmx mx xe x mx e x x x e m       ，令 ( ) ( 0), ( ) (1 ) 0, ( )t tg t te t g t t e g t     在 (0, ) 上单 调递增．因为 0, ln 0( 1)mx x x   ，所以 lnln lnmx xmx e x e mx x     ，即 ln ( 1)xm x x   再设 2 ln 1 ln( ) ( ) ( 1)x xh x h x x x x       ，令 ( ) 0h x x e    ，易得 ( )h x 在 (0, )e 上单调递增，在 ( , )e  上 单调递减，从而 max 1( ) ( )h x h e e   ，故 1m e  ． 13．【答案】 24 25  【解析】由题设 4 3sin ,cos 5 5     ，所以 4 3 24sin 2 2 5 5 25            14．【答案】32【解析】约束条件表示的区域是以 (1,1), (2, 2), (3,1) 为顶点的三角形，目标函数在 (3,1)处取 最大值． 15．【答案】 5 2 【解析】由 1 1 2n n n S a a        ，令 1n  得 1 1a  ．当 2n  时， 由 1 1 2n n n S a a        得 22 1n n na S a  得    2 1 11 2n n n n nS S S S S     ，整理得 2 2 1 1( 2)n nS S n  … ， 所以 2 2 2 2 2 2 2 1 3 2 11, 1, , 1n nS S S S S S        ，累加得 2 nS n ，所以 nS n ，所以 1 1( 2)n n na S S n n n     … ，所以 5 5 2a   ． 16．【答案】6【解析】由 cos cos 2 cosc B b C a A  得 3 A   ， 因为 2 2 2 22 1 4 1 4 cos 3 3 3 9 9 9 AM AB AC c b bc A             ， 所以 2 2 2 2 2 24 2 27 ( 2 ) 2 27 ( 2 ) 27 2 27 2 b cb c bc b c bc b c bc                   ， 得 23 ( 2 ) 27 2 6 4 b c b c     ． 17．【解析】（1） 51 1, 5 1 5 SS   ，又 nS n       是等差数列，所以首项是 1，公差是 1， nS n n  即 2 nS n ，所以 1 2 1n n na S S n    （ 1n  时），显然 1n  也符合．所以  *2 1na n n N   ．…5 分 （2） 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 5 (2 1)(2 1)n n n T a a a a a a n n               1 1 1 1 1 1 1 11 1 2 3 3 5 2 1 2 1 2 2 1 2 1 n n n n n                                       ，所以 2021 2021 2021 2 2021 1 4043 T     10 分 18．【解析】（1）因为 cos cos cos 3 sin cos B A C a B C b   ，由正弦定理，得 cos cos cos 3 sin sin cos sin B A C A B C B   ， 所以 cos( ) cos cos 3 sin sin cos sin A C A C A B C B     ．所以 sin sin 3 sin cosA C A C ． 3 分 又因为 sin 0A  ，所以 tan 3C  ．因为 (0, )C  ，所以 3 C   6 分 （2）因为 cos cos 0BDC ADC    ，所以 2 2 2 2 2 23 4 3 4 0 2 3 4 2 3 4 a b          ，得 2 2 50a b  ； 9 分 又因为 2 2 26 2 cos 3 a b ab ab     ，所以 14ab  ，所以 1 1 3 7sin 14 3 2 2 2 2 S ab C     ． 12 分 19．【解析】（1）由题设 PAB 是等边三角形， ABC 是等腰直角三角形，取 AB中点 E，连接 ,DE BD， 则 PA PB PE AB AD BD      ，又中位线 1/ / , 1 2 DE BC DE BC  ．所以 / /DE BC DE AB AB BC     因此 PE AB AB DE AB      平面 PDE PD AB  6 分 （2）若 PB BC ，结合已知条件 AB BC 可得 BC 平面 PAB，所以平面 PAB 平面 ABC PAB ABC PAB ABC AB PE PE AB         平面 平面 平面 平面 平面 ABC，所以 1 1 1 32 1 3 3 3 2 3P DBC BCDV S PE         ． 另一方面 1 1 1 22 2 3 3 2 3P DBC D PBC BCPV V S h h h                ，其中 h是点 D到平面PBC的距离． 所以 2 3 3 3 2 2 h h   ，即点 D到平面 PBC的距离等于 3 2 ． 12 分 （也可以转化为 E点到平面 PBC的距离，直接作 EF PB 于 F，计算求解） 20．【解析】（1）令 2( ) 3 6 0 (0,2)f x x x x      ，所以 ( )f x 的单调递减区间是 (0,2) 4 分 （2）由（1）知 ( )f x 在 ( ,0), (2, )  上单调递增，在 (0,2)上单调递减． 所以 (0) 2f  是极大值， (2) 2f   是极小值， 在开区间 ( , 5)a a  内的最小值一定是 (2) 2f   ． 8 分 令 3 2 3 2( ) 3 2 2 3 4 0f x x x x x         ，得 3 2 2 1 21 3 3 ( 1)( 2) 0 1, 2x x x x x x           所以 1 2 5 2 m m       ，得实数 m的取值范围是[ 1, 2) ． 12 分 21．【解析】（ 1）当 1 3 t  时， / /PA 平面 MQB ．连接 AC 交 BQ 于点 N，连接 MN ，由题设 1/ / , 2 AQ BC AQ BC ，得 1 3 AN AC ． 若 / /PA 平面MQB，由平面 PAC平面MQB MN ，得 / /PA MN，于是 1 1, 3 3 PM PC t  ． 当 1 , / / / / 3 PM ANt PA MN PA PC AC     平面MQB．（这一步没有写，扣 2 分） 6 分 （2）连接 BD，由题设 ,ABD PAD  都是等边三角形，Q是 AD中点， , , 3PQ AD BQ AD PQ BQ    ． 在 PQB 中， 2 2 26PQ BQ BQ   ，得 PQ BQ ，又 ,PQ AD AD BQ Q   ，得 PQ 平面 ABCD． 所以平面 PQC 平面 ABCD，作MH CQ 于 H，则MH 平面 2 2 3, 3 3 ABCD MH PQ  ． 又 1 22 2 sin 3 2 3BCQ ABCS S         ，所以 1 2 3 23 3 3 3M BCQV      ．……12 分 22．【解析】（1）当 2a  时， ( ) 2e 1 e x x xf x    ，所以 1( ) 2e e x x xf x    ， 所以 (0) 2 1 1f     ．又 (0) 2 1 1f    ， 所以曲线 ( )y f x 在点 (0, (0))f 处的切线方程为 1y x  ，即 1 0x y   ． 4 分 （2）问题等价于 1( ) 1x x xg x e e       的图象和直线 y a 恰好有 2 个交点，求 a的取值范围． 令 1( ) 1 e ex x xg x       ，则 2 1 2 e( ) e x x xg x    ．令 ( ) 1 2 e xh x x   ，…6 分 则 ( ) 2 e 0, ( )xh x h x      在 ( , )  上单调递减．又 (0) 0h  ， ∴当 ( ,0)x  时， ( ) 0, ( ) 0, ( )h x g x g x   在 ( ,0) 上单调递增． 当 (0, )x  时， ( ) 0, ( ) 0, ( )h x g x g x   在 (0, ) 上单调递减， ( )g x 的极大值即最大值为 (0) 1g  ． 10 分 ∴当 ( ,0]x  时， ( ) ( ,1]g x   ；当 (0, )x  时， ( ) (0,1)g x  ． ∴当 (0,1)a 时， 1( ) 1x x xg x e e       的图象和直线 y a 恰好有 2 个交点， 函数 ( )f x 恰好有两个零点． 12 分