【数学】2020届一轮复习人教B版（文）6-6直接证明与间接证明作业 4页

课时作业37　直接证明与间接证明 ‎ [基础达标]‎ 一、选择题 ‎1．要证明＋<4可选择的方法有以下几种，其中最合理的为(　　)‎ A．综合法 B．分析法 C．比较法 D．归纳法 解析：要证明＋<4，只需证明(＋)2<16，即8＋2<16，即证明<4，亦即只需证明15<16，而15<16显然成立，故原不等式成立．因此利用分析法证明较为合理，故选B.‎ 答案：B ‎2．用反证法证明命题：“ a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为(　　)‎ A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除 C．a，b不都能被5整除 D．a不能被5整除 解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”．‎ 答案：B ‎3．在△ABC中，sinAsinC0，‎ 即cos(A＋C)>0，所以A＋C是锐角，‎ 从而B>，故△ABC必是钝角三角形．‎ 答案：C ‎4．分析法又称执果索因法，已知x>0，用分析法证明<1＋时，索的因是(　　)‎ A．x2>2 B．x2>4‎ C．x2>0 D．x2>1‎ 解析：因为x>0，‎ 所以要证<1＋，‎ 只需证()2<2，‎ 即证0<，即证x2>0，‎ 因为x>0，所以x2>0成立，故原不等式成立．‎ 答案：C ‎5．已知p＝a＋(a>2)，q＝2 (x>0)，则(　　)‎ A．p>q B．pa＋b，则a，b应满足的条件是________．‎ 解析：a＋b>a＋b，即(－)2(＋)>0，需满足a≥0，b≥0且a≠b.‎ 答案：a≥0，b≥0且a≠b ‎7．若向量a＝(x＋1,2)，b＝(4，－2)，若a∥b，则实数x＝________.‎ 解析：因为a∥b，‎ 所以(x＋1)×(－2)＝2×4，‎ 解得x＝－5.‎ 答案：－5‎ ‎8．[2019·太原模拟]用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝‎1”‎时，应假设__________________．‎ 解析：“x＝－1或x＝‎1”‎的否定是“x≠－1且x≠‎1”‎．‎ 答案：x≠－1且x≠1‎ 三、解答题 ‎9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1.求证：a，b，c成等差数列．‎ 证明：由已知得sinAsinB＋sinBsinC＝2sin2B，‎ 因为sinB≠0，所以sinA＋sinC＝2sinB，‎ 由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列．‎ ‎10．已知a，b是正实数，求证＋≥＋.‎ 证明：证法一　(作差法)因为a，b是正实数，所以 ＋－－＝＋ ‎＝ ‎＝≥0，‎ 所以＋≥＋.‎ 证法二　(分析法)已知a，b是正实数，‎ 要证＋≥＋，‎ 只需证a＋b≥(＋)，‎ 即证(a＋b－)(＋)≥(＋)，‎ 即证a＋b－≥，‎ 就是要证a＋b≥2.‎ 显然a＋b≥2恒成立，所以＋≥＋.‎ 证法三　(综合法)因为a，b是正实数，‎ 所以＋＋＋≥2＋2＝2＋2，‎ 当且仅当a＝b时取等号，所以＋≥＋.‎ 证法四　(综合法)因为a，b是正实数，‎ 所以(＋)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝a＋b＋2＝(＋)2，‎ 当且仅当a＝b时取等号，‎ 所以＋≥＋.‎ ‎[能力挑战]‎ ‎11．若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋.求证：a，b，c中至少有一个大于0.‎ 证明：假设a，b，c都不大于0，‎ 即a≤0，b≤0，c≤0，‎ 所以a＋b＋c≤0.‎ 而a＋b＋c ‎＝＋＋ ‎＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π ‎＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.‎ 所以a＋b＋c>0，这与a＋b＋c≤0矛盾，故a，b，c中至少有一个大于0.‎