2019届二轮复习函数和导数学案（全国通用） 13页

考情速递 1 真题感悟 真题回放 1.（2018 全国Ⅰ·5)设函数 f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若 f(x)为奇函数,则曲线 y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为(　　) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x 【答案】D 【解析】因为 f(x)为奇函数,所以 f(-x)=-f(x),即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax,解得 a=1,则 f(x)=x3+x. 由 f'(x)=3x2+1,得在(0,0)处的切线斜率 k=f'(0)=1.故切线方程为 y=x. 2．（2018 全国卷 2）(2018 全国Ⅱ·12)已知 f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足 f(1-x)=f(1+x),若 f(1)=2,则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=(　　) A.-50 B.0 C.2 D.50 【答案】C 3.(2018 全国Ⅰ·21)已知函数 f(x)= -x+aln x. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)若 f(x)存在两个极值点 x1,x2,证明: 2,令 f'(x)=0 得,x= 或 x= . 当 x∈ 时,f'(x)<0; 当 x∈ 时,f'(x)>0.所以 f(x)在 单调递减,在 单调递增. (2)证明 由(1)知,f(x)存在两个极值点当且仅当 a>2. 由于 f(x)的两个极值点 x1,x2 满足 x2-ax+1=0,所以 x1x2=1,不妨设 x11. 由于 =- -1+a =-2+a =-2+a , 所以 0,则下列不等 式恒成立的是(　　) A.b-a<2 B.a+2b>2 C.b-a>2 D.a+2b<2 【答案】C 提示：先判断函数 f(x)为奇偶性，再利用函数的性质去掉符号“f”，转化为关于 a、b 的不等式即可判断。 变式训练 1 .(2018 山东烟台一模)定义在 R 上的奇函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数,则使得 f(x)>f(x 2-2x+2)成立的 x 的取值 范围是(　　) A.(1,2) B.(-∞,1)∪(2,+∞) C.(-∞,1) D.(2,+∞) 【答案】A 【解析】由题意可知 f(x)在 R 上单调递增,要使 f(x)>f(x2-2x+2)成立,只需 x>x2-2x+2,解得 11,则 x0 的取值范围是(1,+∞),故选 C. ] 变式训练 5 .(2018 河南中原名校质量考评)已知 f(x)=(x2+2ax)ln x- x2-2ax 在(0,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值范围是 (　　) A.{1} B.{-1} C.(0,1] D.[-1,0) 【答案】B 【解析】f(x)=(x2+2ax)ln x- x2-2ax,f'(x)=2(x+a)ln x, 已知 f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴f'(x)≥0 在(0,+∞)上恒成立, 当 x=1 时,f'(x)=0 满足题意. 当 x>1 时,ln x>0,要使 f'(x)≥0 恒成立,则 x+a≥0 恒成立, ∵x+a>1+a,∴1+a≥0,解得 a≥-1. 当 00 时,f(x)= (1+x2)+ , ∴f(x)在(0,+∞)上递减, ∵f(x)是偶函数,∴f(x)在(-∞,0)上递增, ∴f(x)≤f(2x-1)等价于|x|≥|2x-1|, 两边平方化为 3x2-4x+1≤0, ≤x≤1, x 的取值范围是 ,故选 C. 5. 已知函数 y=f（x）的图象如图，则 f′（xA）与 f′（xB）的大小关系是（　　） 1 2 log 1 2 log A．f′（xA）＞f′（xB） B．f′（xA）＜f′（xB） C．f′（xA）=f′（xB） D．不能确定 【答案】B 【解析】由图象可知函数在 A 处的切线斜率小于 B 处的切线斜率，∴根据导数的几何意义可知 f′（xA）＜f′ （xB），故选：B． 6. （2018•蚌埠一模）已知 k，b∈R，设直线 l：y=kx+b 是曲线 y=ex+x 的一条切线，则（　　） A．k＜1，且 b≤1B．k＜1，且 b≥1C．k＞1，且 b≤1D．k＞1，且 b≥1 【答案】C 【解析】曲线 y=ex+x 的导数为：y′=ex+1＞1，可知 k＞1；直线 l：y=kx+b 在 y 轴上的截距为 b，曲线 y=ex+x，x=0 时，y=1，可知 b≤1．故选：C． 7. 定义在 R 上的偶函数 f（x）的导函数为 f （x），若对任意的实数 x，都有 2f（x）+xf （x）＜2 恒成立， 则使 x2f（x）﹣f（1）＜x2﹣1 成立的实数 x 的取值范围为（　　） A．{x|x≠±1}B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣1，1）D．（﹣1，0）∪（0，1） 【答案】B 【解析】当 x＞0 时，由 2f（x）+xf′（x）﹣2＜0 可知：两边同乘以 x 得： 2xf（x）﹣x2f′（x）﹣2x＜0 | |k ] 设：g（x）=x2f（x）﹣x2，则 g （x）=2xf（x）+x2f （x）﹣2x＜0，恒成立： ∴g（x）在（0，+∞）单调递减，由 x2f（x）﹣f（1）＜x2﹣1 ∴x2f（x）﹣x2＜f（1）﹣1，即 g（x）＜g（1），即 x＞1； 当 x＜0 时，函数是偶函数，同理得：x＜﹣1 综上可知：实数 x 的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），故选：B 8. 已知函数 f（x）=x2+2x+alnx，若函数 f（x）在（0，1）上单调，则实数 a 的取值范围是（　　） A．a≥0 B．a＜﹣4 C．a≥0 或 a≤﹣4 D．a＞0 或 a＜﹣4 【答案】C 【解析】由 f（x）=x2+2x+alnx，所以 ， 若函数 f（x）在（0，1）上单调，则当 x∈（0，1）时，f′（x）≥0 或 f′（x）≤0 恒成立， 即 2x2+2x+a≥0①，或 2x2+2x+a≤0②在（0，1）上恒成立， 由①得，a≥﹣2x2﹣2x，由②得，a≤﹣2x2﹣2x， 因为 y=﹣2x2﹣2x 的图象开口向下，且对称轴为 ，所以在（0，1）上，ymax=0，ymin=﹣4 所以 a 的范围 ′ ′ ′ ′ 是 a≥0 或 a≤﹣4．故选 C． 9. （2018•资阳模拟）已知函数 f（x）=lnx，它在 x=x0 处的切线方程为 y=kx+b，则 k+b 的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，0] C．[1，+∞） D．[0，+∞） 【答案】D 【解析】根据题意，函数 f（x）=lnx，其导数为 f′（x）= ，则有 f′（x0）= ，即 k= ，又由切点的坐 标为（x0，lnx0），则切线的方程为 y﹣lnx0=k（x﹣x0）， 变形可得：y=kx﹣kx0+lnx0，则有 b=lnx0﹣1，则 k+b=（lnx0﹣1）+ ， 设 g（x）=（lnx﹣1）+ ，则有 g′（x）= ﹣ = ， 分析可得：在（0，1）上，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）上为减函数， 在（1，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上为增函数， 则 g（x）的最小值 g（1）=0，则有 k+b=（lnx0﹣1）+ ≥0， 即 k+b 的取值范围是[0，+∞）；故选：D． 10 (2018 山东菏泽一模)已知函数 f(x)=x3-ax+2 的极大值为 4,若函数 g(x)=f(x)+mx 在(-3,a-1)上的极小值不大 于 m-1,则实数 m 的取值范围是(　　) A. -9,- B. -9,- C. - ,+∞ D.(-∞,-9) 【答案】B 【解析】∵f'(x)=3x2-a,当 a≤0 时,f'(x)≥0,f (x)无极值;当 a>0 时,易得 f(x)在 x=- 处取得极大值,则有 f - =4,即 a=3,于是 g(x)=x3+(m-3)x+2,g'(x)=3x2+(m-3). 当 m-3≥0 时,g'(x)≥0,g(x)在(-3,2)上不存在极小值. 当 m-3<0 时,易知 g(x)在 x= 处取得极小值, 依题意有 解得-9 ;③f(x0)+x0<0;④f(x0)+x0>0. 其中正确的命题是　　　.(填出所有正确命题的序号) 【答案】①③