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- 2021-06-16 发布
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限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)
A级 基础夯实练
1.袋中有20个大小相同的球,其中标上0号的有10个,标上n号的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,X表示所取球的标号.
(1)求X的分布列、期望和方差;
(2)若Y=aX+b,E(Y)=1,D(Y)=11,试求a,b的值.
解:(1)X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=1.5.
D(X)=(0-1.5)2×+(1-1.5)2×+(2-1.5)2×+(3-1.5)2×+(4-1.5)2×=2.75.
(2)由D(Y)=a2D(X),得a2×2.75=11,即a=±2.
又E(Y)=aE(X)+b,
所以当a=2时,
由1=2×1.5+b,得b=-2.
当a=-2时,
由1=-2×1.5+b,得b=4.
所以或
2.(2018·合肥市第一次教学质量检测)某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动,有甲、乙两个抽奖方案供员工选择.
方案甲:员工最多有两次抽奖机会,每次抽奖的中奖率均为.第一次抽奖,若未中奖,则抽奖结束.若中奖,则通过抛一枚质地均匀的硬币,决定是否继续进行第二次抽奖.规定:若抛出硬币,反面朝上,员工则获得500元奖金,不进行第二次抽奖;若正面朝上,员工则须进行第二次抽奖,且在第二次抽奖中,若中奖,则获得奖金1 000元;若未中奖,则所获得的奖金为0元.
方案乙:员工连续三次抽奖,每次中奖率均为,每次中将均可获得奖金400元.
(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列;
(2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖,哪个方案更划算?
解:(1)X的可能取值为0,500,1 000.
P(X=0)=+××=,P(X=500)=×=,P(X=1 000)=××=,
所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列为
X
0
500
1 000
P
(2)由(1)可知,选择方案甲进行抽奖所获奖金X的期望E(X)=500×+1 000×=520,
若选择方案乙进行抽奖,中奖次数ξ~B,则E(ξ)=3×=
,抽奖所获奖金X的期望E(X)=E(400ξ)=400E(ξ)=480,故选择方案甲较划算.
3.(2018·天津实验中学期中)从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中摸球(不放回),每摸出2个球为一次试验,直到摸出的球中有红球,则试验结束.
(1)求第一次试验恰好摸到1个红球和1个白球的概率;
(2)记试验次数为X,求X的分布列及数学期望.
解:(1)记“第一次试验恰好摸到1个红球和1个白球”为事件A,则P(A)==.
(2)X的所有可能取值为1,2,3,4,
P(X=1)==,P(X=2)=×=;
P(X=3)=××=;P(X=4)=×××=.
∴X的分布列为
X
1
2
3
4
P
E(X)=1×+2×+3×+4×=.
4.(2018·湖南湘中联考)某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
P
0.4
0.2
0.2
0.1
0.1
商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元.η表示经销一件该商品的利润.
(1)求事件A“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率P(A);
(2)求η的分布列及期望E(η).
解:(1)由A表示事件“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”,可得表示事件“购买该商品的3位顾客中,无人采用1期付款”.
又P()=(1-0.4)3=0.216,
故P(A)=1-P()=1-0.216=0.784.
(2)η的所有可能取值为200,250,300.
P(η=200)=P(ξ=1)=0.4,
P(η=250)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.2+0.2=0.4,
P(η=300)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=0.1+0.1=0.2.
所以η的分布列为
η
200
250
300
P
0.4
0.4
0.2
E(η)=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240.
B组 能力提升练
5.(2018·湖南邵阳月考)某省电视台举行歌唱大赛,大赛依次设初赛、复赛、决赛三个轮次的比赛.已知某歌手通过初赛、复赛、决赛的概率分别为,,,且各轮次通过与否相互独立.记该歌手参赛的轮次为ξ.
(1)求ξ的分布列和数学期望;
(2)记“函数f(x)=3sin(x∈R)是偶函数”为事件A,求A发生的概率.
解:(1)ξ的所有可能取值为1,2,3.
P(ξ=1)=,P(ξ=2)=×=,
P(ξ=3)=×=.
所以ξ的分布列为
ξ
1
2
3
P
E(ξ)=1×+2×+3×=.
(2)若f(x)=3sin(x∈R)是偶函数,则ξ=1或ξ=3.
故P(A)=P(ξ=1)+P(ξ=3)=+=.
6.(2018·辽宁大连期中)某工厂为了对新研发的产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的单位进行试销,得到一组检测数据(xi,yi)(i=1,2,…,6)如表所示.
试销单价x/元
4
5
6
7
a
9
产品销量y/件
b
84
83
80
75
68
已知变量x,y具有线性负相关关系,且i=39,i=480,现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其回归方程分别为:甲,y=4x+54;乙,y=-4x+106;丙,y=-4.2x+105.其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.
(1)试判断谁的计算结果正确,并求出a,b的值;
(2)若由线性回归方程得到的估计数据(xi,i)中的i与检测数据(xi,yi)中的yi差的绝对值不超过1,则称该检测数据是“理想数据”,现从检测数据中随机抽取3个,求“理想数据”的个数ξ的分布列和数学期望.
解:(1)已知变量x,y具有线性负相关关系,故甲的计算结果不对,由题意得,==6.5,==80,
将=6.5,=80分别代入乙、丙的回归方程,经验证知乙的计算结果正确,
故回归方程为y=-4x+106.
由i=4+5+6+7+a+9=39,得a=8,
由i=b+84+83+80+75+68=480,得b=90.
(2)列出估计数据(xi,yi)与检测数据(xi,yi)如表.
x
4
5
6
7
8
9
y
90
84
83
80
75
68
90
86
82
78
74
70
易知有3个“理想数据”,故“理想数据”的个数ξ的所有可能取值为0,1,2,3.
P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,P(ξ=3)==.
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
E(ξ)=0×+1×+2×+3×=.