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- 2021-06-16 发布
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湘豫名校联考(2020年8月)
数学(文科)试卷
注意事项:
1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第II卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集I=R,集合A={x|x2-3x-4≥0},B={-4,1,3,5},则(A)∩B=
A.{-4,1} B.{1,5} C.{3,5} D.{1,3}
2.若复数z满足:z(1+2i)=5,则它的共轭复数在复平面内对应的点在
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.设O为邻边不相等的矩形ABCD的对角线交点,在O,A,B,C,D中任取3点,则取到的3点构成直角三角形的概率为
A. B. C. D.
4.在统计学中,同比增长率一般是指和去年同期相比较的增长率,环比增长率一般是指和前一时期相比较的增长率。2020年2月29日人民网发布了我国2019年国民经济和社会发展统计公报图表,根据2019年居民消费价格月度涨跌幅度统计折线图,下列说法正确的是
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A.2019年我国居民每月消费价格与2018年同期相比有涨有跌
B.2019年我国居民每月消费价格中2月消费价格最高
C.2019年我国居民每月消费价格逐月递增
D.2019年我国居民每月消费价格3月份较2月份有所下降
5.日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间。把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面。在点A处放置个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40°,则晷针与点A处的水平面所成角为
A.20° B.40° C.50° D.90°
6.如图是周期为π的函数y=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象,则φ=
A. B. C. D.
7.已知双曲线C:的焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),P为C上一点,PF1⊥PF2,tan∠PF1F2=,则C的方程为
A. B. C. D.
8.执行如图所示的程序框图,若输出S=,则输入的N可以是
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A.3 B.4 C.5 D.6
9.已知,则a,b,c的大小关系是
A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b
10.已知△ABC是面积为的等边三角形,且其顶点都在球O的球面上。若球O的体积为,则O到平面ABC的距离为
A. B. C.1 D.
11.记Sn为等比数列{an}的前n项和。若a5-a3=12,a6-a4=24,则满足不等式:≤的最大的n值等于
A.5 B.6 C.7 D.8
12.已知函数f(x)=e|x|sinx,给出下述四个结论:
①f(x)是周期为2π的奇函数
②f(x)在(-,)上为增函数
③f(x)在(-10π,10π)内有21个极值点
④f(x)≥ax在[0,]上恒成立的充要条件是a≤1
其中所有正确结论的编号是
A.①② B.②③ C.②④ D.③④
第II卷
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知向量a,b满足a=(2,1),b=(1,y),且a⊥b,则|a+2b|= 。
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14.若x,y满足约束条件,则z=x+3y的最大值是 。
15.已知曲线y=aex+xlnx在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则ab= 。
16.数列{an}的通项an=n2·cos,其前k项和为Sk=174,则k= 。
三、解答题:本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.(本小题满分12分)
某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品(单位:件)按标准分为A,B,C,D四个等级。厂家按等级每件分别收取加工费如下表:
该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务。甲分厂加工成本费为25元/件,乙分厂加工成本费为20元/件。厂家为决定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各试加工了100件这种产品,并统计了这些产品的等级,整理得到如下柱状图:
(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率;
(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润,以平均利润为依据,厂家应选哪个分厂承接加工业务?
18.(本小题满分12分)
△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=30°。
(1)若b=c,a=1,求△ABC的面积;
(2)若a+b=c,求角C。
19.(本小题满分12分)
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如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°。
(1)证明:直线BC//平面PAD;
(2)若四棱锥P-ABCD的体积为4,求该四棱锥的侧面积。
20.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=ax2+(a-2)x-lnx。
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围。
21.(本小题满分12分)
如图,已知椭圆C:过点P(2,1),离心率e=。
(1)求椭圆C的方程;
(2)如图,直线l2平行于OP(O为原点),且与椭圆C交于两点A、B,与直线x=2交于点M(M介于A、B两点之间)。
(i)当△PAB面积最大时,求l2的方程;
(ii)求证:|PA||MB|=|PB||MA|。
(二)选考题:共10分。请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
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已知曲线C的极坐标方程为ρ2=,直线l的参数方程为(t为参数)。
(1)求曲线C的参数方程与直线l的普通方程;
(2)设点P为曲线C上的动点,点M和点N为直线l上的点,且|MN|=2,求△PMN面积的取值范围。
23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
函数f(x)=|2x-2|+|x+3|。
(1)求不等式f(x)≥2x+5的解集;
(2)若f(x)的最小值为k,且实数a,b,c满足a(b+c)=k,求证:2a2+b2+c2≥8。
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