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- 2021-06-16 发布
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2020届一轮复习人教A版 圆锥曲线的最值范围问题 作业
1. 已知椭圆的离心率为,短轴长为2.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线与椭圆交于两点, 为坐标原点,若,求原点到直线的距离的取值范围.
【答案】(1);(2)
(2)设, ,联立得,依题意, ,化简得,①, , , ,若,则,即,∴,∴,即,化简得,②,由①②得
, ,∵原点到直线的距离,∴,又∵,∴,∴原点到直线的距离的取值范围是
2.已知椭圆的离心率为,短轴长为.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若圆的切线与曲线相交于、两点,线段的中点为,求的最大值.
【答案】(Ⅰ)的标准方程 (Ⅱ)的最大值等于
【解析】试题分析:(1)待定系数法求椭圆方程;(2)借助韦达定理表示的最大值,利用二次函数求最值.
试题解析:
(I),所以,又,解得.
所以椭圆的标准方程.
(II)设, , ,易知直线的斜率不为,则设.
因为与圆相切,则,即;
由消去,得,
则, ,
, ,即,
,
设,则, ,
当时等号成立,所以的最大值等于.
3. 如图,已知椭圆: 的离心率为, 、为椭圆的左右顶点,焦点到短轴端点的距离为2, 、为椭圆上异于、的两点,且直线的斜率等于直线斜率的2倍.
(Ⅰ)求证:直线与直线的斜率乘积为定值;
(Ⅱ)求三角形的面积的最大值.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).
【解析】试题分析:(Ⅰ)由椭圆的方程可得点P,A,B的坐标,利用两点式求直线斜率的方法可求出BP,BQ的斜率乘积为定值-1;(Ⅱ)当直线的斜率存在时, , , ,当直线的斜率不存在时, ,故综合的最大值为.
试题解析:
(Ⅰ).
,故.
或,所以过定点或,
点为右端点,舍去,
,
令(),
, , ,
当直线的斜率不存在时, , ,
,即,解得, ,
,
所以的最大值为.
4已知椭圆 的左、右焦点分别为、, 为椭圆的右顶点, , 分别为椭圆的上、下顶点.线段的延长线与线段交于点,与椭圆交于点.(1)若椭圆的离心率为, 的面积为12,求椭圆的方程;(2)设 ,求实数的最小值.
【答案】(1) (2)
试题解析:解:(1)是等腰直角三角形,由勾股定理知,
解得,
, , ,
则,即, .
所以椭圆的方程为.
(2)设,因为直线的方程为,直线的方程为,
所以联立方程解得.
因为,所以,所以,
所以,所以, ,
代入椭圆的方程,得,
即 ,
所以 ,
因为所以,所以当且仅当即时,
取到最小值.
5.已知点是圆心为的圆上的动点,点,线段的垂直平分线交于点.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)矩形的边所在直线与曲线均相切,设矩形的面积为,求的取值范围.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】试题分析:(1)利用定义法求椭圆的轨迹方程;(2)设的方程为,
的方程为,直线与间的距离为,直线与间的距离为, ,从而得到S的范围.
(2)①当矩形的边与坐标轴垂直或平行时,易得;
②当矩形的边均不与坐标轴垂直或平行时,其四边所在直线的斜率存在且不为0,
设的方程为, 的方程为,则的方程为, 的方程为,其中,
直线与间的距离为,
同理直线与间的距离为,
所以
,
因为直线与椭圆相切,所以,所以,同理
,
所以
,
(当且仅当时,不等式取等号),
所以,即,
由①②可知, .
6.已知椭圆()的右焦点为,过椭圆中心的弦长为2,且, 的面积为1.
(1)求椭圆的方程;
(2)设分别为椭圆的左、右顶点, 为直线上一动点,直线交椭圆于点,直线交椭圆于点,设分别为, 的面积,求的最大值.
【答案】(1)(2)见解析
【解析】试题分析:
(1)由题意求得 ,则椭圆方程为;
(2)由题意求得面积比值的解析式,当且仅当,即时取“”.
试题解析:
解:
(2)设直线,代入中,
得,解得
同理,设直线,带入中,
得,解得
当且仅当,即时取“”
7. 已知圆,点是圆上任意一点,线段的垂直平分线交于点,当点在圆上运动时,点的轨迹为曲线.
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)若直线与曲线相交于两点,为坐标原点,求面积的最大值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
【解析】试题分析:(1)由垂直平分线的几何意义可知,,满足椭圆的定义。(2)直线与椭圆组方程组,由韦达定理、弦长公式和点到直线的距离公式,可求得 .由,得及均值不等式可求得面积的最大值.
(Ⅱ)设.
联立消去,得.
此时有.
由一元二次方程根与系数的关系,得
,.
∴ .
∵原点到直线的距离,
∴ .
由,得.又,∴据基本不等式,得
.
当且仅当时,不等式取等号.
∴面积的最大值为.
8.已知点,点是直线上的动点,过作直线, ,线段的垂直平分线与交于点.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)若点是直线上两个不同的点,且的内切圆方程为,直线的斜率为,求的取值范围.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】试题分析:(1)利用抛物线定义求解即可;
(2)设出的三个顶点的坐标,表示出的解析式,化简之后可得为关于的方程的两根,然后由韦达定理表示的长度,最后在中消去参数,故可以得到的取值范围.
试题解析: (1)据题设分析知,点的轨迹是以点为焦点,直线为准线的抛物线,所以曲线的方程为.
(2)设,点,点,
直线的方程为,
化简,得,
又因为内切圆的方程为.
所以圆心到直线的距离为1,即,
所以,
由题意,得,所以.
同理,有,
所以是关于的方程的两根,
所以因为
所以.
因为,
所以.
直线的斜率,则,
所以.
因为函数在上单调递增,所以当时, ,
所以,所以,
所以.所以的取值范围是.
9. 如下图,已知椭圆的上顶点为,左、右顶点为,右焦点为, ,且的周长为14.
(I)求椭圆的离心率;
(II)过点的直线与椭圆相交于不同两点,点N在线段上.设,试判断点是否在一条定直线上,并求实数λ的取值范围.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ) .
试题解析:
(I)由,得,
的周长为,即,得,
所以,椭圆的离心率为;
(II)显然直线l的斜率存在,设l的方程为,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x0,y0),
由,得,化简得①,-----6分
由消去x,得,
得, ,
代入①式得,由得,
,
因为,得,所以,
因此,N在一条直线上,实数.
【法二:显然直线l的斜率存在,设l的方程为,不妨设,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x0,y0), ,
由,得,化简得①,6分
由, ,得②,
由消去x,得,
可知 ,
得, , ,
代入①式得,由得,
由②式得 ,得,
因此,N在一条直线上,实数.
法三:设P(x1,y1),Q(x2,y2),N(x0,y0), ,由,
得
所以,将, 代入椭圆方程得
上面两式相减化简得
,
因为,得,所以,
因此,N在一条直线上,实数.
点睛:本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系,所使用方法为韦达定理法:因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用.
10.平面直角坐标系中,已知椭圆:的离心率为,左、右焦点分别是.以为圆心以3为半径的圆与以为圆心1为半径的圆相交,且交点在椭圆上.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设椭圆为椭圆上任意一点,过点的直线 交椭圆 于两点,射线 交椭圆 于点 .
( i )求的值;
(ii)求△面积的最大值.
【答案】(I);(II)( i )2;(ii) .
(II)由(I)知椭圆E的方程为
(i)设, ,由题意知
因为
又 ,即
所以 ,即
(ii)设
将代入椭圆E的方程,
可得
由 ,可得 …………………………①
则有
所以
因为直线与轴交点的坐标为
所以的面积
令
将 代入椭圆C的方程
可得
由 ,可得 …………………………………………②
由①②可知
因此
故
当且仅当 ,即 时取得最大值
由(i)知, 面积为
所以面积的最大值为 .