【数学】2020届一轮复习人教B版（文）17平面向量的基本定理及坐标表示作业 11页

天天练17　平面向量的基本定理及坐标表示 小题狂练⑰‎ 一、选择题 ‎1．[2019·昆明调研]已知向量a＝(－1,2)，b＝(1,3)，则|2a－b|＝(　　)‎ A. B．2‎ C. D．10‎ 答案：C 解析：由已知，易得2a－b＝2(－1,2)－(1,3)＝(－3,1)，所以|2a－b|＝＝.故选C.‎ ‎2．[2019·桂林模拟]下列各组向量中，可以作为基底的是(　　)‎ A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)‎ B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)‎ C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)‎ D．e1＝(2，－3)，e2＝ 答案：B 解析：两个不共线的非零向量构成一组基底，A中向量e1为零向量，C，D中两向量共线，B中e1≠0，e2≠0，且e1与e2不共线，故选B.‎ ‎3．如果e1、e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(　　)‎ ‎①a＝λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；‎ ‎②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；‎ ‎③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则＝.‎ ‎④若实数λ、μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.‎ A．①② B．②③‎ C．③④ D．②‎ 答案：B 解析：由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当λ1λ2＝0或 μ1μ2＝0时不一定成立，应为λ1μ2－λ2μ1＝0.故选B.‎ ‎4．[2019·天津红桥区模拟]若向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，则a＋b的坐标为(　　)‎ A．(1,5) B．(1,1)‎ C．(3,1) D．(3,5)‎ 答案：A 解析：∵向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，∴a＋b＝(1,5)．故选A.‎ ‎5．[2018·全国卷Ⅰ]在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)‎ A.－ B.－ C.＋ D.＋ 答案：A 解析：作出示意图如图所示．‎ ＝＋＝＋ ‎＝×(＋)＋(－)‎ ‎＝－.‎ 故选A.‎ ‎6．[2019·吉林一中等五校模拟]已知向量a＝，b＝(cosα，1)，α∈，且a∥b，则sin＝(　　)‎ A．－ B. C. D．－ 答案：C 解析：因为向量a＝，b＝(cosα，1)，且a∥b，‎ 所以＝tanαcosα＝sinα.因为α∈，‎ 所以sin＝－cosα＝＝.故选C.‎ ‎7．[2019·宜昌模拟]已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与同方向的单位向量是(　　)‎ A. B. C. D. 答案：A 解析：因为＝(3，－4)，所以与同方向的单位向量为＝.‎ ‎8．若A，B，C，D四点共线，且满足＝(3a,2a)(a≠0)，＝(2，t)，则t等于(　　)‎ A. B. C．3 D．－3‎ 答案：B 解析：因为A，B，C，D四点共线，所以∥，故3a·t＝2a·2，t＝.故选B.‎ 二、非选择题 ‎9．在平面直角坐标系xOy中，已知a＝(，1)，若将向量－2a绕坐标原点O逆时针旋转120°得到向量b，则b的坐标为________．‎ 答案：(2，－2)‎ 解析：因为a＝(，1)，所以－2a＝(－2 ‎，－2)，如图所示，易知向量－2a与x轴正半轴的夹角α＝150°.向量－2a绕坐标原点O逆时针旋转120°得到向量b，由图可知，b在第四象限，且与x轴正半轴的夹角β＝30°，所以b＝(2，－2)．‎ ‎10．已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________________.‎ 答案：－6‎ 解析：由题意知－2m－12＝0，m＝－6.‎ ‎11．设向量a，b满足|a|＝2，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．‎ 答案：(－4，－2)‎ 解析：因为b＝(2,1)，且a与b的方向相反，所以设a＝(2λ，λ)(λ<0)，因为|a|＝2.所以4λ2＋λ2＝20，λ2＝4，λ＝－2.所以a＝(－4，－2)．‎ ‎12．已知A(2,1)，B(3,5)，C(3,2)，＝＋t(t∈R)，若点P在第二象限，则实数t的取值范围是________．‎ 答案：(－5，－3)‎ 解析：设点P(x，y)，则由＝＋t(t∈R)，得(x－2，y－1)＝(1,4)＋t(1,1)＝(1＋t,4＋t)，所以解得由点P在第二象限，得解得－50)，则3x＋y的最小值是(　　)‎ A. B. C. D.＋ 答案：D 解析：‎ 如图．‎ ＝，＝，‎ 又∵＝＋，‎ ‎∴＝＋，‎ 又∵M，G，N三点共线，∴＋＝1.‎ ‎∵x>0，y>0，‎ ‎∴3x＋y＝(3x＋y)＝1＋＋＋≥＋.当且仅当y＝x时取等号．故选D.‎ ‎8．[2019·福建质量检测]正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的关系．在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且＝.下列关系中正确的是(　　)‎ A.－＝ B.＋＝ C.－＝ D.＋＝ 答案：A 解析：由题意，知－＝－＝，＝＝，所以＝，故A正确；＋＝－＝＝，故B错误；－＝－＝＝，故C错误；因为＋＝＋，＝＝－，若＋＝成立，则＝0，不合题意，故D错误．故选A.‎ 二、非选择题 ‎9.‎ 如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设＝a，＝b，若＝2，则＝________(用向量a和b表示)．‎ 答案：a＋b 解析：由＝2知，AB∥DC且||＝2||，从而||＝2||.所以＝＝(－)＝(a－b)，所以＝＋＝b＋(a－b)＝a＋b.‎ ‎10．[2018·全国卷Ⅲ]已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.‎ 答案： 解析：2a＋b＝(4,2)，因为c∥(2a＋b)，所以4λ＝2，得λ＝.‎ ‎11．已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，＝2e1＋e2，＝－e1＋λe2，＝－2e1＋e2，且A，E，C三点共线．‎ ‎(1)求实数λ的值；若e1＝(2,1)，e2＝(2，－2)，求的坐标；‎ ‎(2)已知点D(3,5)，在(1)的条件下，若ABCD四点构成平行四边形，求点A的坐标．‎ 解析：(1)＝＋＝(2e1＋e2)＋(－e1＋λe2)‎ ‎＝e1＋(1＋λ)e2.‎ ‎∵A，E，C三点共线，‎ ‎∴存在实数k，使得＝k，‎ 即e1＋(1＋λ)e2＝k(－2e1＋e2)，‎ 得(1＋2k)e1＝(k－1－λ)e2.‎ ‎∵e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，‎ ‎∴解得k＝－，λ＝－.‎ ＝＋＝－3e1－e2‎ ‎＝(－6，－3)＋(－1,1)＝(－7，－2)．‎ ‎(2)∵ABCD四点构成平行四边形，∴＝.‎ 设A(x，y)，则＝(3－x,5－y)，‎ 又＝(－7，－2)，∴ 解得点A(10,7)．‎