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- 2021-06-16 发布
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平面向量的基本定理及坐标表示
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一、选择题
1.设平面向量a=(-1,0),b=(0,2),则2a-3b等于( )
A.(6,3) B.(-2,-6)
C.(2,1) D.(7,2)
B [2a-3b=(-2,0)-(0,6)=(-2,-6).]
2.已知平面直角坐标系内的两个向量a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,2) B.(2,+∞)
C.(-∞,+∞) D.(-∞,2)∪(2,+∞)
D [由题意可知a与b不共线,即3m-2≠2m,∴m≠2.故选D.]
3.若向量a=(2,1),b=(-1,2),c=,则c可用向量a,b表示为( )
A.c=a+b B.c=-a-b
C.c=a+b D.c=a-b
A [设c=xa+yb,易知
∴
∴c=a+b.故选A.]
4.如图所示,矩形ABCD的对角线相交于点O,E为AO的中点,若=λ+μ(λ,μ为实数),则λ2+μ2等于( )
A. B.
C.1 D.
A [法一:=+=+
=+(+)=-,
所以λ=,μ=-,故λ2+μ2=,故选A.
法二:本题也可以用特例法,如取ABCD为正方形,解略.]
5.已知向量a=(1,1),b=(-1,2),若(a-b)∥(2a+tb),则t=( )
A.0 B.
C.-2 D.-3
C [由题意得a-b=(2,-1),2a+tb=(2-t,2+2t).因为(a-b)∥(2a+tb),所以2×(2+2t)=(-1)×(2-t),解得t=-2,故选C.]
6.如图所示,已知AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的两个三等分点,=a,=b,则=( )
A.a-b
B.a-b
C.a+b
D.a+b
D [连接CD(图略),由点C,D是半圆弧的三等分点,得CD∥AB且==a,
所以=+=b+a.]
7.(2019·厦门模拟)已知||=1,||=,·=0,点C在∠AOB内,且与的夹角为30°,设=m+n(m,n∈R),则的值为( )
A.2 B.
C.3 D.4
C [∵·=0,∴⊥,
以所在直线为x轴,所在直线为y轴建立平面直角坐标系(图略),
=(1,0),=(0,),=m+n=(m,n).
∵tan 30°==,∴m=3n,即=3,故选C.]
二、填空题
8.在▱ABCD中,AC为一条对角线,=(2,4),=(1,3),则向量的坐标为 .
(-3,-5) [∵+=,∴=-=(-1,-1),
∴=-=-=(-3,-5).]
9.已知A(1,0),B(4,0),C(3,4),O为坐标原点,且=(+-),则||= .
2 [由=(+-)=(+)知,点D是线段AC的中点,故D
(2,2),所以=(-2,2).
故||==2.]
10.平行四边形ABCD中,=e1,=e2,=,=,则= .(用e1,e2表示)
-e1+e2 [如图,=-=+2=+
=-+(-)
=-e2+(e2-e1)
=-e1+e2.]
1.如图,向量e1,e2,a的起点与终点均在正方形网格的格点上,则向量a可用基底e1,e2表示为( )
A.e1+e2
B.-2e1+e2
C.2e1-e2
D.2e1+e2
B [以e1的起点为坐标原点,e1所在直线为x轴建立平面直角坐标系(图略),由题意可得e1=(1,0),e2=(-1,1),a=(-3,1),因为a=xe1+ye2=x(1,0)+y(-1,1)=(x-y,y),则解得
故a=-2e1+e2.]
2.(2019·南充模拟)如图,原点O是△ABC内一点,顶点A在x轴上,∠AOB
=150°,∠BOC=90°,||=2,||=1,||=3,若=λ+μ,则=( )
A.- B.
C.- D.
D [由题可得A(2,0),B,C.因为=λ+μ,所以由向量相等的坐标表示可得解得所以=,故选D.]
3.已知△ABC和点M满足++=0,若存在实数m使得+=m成立,则m= .
3 [由已知条件得+=-,M为△ABC的重心,∴=(+),
即+=3,则m=3.]
4.如图,已知▱ABCD的边BC,CD的中点分别是K,L,且=e1,=e2,则= ;= .(用e1,e2表示).
-e1+e2 -e1+e2 [设=x,=y,则=x,=-y.
由+=,+=,
得
①+②×(-2),得x-2x=e1-2e2,即x=-(e1-2e2)=-e1+e2,
所以=-e1+e2.
同理可得y=(-2e1+e2),
即=-e1+e2.]
1.已知G是△ABC的重心,过点G作直线MN与AB,AC交于点M,N,且=x,=y(x,y>0),则3x+y的最小值是( )
A. B.+
C. D.
B [设BC的中点为D,
则==+=+.
∵M,G,N三点共线,∴+=1.
又x>0,y>0,
∴3x+y=(3x+y)=++≥+2=+.
当且仅当=,即x=+时取等号,
∴3x+y的最小值是+.故选B.]
2.矩形ABCD中,AB=,BC=,P为矩形内一点,且AP=,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的最大值为 .
[建立如图所示的平面直角坐标系,设P(x,y),B(,0),C(,),D(0,).
∵AP=,∴x2+y2=.
点P满足的约束条件为
∵=λ+μ(λ,μ∈R),
∴(x,y)=λ(,0)+μ(0,),
∴∴x+y=λ+μ.
∵x+y≤==,
当且仅当x=y时取等号,
∴λ+μ的最大值为.]