【数学】2020届一轮复习（文理合用）高考大题规范解答系列2三角函数作业 7页

对应学生用书[练案33理][练案32文]‎ 高考大题规范解答系列(二)——三角函数 ‎1．函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)在它的某一个周期内的单调减区间是[，]．将y＝f(x)的图象先向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，所得到的图象对应的函数记为g(x)．‎ ‎(1)求g(x)的解析式；‎ ‎(2)求g(x)在区间x∈[0，]上的最大值和最小值．‎ ‎[解析]　(1)由题意得，＝－＝，‎ ‎∴ω＝＝2，又sin(2·＋φ)＝1，∴φ＝－，‎ ‎∴f(x)＝sin(2x－)，‎ 将f(x)的图象向左平移个单位，得sin[2(x＋)－]＝sin(2x＋)，再将图象所有点横坐标变为原来的得g(x)，‎ ‎∴g(x)＝sin(4x＋)．‎ ‎(2)g(x)在x∈[0，]为增函数，在x∈[，]上为减函数，‎ ‎∴g(x)max＝g()＝1，g(x)min＝g()＝－，故函数在x∈[0，]上的最大值和最小值分别为1和－．‎ ‎2．已知函数f(x)＝2sinωxcosωx＋cos2ωx(ω>0)，且f(x)的最小正周期为π．‎ ‎(1)求函数f(x)的单调增区间；‎ ‎(2)若f(－)＝，f(－)＝，且α、β∈(－，)，求cos(α＋β)的值．‎ ‎[解析]　(1)f(x)＝2cosωxsinωx＋cos2ωx ‎＝sin2ωx＋cos2ωx＝sin(2ωx＋)．‎ ‎∵f(x)的最小正周期为π，∴ω＝1 ‎ ‎∴f(x)＝sin(2x＋)，‎ 令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，‎ 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z．‎ ‎∴函数f(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z．‎ ‎(2)∵f(x)＝sin(2x＋)，且f(－)＝，‎ f(－)＝，‎ ‎∴sinα＝，sinβ＝，‎ ‎∵α、β∈(－，)，‎ ‎∴cosα＝，cosβ＝．‎ ‎∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ ‎＝×－×＝．‎ ‎3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足bcosA＝(2c＋a)cos(π－B)．‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)若b＝4，△ABC的面积为，求△ABC的周长．‎ ‎[解析]　(1)∵bcosA＝(2c＋a)cos(π－B)，∴bcosA＝(2c＋a)(－cosB)，‎ 由正弦定理可得：sinBcosA＝(－2sinC－sinA)cosB，‎ ‎∴sin(A＋B)＝－2sinCcosB＝sinC，又角C为△ABC内角，sinC>0，∴cosB＝－，‎ 又B∈(0，π)，∴B＝，‎ ‎(2)由S△ABC＝acsinB＝，得ac＝4，又b2＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac＝16，∴a＋c＝2，所以△ABC的周长为4＋2．‎ ‎4．△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若向量m＝(cosB，cosC)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n．‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)若b＝7，a＋c＝8，求△ABC的面积．‎ ‎[解析]　(1)∵m⊥n，∴cosB·(2a＋c)＋cosC·b＝0，‎ 由正弦定理得cosB·(2sinA＋sinC)＋cosC·sinB＝0，‎ ‎∴2cosBsinA＝－(sinC·cosB＋cosC·sinB)＝－sin(B＋C)＝－sinA，∵sinA≠0，∴cosB＝－，∴B＝．‎ ‎(2)根据余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2accosB，‎ ‎∴49＝a2＋c2＋ac，‎ 又因为a＋c＝8，∴(a＋c)2＝64，‎ ‎∴a2＋c2＋2ac＝64，∴ac＝15，‎ 则S△ABC＝ac·sinB＝．‎ ‎5．在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，AB边上的高h＝c．‎ ‎(1)若△ABC为锐角三角形，且sinA＝，求角B的正弦值；‎ ‎(2)若∠C＝，M＝，求M的值．‎ ‎[解析]　(1)作CD⊥AB，D为垂足，记AB＝c，则h＝c，‎ ‎∵△ABC为锐角三角形，且sinA＝，‎ ‎∴cosA＝，∴tanA＝，即＝，‎ ‎∵CD＝c，∴AD＝，‎ ‎∴BD＝AB－AD＝，∴∠B＝∠A，∴sinB＝．‎ ‎(2)∵S△ABC＝c×c＝absinC＝ab，‎ ‎∴c2＝ab，‎ 又∵a2＋b2－c2＝2abcosC＝ab，‎ ‎∴a2＋b2＝ab＋c2，‎ ‎∴a2＋b2＋c2＝ab＋c2‎ ‎＝ab＋×ab＝2ab，‎ ‎∴M＝＝＝2．‎ ‎6．(2018·云南红河州质检)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝．‎ ‎(1)求角A的值；‎ ‎(2)若∠B＝，BC边上的中线AM＝，求△ABC的面积．‎ ‎(理)如图，在平面四边形ABCD中，已知AB＝BC＝CD＝2，AD＝2．‎ ‎(1)求cosA－cosC的值；‎ ‎(2)记△ABD与△BCD的面积分别是S1与S2，求S＋S的最大值．‎ ‎[解析]　(文)(1)由正弦定理及＝，‎ 得＝，整理得：2sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB，又sinB≠0，‎ 所以cosA＝，又∠A∈(0，π)，所以∠A＝．‎ ‎(2)由∠B＝，∠A＝，知a＝b，△ACM中，由余弦定理得：cos＝＝－，求得：b＝2，所以△ABC的面积S△ABC＝absinC＝×2×2×＝．‎ ‎(理)(1)在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cosA＝12－8cosA；‎ 在△BCD中，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cosC＝8－8cosC，‎ ‎∴12－8cosA＝8－8cosC，整理得cosA－cosC＝．‎ ‎(2)由题意S＝(AB·AD·sinA)2＝8sin2A，‎ S＝(CB·CD·sinC)2＝4sin2C，‎ ‎∴S＋S＝8sin2A＋4sin2C＝8(1－cos2A)＋4(1－cos2C)＝12－8cos2A－4cos2C ‎＝12－8cos2A－4(cosA－)2‎ ‎＝－16cos2A＋4cosA＋11＝－16(cosA－)2＋．‎ ‎∵2－2