【数学】2020届一轮复习人教B版数列的概念与简单表示法课时作业 6页

‎1．已知数列1，2，，，，…，则2在这个数列中的项数是(　　)‎ A．16　　　B．24　　　C．26　　　D．28‎ 解析：选C.因为a1＝1＝，a2＝2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，所以an＝.令an＝＝2＝，解得n＝26.‎ ‎2．在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则的值是(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选C.由已知得a2＝1＋(－1)2＝2，所以2a3＝2＋(－1)3，a3＝，所以a4＝＋(－1)4，a4＝3，所以3a5＝3＋(－1)5，所以a5＝，所以＝×＝.‎ ‎3．(2019·长沙市统一模拟考试)《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中的第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为(　　)‎ A.升 B.升 C.升 D.升 解析：选A.自上而下依次设各节竹子的容积分别为a1，a2，…，a9，依题意有，因为a2＋a3＝a1＋a4，a7＋a9＝2a8，故a2＋a3＋a8＝＋＝.选A.‎ ‎4．数列{an}中，如果存在ak，使得ak＞ak－1且ak＞ak＋1成立(其中k≥2，k∈N*)，则称ak为数列{an}的峰值．若an＝－3n2＋15n－18，则{an}的峰值为(　　)‎ A．0 B．4‎ C. D. 解析：选A.因为an＝－3＋，且n∈N*，所以当n＝2或n＝3时，an取最大值，最大值为a2＝a3＝0.故选A.‎ ‎5．(2019·广东省五校协作体第一次诊断考试)数列{an}满足a1＝1，且an＋1＝a1＋an＋n(n∈N*)，则＋＋…＋等于(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A.由a1＝1，an＋1＝a1＋an＋n可得an＋1－an＝n＋1，利用累加法可得an－a1＝，所以an＝，所以＝＝2，故＋＋…＋＝2 ‎＝2＝，选A.‎ ‎6．已知数列{an}为，，－，，－，，…，则数列{an}的一个通项公式是________．‎ 解析：各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出从第2项起，每一项的分子都比分母少3，且第1项可变为－，故原数列可变为－，，－，，…，故其通项公式可以为an＝(－1)n·.‎ 答案：an＝(－1)n· ‎7．若数列{an}满足a1·a2·a3·…·an＝n2＋3n＋2，则数列{an}的通项公式为________．‎ 解析：a1·a2·a3·…·an＝(n＋1)(n＋2)，‎ 当n＝1时，a1＝6；‎ 当n≥2时， 故当n≥2时，an＝，‎ 所以an＝ 答案：an＝ ‎8．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝a－2an＋1(n∈N*)，则a2 018＝________．‎ 解析：因为a1＝1，‎ 所以a2＝(a1－1)2＝0，‎ a3＝(a2－1)2＝1，‎ a4＝(a3－1)2＝0，…，‎ 可知数列{an}是以2为周期的周期数列，‎ 所以a2 018＝a2＝0.‎ 答案：0‎ ‎9．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－2.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝an＋an＋1，求数列{bn}的通项公式．‎ 解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝22－2＝2；‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2－(2n－2)＝2n＋1－2n＝2n.‎ 因为a1也适合此等式，‎ 所以an＝2n(n∈N*)．‎ ‎(2)因为bn＝an＋an＋1，且an＝2n，an＋1＝2n＋1，‎ 所以bn＝2n＋2n＋1＝3·2n.‎ ‎10．已知数列{an}满足前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}满足bn＝且前n项和为Tn，设cn＝T2n＋1－Tn.‎ ‎(1)求数列{bn}的通项公式；‎ ‎(2)判断数列{cn}的增减性．‎ 解：(1)a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)．‎ 所以bn＝ ‎(2)因为cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1‎ ‎＝＋＋…＋，‎ 所以cn＋1－cn＝＋－＝－＝＜0，所以cn＋1＜cn，‎ 所以数列{cn}为递减数列．‎ ‎1．(2019·湖南岳阳模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝，则a2 017＝(　　)‎ A．2 016 B．2 017‎ C．4 032 D．4 034‎ 解析：选B.由题意知n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－，化为＝，所以＝＝…＝＝1，所以an＝n.则a2 017＝2 017.故选B.‎ ‎2．(2019·湖北六校模拟)已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．若bn＋1＝(n－2λ)·(n∈N*)，b1＝－λ，且数列{bn}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是(　　)‎ A．λ< B．λ<1‎ C．λ< D．λ< 解析：选A.因为数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，‎ 所以an>0，＝＋1，则＋1＝2，‎ 所以数列是等比数列，且首项为＋1＝2，公比为2，‎ 所以＋1＝2n.‎ 所以bn＋1＝(n－2λ)＝(n－2λ)·2n(n∈N*)，‎ 所以bn＝(n－1－2λ)·2n－1(n≥2)，‎ 因为数列{bn}是单调递增数列，‎ 所以bn＋1>bn，‎ 所以(n－2λ)·2n>(n－1－2λ)·2n－1(n≥2)，‎ 可得λ<(n≥2)，所以λ<，‎ 又当n＝1时，b2>b1，‎ 所以(1－2λ)·2>－λ，解得λ<，‎ 综上，λ的取值范围是λ<，故选A.‎ ‎3．下列关于星星的图案构成一个数列，则该数列的一个通项公式是________．‎ 解析：从题图中可观察星星的构成规律，n＝1时，有1个，n＝2时，有3个；n＝3时，有6个；n＝4时，有10个；…，所以an＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝.‎ 答案：an＝ ‎4．(2019·成都市第二次诊断性检测)在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N*)，则数列的前n项和Tn＝________．‎ 解析：由题意知＝＝，所以an＝a1×××…×＝1× ‎××…×＝‎ ＝‎ ＝，所以＝＝2，所以数列的前n项和Tn＝2(－＋－＋…＋－＋－)＝2＝.‎ 答案： ‎5．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝－13，an＋2－2an＋1＋an＝2n－6.‎ ‎(1)设bn＝an＋1－an，求数列{bn}的通项公式；‎ ‎(2)求n为何值时，an最小．‎ 解：(1)由得bn＋1－bn＝2n－6，b1＝a2－a1＝－14.‎ 当n≥2时，bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋(b4－b3)＋…＋(bn－bn－1)‎ ‎＝－14＋(2×1－6)＋(2×2－6)＋(2×3－6)＋…＋[2(n－1)－6]‎ ‎＝－14＋2×－6(n－1)‎ ‎＝n2－7n－8，‎ 当n＝1时，上式也成立．‎ 所以数列{bn}的通项公式为bn＝n2－7n－8.‎ ‎(2)由(1)可知 an＋1－an＝n2－7n－8＝(n＋1)(n－8)，‎ 当n<8时，an＋1a2>a3>…>a8，‎ 当n＝8时，a9＝a8，‎ 当n>8时，an＋1>an，即a9