【数学】2021届一轮复习人教A版简单的线性规划问题课时作业 6页

‎3.3.2 简单的线性规划问题 ‎【基础练习】‎ ‎1．若x，y满足则x＋2y的最大值为(　　)‎ A．1 B．3‎ C．5 D．9‎ ‎【答案】D　‎ ‎【解析】如图，画出可行域，z＝x＋2y表示斜率为－的一组平行线，当z＝x＋2y过点C(3,3)时，目标函数取得最大值zmax＝3＋2×3＝9.故选D．‎ ‎2．若x，y满足约束条件则z＝x＋2y的取值范围是(　　)‎ A．[0,6] B．[0,4]‎ C．[6，＋∞) D．[4，＋∞)‎ ‎【答案】D　‎ ‎【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线z＝x＋2y过点A(2,1)时，z取最小值4，无最大值．故选D．‎ ‎3．(2019年山东枣庄校级月考)已知实数x，y满足约束条件则ω＝的最小值是(　　)‎ A．－2　 B．2　　‎ C．－1　　 D．1‎ ‎【答案】D　‎ ‎【解析】作出不等式组对应的平面区域如图．ω＝的几何意义是区域内的点P(x，y ‎)与定点A(0，－1)所在直线的斜率，由图象可知当P位于点D(1,0)时，直线AP的斜率最小，此时ω＝的最小值为＝1.故选D．‎ ‎4．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为(　　)‎ 类　型 甲 乙 原料限额 A/吨 ‎3‎ ‎2‎ ‎12‎ B/吨 ‎2‎ ‎2‎ ‎8‎ A．12万元　　 B．16万元　‎ C．17万元　　 D．18万元 ‎【答案】B　‎ ‎【解析】设每天生产甲、乙两种产品分别为x，y吨，利润为z万元，则目标函数为z＝3x＋4y.作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)即可行域．由z＝3x＋4y得y＝－x＋，平移直线y＝－x＋，由图象可知当直线y＝－x＋经过点A(0,4)时，直线y＝－x＋的截距最大，此时z最大，∴zmax＝3x＋4y＝16.即每天生产甲、乙两种产品分别为0吨，4吨，能够产生最大的利润，最大的利润是16万元．故选B．‎ ‎5．如果实数a，b满足条件则的最大值是________．‎ ‎【答案】　‎ ‎【解析】先根据约束条件画出可行域，如图，表示可行域内的点平P(a，b)与原点(0,0)连线的斜率，当连线OP过点B时，取最大值，最大值为3；当连线OP过点A(1,1)时，‎ eq f(b,a)取最小值，最小值为1，∈[1,3]．又＝＝＝2－，∴当＝3，即a＝，b＝时，的最大值为.‎ ‎6．(2019年云南曲靖期末)已知实数x，y满足则z＝2|x－2|＋|y|的最小值是________．‎ ‎【答案】4　‎ ‎【解析】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分，其中A(2,4)，B(1,5)，C(1,3)，∴x∈[1,2]，y∈[3,5]．∴z＝2|x－2|＋|y|＝－2x＋y＋4.当直线y＝2x－4＋z过点A(2,4)时，直线在y轴上的截距最小，此时z有最小值，∴zmin＝－2×2＋4＋4＝4.‎ ‎7．已知x，y满足若z＝x＋3y的最大值为12，试求k的值．‎ ‎【解析】由于k的不同取值将影响不等式所表示的平面区域，故应对k的取值进行讨论．‎ ‎①若k≥0，在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图)，由于z＝x＋3y，所以y＝－x＋z，因此当直线y＝－x＋z经过区域中的点A(0，－k)时，z取到最大值－3k，令－3k＝12，得k＝－4，这与k≥0相矛盾，舍去．‎ ‎②若k＜0，在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的平面区域(如图)．当直线y＝－x＋z经过区域中的点A时，z取到最大值－，令－＝12，得k＝－9.‎ 综上，所求k的值为－9.‎ ‎8．若x，y满足求：‎ ‎(1)z＝2x＋y的最小值；　‎ ‎(2)z＝x2＋y2的范围；‎ ‎(3)z＝的最大值．‎ ‎【解析】作出满足已知条件的可行域为△ABC内(及边界)区域(如图)．‎ 其中A(1,2)，B(2,1)，C(3,4)．‎ ‎(1)目标函数z＝2x＋y表示直线l：y＝－2x＋z，z表示该直线纵截距，当l过点A(1,2)时纵截距有最小值，故zmin＝4.‎ ‎(2)目标函数z＝x2＋y2表示区域内的点到坐标原点的距离的平方，又原点O到AB的距离d＝＝且垂足是D在线段AB上，故OD2≤z≤OC2，即z∈.‎ ‎(3)目标函数z＝＝1＋，则表示区域中的点与坐标原点连线的斜率，当直线过点A时，斜率最大，即max＝2，即zmax＝3.‎ ‎【能力提升】‎ ‎9．设不等式组表示的平面区域为D．若指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图象经过区域D上的点，则a的取值范围是(　　)‎ A．[，3]　　 B．[3，＋∞)‎ C．　 D． ‎【答案】D　‎ ‎【解析】由约束条件作出可行域如图，联立解得A(－1,3)，当函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图象经过区域D上的点A时，有a－1＝3，即a＝.由指数函数图象的特点可知，当a∈时，指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)的图象经过区域D上的点．故选D．‎ ‎10．设z＝x＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为6，则z的最小值为(　　)‎ A．－3　　 B．－2　　‎ C．－1　　 D．0‎ ‎【答案】A　‎ ‎【解析】作出不等式组对应的平面区域，由z＝x＋y，得y＝－x＋z，平移直线y＝－x＋z，由图象可知当直线y＝－x＋z经过点A时，直线y＝－x＋z的截距最大，此时z最大为6，即x＋y＝6.经过点B时，直线y＝－x＋z的截距最小，此时z最小．由得即A(3,3)，∵直线y＝k过点A，∴k＝3.由解得即B(－6,3)．此时z的最小值为z＝－6＋3＝－3，故选A．‎ ‎11．(2019年湖北武汉模拟)设x，y满足约束条件且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝________.‎ ‎【答案】3　‎ ‎【解析】根据约束条件画出可行域如图1中阴影部分所示，可知可行域为开口向上的V字型，在顶点处z有最小值，顶点为，则＋a＝7，解得a＝3或a＝－5.当a＝－5时，如图2，虚线向上移动时z减小，故z→－∞，没有最小值，故只有a＝3满足题意．‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ ‎12．福州市某大型家电商场为了使每月销售空调和冰箱获得的总利润达到最大，对某月即将出售的空调和冰箱进行了相关调查，得出下表：‎ 资　金 空　调 冰　箱 月资金最多供应量 进货成本/百元 ‎30‎ ‎20‎ ‎300‎ 工人工资/百元 ‎5‎ ‎10‎ ‎110‎ 每台利润/百元 ‎6‎ ‎8‎ 问：该商场如果根据调查得来的数据，应该怎样确定空调和冰箱的月供应量，才能使商场获得的总利润最大？总利润的最大值为多少元？‎ ‎【解析】设每月空调和冰箱的月供应量分别为x，y台，总利润为z百元，则由题意得 即 目标函数是z＝6x＋8y，即y＝－x＋.‎ 平移直线y＝－x，当直线过P点时，z取最大值．‎ 由得P点坐标为P(4,9)，‎ 将(4,9)代入得zmax＝6×4＋8×9＝96(百元)，‎ 即空调和冰箱每月分别供应4台和9台可使商场获得的总利润最大，总利润最大值为9 600元．‎