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- 2021-06-16 发布
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2020年上海市松江区高考数学模拟试卷(4月份)
一、本试卷共21题,第1~15题每题6分,第16~21题每题10分,满分150分
1.若复数z=,则|z|=( )
A. 1 B. C. 5 D. 5
【答案】B
【解析】
分析】
利用复数的模的运算性质,化简为对复数求模可得结果
【详解】|z|===,
故选:B.
【点睛】此题考查的是求复数的模,属于基础题
2.已知向量若,则实数( )
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据向量,利用数量积公式由求解.
【详解】向量,
,
解得实数.
故选:D.
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算,还考查了运算求解的能力,属于基础题.
3.已知,若,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
- 18 -
【答案】D
【解析】
【分析】
根据,得到求解.
【详解】,
,
.
故选:D.
【点睛】本题主要考查集合的基本运算的应用,还考查了运算求解的能力,属于基础题.
4.已知椭圆分别过点和点,则该椭圆的焦距为( )
A. B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据椭圆过点和点,得到,联立求解.
【详解】因为椭圆过点和点
所以,且,
可得:,
所以,所以焦距,
故选:C.
【点睛】本题主要考查椭圆的几何性质,还考查了运算求解的能力,属于基础题.
5.已知实数,且,则行列式的( )
- 18 -
A. 最小值是2 B. 最小值是 C. 最大值是2 D. 最大值是
【答案】B
【解析】
【分析】
根据,再由,利用基本不等式求解.
【详解】实数,且,
,
当且仅当时,取等号,
行列式的最小值是.
故选:B.
【点睛】本题主要考查行列式的运算及基本不等式的应用,还考查了运算求解的能力,属于基础题.
6.“”是“直线和直线平行”( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据直线和直线平行,则,再用集合法判断.
【详解】由直线和直线平行
则,解得.
经过验证,都满足条件.
“”是“直线和直线平行”的充分不必要条件.
- 18 -
故选:A.
【点睛】本题主要考查逻辑条件,还考查了运算求解的能力,属于基础题.
7.在直三棱柱中,己知,,,则异面直线与所成的角为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由条件可看出,则为异面直线与所成的角,可证得三角形中,,解得从而得出异面直线与所成的角.
【详解】连接,,如图:
又,则为异面直线与所成的角.
因为且三棱柱为直三棱柱,∴∴面,
∴,
又,,∴,
∴,解得.
故选C
【点睛】考查直三棱柱的定义,线面垂直的性质,考查了异面直线所成角的概念及求法,考查了逻辑推理能力,属于基础题.
8.样本中共有五个个体,其值分别是a
- 18 -
,1,2,3,4,若样本的平均数是2,则样本的标准差是( )
A. 1 B. 2 C. 4 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据样本的平均数是2,求得a,再代入标准差公式求解.
【详解】因为数据a,1,2,3,4的平均数是:
所以,
解得;
所以该组数据的方差是:
,
标准差是.
故选:D.
【点睛】本题主要考查样本估计总体中的平均数和方差,还考查了运算求解的能力,属于基础题.
9.下列函数中,是奇函数且在其定义域内为单调函数的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
A:利用幂函数的性质判断;B:利用一次函数的性质判断;C:利用二次函数的性质判断;D:利用奇偶性定义判断.
【详解】A:在定义域内内不单调,不符合题意;
B:在定义域R上先减后增,不符合题意;
- 18 -
C:在定义域R上单调递增,且,为奇函数,符合题意;
D:因为,所以函数为偶函数,不符合题意.
故选:C.
【点睛】本题主要考查函数的基本性质,还考查了理解辨析的能力,属于基础题.
10.给出以下四个命题:
①依次首尾相接的四条线段必共面;
②过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面;
③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角必相等;
④垂直于同一直线的两条直线必平行.
其中正确命题的个数是( )
A 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
用空间四边形对①进行判断;根据公理2对②进行判断;根据空间角的定义对③进行判断;根据空间直线位置关系对④进行判断.
【详解】①中,空间四边形的四条线段不共面,故①错误.
②中,由公理2知道,过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面,故②正确.
③中,由空间角的定义知道,空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么
这两个角相等或互补,故③错误.
④中,空间中,垂直于同一直线的两条直线可相交,可平行,可异面,故④错误.
故选:B
【点睛】本小题考查空间点,线,面的位置关系及其相关公理,定理及其推论的理解和认识;考查空间想象能力,推理论证能力,考查数形结合思想,化归与转化思想.
11.已知,在这7个数中,从中任取两数,则所取的两数之和为偶数的概率为( )
- 18 -
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据,将计算出来,分清几个奇数,几个偶数, 得到从中任取两数的种数;所取的两数之和为偶数的种数,代入古典概型的概率公式求解.
【详解】因为,
这7个数分别为:
.
4个奇数,3个偶数;
从中任取两数共有:种;
所取的两数之和为偶数的有:;
所取的两数之和为偶数的概率为:.
故选:B.
【点睛】本题主要考查二项式系数和古典概型的概率,还考查了运算求解的能力,属于基础题.
12.下列命题中是假命题的是( )
A. 对任意的,函数都不是奇函数
B. 对任意的,函数都有零点
C. 存在、,使得
D. 不存在,使得幂函数在上单调递减
【答案】A
【解析】
分析】
- 18 -
A:取判断. B:根据函数的值域为R判断.C:取判断.D:根据判断.
【详解】A:当时,,故函数为奇函数,故该命题为假命题.
B:对任意的,函数的值域为R,所以无论a取任何大于0的数函数的图象都有交点,故该命题为真命题.
C:当时,使得,故该命题真命题.
D:由于,所以函数在单调递增,故不存在,使得幂函数在上单调递减,故该命题为真命题.
故选:A.
【点睛】本题主要考查命题的真假判断,还考查了理解辨析的能力,属于中档题.
13.函数的大致图象为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先判断函数的定义域,再利用奇偶性排除部分选项,再根据时,,则确定.
【详解】根据题意,,有,
- 18 -
则有,即函数的定义域为,
又由,
即函数为奇函数,排除A;
又由当时,,则,排除B,D;
故选:C.
【点睛】本题主要考查函数的图象和性质,还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力,属于中档题.
14.如图,某景区欲在两山顶A,C之间建缆车,需要测量两山顶间的距离.已知山高,,在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°,山顶C的仰角为60°,,则两山顶A、C之间的距离为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可得,,利用正切函数的定义求得,;在中,利用余弦定理求得,然后利用勾股定理求解.
【详解】,
,
;
- 18 -
在中,由余弦定理得:
,
所以;
所以,
即两山顶A,C之间的距离为.
故选:C.
【点睛】本题主要考查余弦定理的实际应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.
15.已知各项均为正数的数列的前n项和为,且,设数列的前n项和为,则( )
A. 0 B. C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
利用数列的通项与前n项和的关系,由求得再由,用裂项相消法求和.
【详解】依题意,由,可得:
,
两式相减,可得:
,
,
,,
数列是以1为首项,1为公差的等差数列,
- 18 -
.
,
则
,
则.
故选:C.
【点睛】本题主要考查数列的通项与前n项和的关系,等差数列的定义以及裂项相消法数列求和,还考查了运算求解的能力,属于中档题.
16.在△ABC中,已知AB=3,AC=5,△ABC的外接圆圆心为O,则( )
A. 4 B. 8 C. 10 D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】
画出图形,并将和中点,和中点连接,从而得到,,根据数量积的计算公式以及条件即可得出,,从而,从而可得到的值.
【详解】如图,取中点,中点,并连接,,
则,,
,
,
- 18 -
.
故选:B
【点睛】本题主要考查了数量积的定义、向量的运算法则以及三角形的外心,属于基础题.
17.已知函数,若函数的所有零点依次记为,且,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据的对称轴方程为.得到在上有5条对称轴,将原式变形,利用零点关于对称轴对称求解.
【详解】令得,
即的对称轴方程为.
的最小正周期为,
- 18 -
在上有5条对称轴,
第一条是,最后一条是:;
关于对称,关于对称…关于对称
,
将以上各式相加得:
.
故选:D.
【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质的应用,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于中档题.
18.设实系数一元二次方程在复数集C内的根为、,则由,可得.类比上述方法:设实系数一元三次方程在复数集C内的根为,则的值为( )
A. ﹣2 B. 0 C. 2 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
用类比推理得到,再用待定系数法得到,,再根据求解.
【详解】
- 18 -
,
由对应系数相等得:
,
.
故选:A.
【点睛】本题主要考查合情推理以及待定系数法,还考查了转化化归的思想和逻辑推理的能力,属于中档题.
19.已知函数关于点对称,若对任意的恒成立,则实数k的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据为奇函数,其图象关于对称,再由关于点对称,可得,再将对任意的,恒成立,转化为,在恒成立,令,求的最大值即可.
【详解】由为奇函数,可得其图象关于对称,
可得的图象关于对称,
函数关于点对称,可得,
- 18 -
对任意的,恒成立,
即,在恒成立,
所以,在恒成立,
令,由,可得,
设,
当时,取得最大值11,
则k的取值范围是,
故选:D.
【点睛】本题主要考查函数的对称性和不等式恒成立问题,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于中档题.
20.已知点在抛物线上,点P关于原点O的对称点为点Q,过点Q作不经过点O的直线与抛物线C交于A、B两点,则直线PA与PB的斜率之积为( )
A. B. 1 C. 2 D. ﹣2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据点在抛物线上,得到抛物线方程:,根据,设直线AB的方程为,与抛物线方程联立消去x得:, 然后由,将韦达定理代入求解.
【详解】由点在抛物线上,
可得,,
抛物线方程为:,
- 18 -
由已知得,设点,
由题意直线AB斜率存在且不为0,
设直线AB的方程为,
联立方程,消去x得:,
,
因为点A,B在抛物线C上,所以,
,
,
故选:C.
【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系,还考查了运算求解的能力,属于中档题.
21.若数列的每一项都是数列中的项,则称是的子数列.已知两个无穷数列、的各项均为正数,其中,是各项和为的等比数列,且是的子数列,则满足条件的数列的个数为( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无穷多个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据数列的每一项都是数列中的项,其中,设(),公比,则()对任意的
- 18 -
都成立,得到m是正奇数,又S存在,则,然后根据,结合对m进行讨论分析.
【详解】设(),公比,
则()
对任意的都成立,
故m是正奇数,又S存在,所以.
时,,此时,即,成立.
当时,,此时,
不是数列中的项,故不成立.
时,,此时,成立.
当时,,由,
得,得,
又因为,所以,2,此时或,
分别代入,得到不合题意,
由此满足条件的数列只有两个,即,或,
故选:C.
【点睛】本题主要考查数列的新定义及无穷等比数列各项和的应用,还考查了特殊与的思想和推理论证的能力,属于中档题.
- 18 -
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