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- 2021-06-16 发布
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吴忠市2020届高考模拟联考试题
理科数学
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答業标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先化简集合,再求得解.
【详解】由题得,
,
所以.
故选:C.
【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法,考查对数不等式的解法,考查集合的并集的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
2.已知,其中是虚数单位,则( )
A. B. C. D.
- 25 -
【答案】A
【解析】
【分析】
根据复数除法运算计算得到,根据模长定义可求得结果.
【详解】,,
.
故选:.
【点睛】本题考查复数模长的求解,关键是利用复数除法运算计算得到复数,属于基础题.
3.已知,则的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据指数函数和对数函数的单调性可确定临界值,从而比较出大小.
【详解】,.
故选:D.
【点睛】本题考查比较指数和对数的大小关系的问题,关键是熟练应用指数函数和对数函数的单调性确定临界值,属于基础题.
4.已知向量,且与夹角为锐角,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量坐标运算和向量夹角公式可表示出,根据夹角的范围知
- 25 -
,由此构造不等式求得结果.
【详解】由题意得:,,
,
设与夹角为,则,
,,即,
,解得:且,即的取值范围为.
故选:B
【点睛】本题考查根据向量夹角的范围求解参数范围的问题,关键是熟练应用向量的坐标运算和向量夹角公式;注意本题两个向量所成角的范围为锐角.
5.《九章算术》中有一题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟四斗.羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?其意是:今有牛、马、羊吃了别人禾苗,禾苗主人要求赔偿4斗粟,羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还,牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟?在这个问题中,牛主人比羊主人多赔偿了多少斗( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据羊、马、牛的主人赔偿的粟数成等比数列和总赔偿数,可构造方程分别求得羊主人和牛主人赔偿的斗数,进而得到结果.
【详解】羊、马、牛的主人赔偿的粟数成等比数列,公比为,设羊主人赔偿粟,
- 25 -
则,解得:;
羊主人赔偿粟,牛主人赔偿粟,牛主人比羊主人多赔偿粟.
故选:.
【点睛】本题考查等比数列的实际应用,属于基础题.
6.以双曲线的一个焦点为圆心,为半径的圆与的渐近线相切,则的离心率等于( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据以为圆心,以为半径的圆与渐近线相切可得,整理化简即可得结果.
【详解】由已知双曲线的渐近线为,选取其中一条计算,即,
由点到渐近线的距离得,
故有,解得
即离心率,
故选:D.
【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求解,关键是要找到之间的等量关系,是基础题.
7.已知直线a、b,平面、,且,则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.
- 25 -
既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据线面平行、线面垂直和面面垂直的性质和判定定理,结合充分必要条件的定义,即可得出结论.
【详解】若,如果,则不成立;
若,过做一平面,且,
则.
所以当时,是的充分不必要条件.
故选:A.
【点睛】本题考查充分不必要条件的判定,涉及到空间线、面位置关系,熟记有关判定和性质定理是解题的关键,属于基础题.
8.2021年俱乐部世界杯(简称“世俱杯”)在中国上海、天津、广州、武汉、沈阳、济南、杭州、大连八个城市举行,我市将派9名小记者前往采访,每个举办城市至少安排一名记者,则不同的安排种数共有( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
将派9名小记者分配到八个城市,每个举办城市至少安排一名记者,从9人中选出2人作为一组,在将8个元素全排列,即可求得答案.
【详解】将9名小记者分配到八个城市,每个城市至少安排一名记者
- 25 -
第一步:从9人中选出2人作为一组,选法有:,则现在有8个元素
第二步:将8个元素全排列,排法有:
不同的安排种数:
故选:C
【点睛】本题主要考查了排列组合的实际应用,解题关键是掌握分步计数原理,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.
9.将函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像,且的图像关于点对称,则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题得,根据题意得,,可得选项.
【详解】由题得,
因为的图象关于点对称,所以,,所以,
因为,所以=.
故选:D.
【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换和对称性,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力,属于中档题.
10.已知数列的前n项和为,满足,且数列的前6项和等于321,则m的值等于( )
A. B. C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】
- 25 -
【分析】
根据已知,时,求出,由,得出数列的递推关系,进而求出的通项公式,结合已知建立的方程,求解即可.
【详解】依题意,当时,,
当,,
若,则数列的前6项和等于,不合题意,
,所以数列是以为首项,
公比为的等比数列,,
数列的前6项和为
.
故选:B.
【点睛】本题考查数列的前项和与通项公式的关系,注意对参数的的分类讨论,考查计算求解能力,属于中档题.
11.已知直线与抛物线相交于A,B两点,O为坐标原点,则为( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定
【答案】C
【解析】
【分析】
直线方程与抛物线方程联立,根据根与系数关系,得到两点纵坐标关系,结合抛物线方程得出横坐标关系,进而求出,即可得出结论.
- 25 -
【详解】直线与抛物线相交于A,B两点,
所以,将直线方程化为,
联立,消去,得,
,设,
,
所以为钝角,故钝角三角形.
故选:C.
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系,并利用向量数量积的正负判断角的类型,要注意抛物线二级结论的总结,如直线过点与抛物线交于两点,则有,而直线过定点是在的左侧,则有为钝角,即刻得出结论,提高解题效率,属于中档题.
12.定义在R上的偶函数满足,当时,,设函数,则和的图象所有交点横坐标之和等于( )
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可得,函数和的图象都关于直线对称,据此画出它们的图象即可求出答案.
【详解】解:∵定义在上的偶函数满足,
∴函数的图象关于直线和轴对称,
而函数的图象也关于直线对称,
当时,,
- 25 -
先画出函数和在上的图象,再根据对称性得到上的图象如图,
由图可知,函数和在上的图象共有2个交点,且关于直线对称,
∴函数和的图象所有交点横坐标之和为,
故选:C.
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与对称性的应用,涉及函数的图象变换,考查数形结合思想,属于中档题.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.随着养生观念的深入,国民对餐饮卫生条件和健康营养要求提高.吃烧烤的人数日益减少,烧烤店也日益减少.某市对2015年到2019年五年间全市烧烤店盈利店铺的个数进行了统计,具体统计数据如下表:
年份
2015
2016
2017
2018
2019
年份代号()
1
2
3
4
5
盈利店铺的个数(y)
260
240
215
200
180
根据所给数据,得出y关于t的回归方程,估计该市2020年盈利烧烤店铺的个数为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据回归方程必过中心点,求出,再代入可求得答案.
【详解】,,
- 25 -
由,则,得,故,
令,得.
故答案为:
【点睛】本题考查了回归方程相关知识,应用回归方程必过中心点求得回归方程是解决问题的关键.
14.的展开式中,含项的系数为________(用数字作答).
【答案】
【解析】
【分析】
的展开式的通项公式:,令, 解得.再利用的展开式的通项公式即可得出系数.
【详解】解: 的展开式的通项公式: ,
要求含项的系数,
令,解得.
的展开式中项的系数为:
故答案为:
【点睛】本题考查了二项式定理的应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
15.已知函数,且,则_________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用,再根据,即可得到答案;
【详解】,
- 25 -
,,
,
故答案为:.
【点睛】本题考查对数运算法则和函数的性质,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力.
16.如图,在边长等于2正方形中,点Q是中点,点M,N分别在线段上移动(M不与A,B重合,N不与C,D重合),且,沿着将四边形折起,使得二面角为直二面角,则三棱锥体积的最大值为________;当三棱锥体积最大时,其外接球的表面积为________.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
(1)先证明是三棱锥的高,设得到,再利用二次函数求最值得解;
(2)如图,把三棱锥补成一个直三棱柱,它们两个的外接球是同一个球.求出球的半径即得外接球的表面积.
【详解】(1)如图,
- 25 -
因为二面角为直二面角,平面平面,
所以平面,
所以是三棱锥的高.
设,
所以三棱锥体积,
所以当时,
(2)如图,把三棱锥补成一个直三棱柱,它们两个的外接球是同一个球. 点为外接球的球心,为外接球的半径.
由题得,,
底面等腰直角三角形的外接圆的半径为斜边的一半,即.
所以.
所以外接球的表面积为.
- 25 -
故答案为:.
【点睛】本题主要考查几何体体积的计算和最值的求法,考查几何体外接球的变面积的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17.已知在中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且满足.
(1)求角A的大小;
(2)若点M为边边上一点,且,求的面积.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
(1)由条件有,利用正弦定理和二倍角公式可得,进而得到,从而得到答案.
(2)根据条件可得为等腰直角三角形,则由,可求出,在直角中,可求出,从而可得三角形面积.
【详解】(1)由有
由正弦定理有
在中, ,所以
在中, ,则,所以,则有
所以即
- 25 -
(2)在中,,则
则为等腰直角三角形, 又,即,所以
在直角中, ,,
所以,所以
所以
【点睛】本题考查利用正弦定理进行边角转化,解直角三角形,求三角形的面积,属于中档题.
18.已知四棱锥中,平面平面,,,,,为棱上一动点,点是的中点.
(1)求证:;
(2)若,问是否存在点E,使得二面角的余弦值为?若存在,求出点E的位置;若不存在,请说明理由.
- 25 -
【答案】(1)见解析,(2)存在,点E为的中点
【解析】
【分析】
(1)由平面平面,,可证得平面,而 在平面内,所以;
(2)如图建立空间直角坐标系,利用空间向量求解
【详解】(1)证明:因平面平面,,
平面平面, 在平面内,
所以平面,
因为 在平面内,所以;
(2)因为,,
所以,所以,所以,
因为平面平面,平面平面,
所以平面,
所以,
因为,
所以平面,所以,
因为, ,所以,
所以,,
所以,
如图,以为坐标原点,所在的直线为轴,建立空间直角坐标系,
则,
设,则
因为为棱上一动点在上,所以设,
所以,解得,
- 25 -
所以,,
设平面的法向量为,则,
所以
得,令,则,
所以
设平面的法向量为,则
所以,
令,则,得,
所以,
所以,
解得,
所以当点E在的中点时,二面角的余弦值为
- 25 -
【点睛】此题考查证明空间中的线线垂直,利用空间向量解决二面角问题,属于中档题.
19.近年来,我国电子商务行业迎来了蓬勃发展的新机遇,但是电子商务行业由于缺乏监管,服务质量有待提高.某部门为了对本地的电商行业进行有效监管,调查了甲、乙两家电商的某种同类产品连续十天的销售额(单位:万元),得到如下茎叶图:
甲
乙
7
5
10
7
9
5
3
11
5
7
8
8
6
12
3
5
4
2
13
2
6
9
1
14
8
(1)根据茎叶图判断甲、乙两家电商对这种产品的销售谁更稳定些?
(2)为了综合评估本地电商的销售情况,从甲、乙两家电商十天的销售数据中各抽取两天的销售数据,其中销售额不低于120万元的天数分别记为,令,求随机变量Y的分布列和数学期望.
【答案】甲电商对这种产品的销售谁更稳定. (2) 分布列见解析,数学期望为.
【解析】
- 25 -
【分析】
(1)先分别求出甲、乙电商连续十天的销售额的平均数,再求出其方差,从而作出判断.
(2)根据意义甲电商对这种产品的销售额不低于120万元的天数有5天,乙电商对这种产品的销售额不低于120万元的天数有6天. 的所有可能取值为0,1,2,的所有可能取值为0,1,2,由,所以随机变量Y的所有可能取值为0,1,2,3,4,然后分别求出概率得出分布列求出期望.
【详解】(1) 设甲、乙电商连续十天的销售额的平均数分别为,方差分别为
(万元)
(万元)
由,所以甲电商对这种产品的销售谁更稳定.
(2)由题意的所有可能取值为0,1,2,的所有可能取值为0,1,2,
由,所以随机变量Y的所有可能取值为0,1,2,3,4
其中甲电商对这种产品的销售额不低于120万元的天数有5天.
乙电商对这种产品的销售额不低于120万元的天数有6天.
- 25 -
则随机变量Y的分布列为
0
1
2
3
4
则随机变量Y的数学期望为
【点睛】本题考查利用方差判断稳定性,考查随机变量的分布列和数学期望,弄清随机变量的取值和对应的概率是解题的关键,属于中档题.
20.已知椭圆的离心率为,过定点的直线l与椭圆E相交于A,B两点,C为椭圆的左顶点,当直线l过点时,(O为坐标原点)的面积为.
(1)求椭圆E的方程;
(2)求证:当直线l不过C点时,为定值.
【答案】(1);(2)为定值.
【解析】
【分析】
(1)根据题意可得,设,,由,得代入椭圆方程可得,进而可得椭圆的方程;
(2)根据题意,设,,直线的方程为,联立方程,经计算可得,即可得到为定值.
- 25 -
【详解】(1)由题意,设,,直线的方程为,
由,即,
将点代入中,得,故,
又点在椭圆上,解得,
因椭圆的离心率,故,,
所以,椭圆的方程为.
(2)由题意,设直线的方程为,设,,
联立,消去得,
所以,,
当直线不过时,直线的斜率,直线的斜率,
所以,
即直线与直线垂直,故为定值.
【点睛】本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系的判断与应用,考查了椭圆的标准方程及其几何性质,考查了学生的化简运算能力,通过计算为解决本题的关键,属于中档题.
21.已知函数.
(1)讨论函数零点的个数;
(2)若函数存在两个零点,证明:.
- 25 -
【答案】(1)时,函数无零点.时,函数有1个零点. 时,函数有2个零点. (2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)求出导数,得出函数的单调区间,根据的符号,函数零点的个数.
(2)由(1)知两个零点,,,零点间关系是,变形为,引入变量,则,,,要证的不等式等价变形为,,即证,(),为此引入新函数,利用导数研究函数的单调性为减函数,则可证得结论成立,这里需要多次求导变形再求导才可证明.
【详解】(1)有题意得
由得,得,
所以在上单调递增,在上单调递减.
时,取得极大值,也是最大值为,
所以当,即时,函数无零点.
当,即时,函数有1个零点.
当,即时,
,设,
在恒成立,
在单调递减,,
所以,在,各有一个零点,
- 25 -
函数有2个零点.
综上所述:时,函数无零点.
时,函数有1个零点.
时,函数有2个零点.
(2)由(1),即时,
有两个零点,(),则,,
由,得,
令,则,,,
,显然成立,
要证,即证,
只要证,即证,(),
令,,
,,
令,则,,令,
,,
令,
,时,是减函数,
所以时,,
所以是减函数,,即(),
- 25 -
所以是减函数,,
所以,在时是减函数,
,即,
所以在上是减函数,,
所以,即,
综上,成立.
【点睛】本题考查用导数求函数最值,用导数证明有关函数零点的不等式,掌握导数与单调性的关系是解题基础.证明不等式关键在于转化与化归,如转化为研究函数的最值,研究函数的单调性可能需要多次求导才能得出结论.在需要引入新函数时,应对不等式进行变形,使新函数越来越简单.属于难题.
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
【选修4-4:坐标系与参数方程】
22.已知圆C的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程;
(2)求直线l被圆C截得弦的长.
【答案】(1),(2)
【解析】
【分析】
(1)利用消元法将参数方程化成普通方程,利用结合两角差的余弦公式,即可得到答案;
(2)利用圆的弦长公式,即可得到答案;
- 25 -
【详解】(1)(为参数),,
圆C普通方程;
,
又代入上式得:.
直线l的直角坐标方程.
(2)圆的圆心坐标为,设圆心到直线的距离为,
,
弦长.
【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化、圆的弦长公式,考查运算求解能力.
【选修4-5:不等式选讲】
23.已知函数.
(1)若,求实数x的取值范围;
(2)若对于任意实数x,不等式恒成立,求实数a的值范围.
【答案】(1) ;(2)
【解析】
【分析】
(1)分绝对值中的正负去绝对值,将写成分段函数再求解即可.
(2)根据(1)中的解析式求解的最小值,再根据恒成立问题的方法求解实数a的值范围即可.
- 25 -
【详解】(1)由题,;当时,,解得;
当时,恒成立,解得;
当时,,解得.综上有.
故实数x的取值范围为
(2)因为,当时,;
当时,;当时,.
故的最小值为.
故,即,解得.
故实数a的值范围为
【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解,同时也考查了求函数的最值求解恒成立的问题,需要分区间去绝对值,写成分段函数再求解.属于中档题.
- 25 -
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