【数学】2021届一轮复习人教A版（理）第七章第三讲基本不等式作业 4页

第三讲　基本不等式 ‎1.已知a>b>0,则a+‎4‎a+b‎+‎‎1‎a - b的最小值为(　　)‎ A.‎3‎‎10‎‎2‎ B.4 C.2‎3‎ D.3‎‎2‎ ‎2.[2020四省八校联考]若a>0,b>0,ab =2,则a+2b的最小值为(　　)‎ A.2‎2‎ B.4 C.4‎2‎ D.6‎ ‎3.已知关于x的不等式x2-4ax+3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2),则x1+x2+ax‎1‎x‎2‎的最大值是(　　)‎ A.‎6‎‎3‎ B.‎2‎‎3‎‎3‎C.‎4‎‎3‎‎3‎ D.‎‎ - ‎‎4‎‎3‎‎3‎ ‎4.[2020惠州市二调][双空题]设x,y为正数,若x+y‎2‎ =1,则‎1‎x‎+‎‎2‎y的最小值是　　　　,此时x =　　　　. ‎ ‎5.[2020江苏扬州中学阶段检测]已知正数x,y,z满足(x+2y)(y+z) =4yz,且z≤3x,则‎3x‎2‎+2‎y‎2‎‎3xy的取值范围是　　　　. ‎ ‎6.[2020惠州市一调]已知x>‎5‎‎4‎,则函数y =4x+‎1‎‎4x - 5‎的最小值为　　　　. ‎ ‎7.[2020合肥市调研检测]若直线l:ax-by+2 =0(a>0,b>0)经过圆x2+y2+2x-4y+1 =0的圆心,则‎1‎a‎+‎‎1‎b的最小值为(　　)‎ A.2‎2‎ B.‎2‎ C.2‎2‎+1 D.‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎ ‎8.[2019福建宁德市、福鼎市三校联考]已知正数a,b,c满足4a-2b+25c =0,则lg a+lg c-2lg b的最大值为(　　)‎ A.-2 B.2 C.-1 D.1‎ ‎9.直线ax+by+1 =0与圆x2+y2 =1相切,则a+b+ab的最大值为(　　)‎ A.1 B. - 1 C.‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎ D.‎2‎+1‎ ‎10.[2020湖南师大附中高三摸底测试]已知正项等比数列{an}满足a7 =a6+2a5,若存在两项am,an,使得am·an =16a‎1‎‎2‎,则‎1‎m‎+‎‎9‎n的最小值为　　　　. ‎ ‎11.[2020四川天府名校第一轮联考]已知实数a>b>c>0,若不等式‎1‎a - b‎+‎1‎b - c+‎kc - a≥0恒成立,则k的最大值是　　　　. ‎ ‎12.[2019湖南五市十校联考]已知正实数a,b,c满足a2-2ab+9b2-c =0,则当abc取最大值时,‎3‎a‎+‎1‎b-‎‎12‎c的最大值为　　　　. ‎ ‎13.已知函数f (x) =‎2‎x‎ - 1‎‎2‎x‎+1‎+x+sin x,若正实数a,b满足f (4a)+f (b-3) =0,则‎1‎a‎+‎‎1‎b的最小值为　　　　. ‎ ‎14.[2019湖南湘潭模拟]某单位有员工1 000名,平均每人每年创造利润10万元,为了增加企业竞争力,该单位决定优化产业结构,调整出x(x∈N*)名员工从事第三产业,调整后从事第三产业的员工平均每人每年创造的利润为10(a-0.8x%)(a>0)万元,剩余员工平均每人每年创造的利润可以提高0.4x%.‎ ‎(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润,则最多调整出多少名员工从事第三产业?‎ ‎(2)在保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润的条件下,若要求调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润,求a的取值范围.‎ 第三讲　基本不等式 ‎1.D　因为a>b>0,所以a+‎4‎a+b‎+‎1‎a - b=‎‎1‎‎2‎(a+b+‎8‎a+b+a - b+‎2‎a - b)≥‎(a+b)·‎‎8‎a+b‎+‎‎(a - b)·‎‎2‎a - b=2‎2‎‎+‎‎2‎=3‎2‎,当且仅当a+b=‎8‎a+b,‎a - b=‎2‎a - b,‎即a=‎3‎‎2‎‎2‎,‎b=‎‎2‎‎2‎时等号成立.故选D.‎ ‎2.B　因为a>0,b>0,ab=2,所以a+2b≥2‎2ab=4,当且仅当a=2b,‎ab=2,‎即a=2,‎b=1‎时取等号.故选B.‎ ‎3.D　∵不等式x2 - 4ax+3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2), ∴在方程x2 - 4ax+3a2=0中,由根与系数的关系知x1x2=3a2,x1+x2=4a,则x1+x2+ax‎1‎x‎2‎=4a+‎1‎‎3a. ∵a<0, ∴ - (4a+‎1‎‎3a)≥2‎4a×‎‎1‎‎3a‎=‎‎4‎‎3‎‎3‎,当且仅当4a=‎1‎‎3a,即a= - ‎3‎‎6‎时等号成立.∴4a+‎1‎‎3a≤ - ‎4‎‎3‎‎3‎,故x1+x2+ax‎1‎x‎2‎的最大值为 - ‎4‎‎3‎‎3‎.故选D.‎ ‎4.4　‎1‎‎2‎　因为x+y‎2‎=1,x>0,y>0,所以‎1‎x‎+‎‎2‎y=(‎1‎x‎+‎‎2‎y)(x+y‎2‎)=2+y‎2x‎+‎‎2xy≥2+2y‎2x‎×‎‎2xy=4,当且仅当y‎2x‎=‎‎2xy,即x=‎1‎‎2‎,y=1时等号成立,所以‎1‎x‎+‎‎2‎y的最小值为4,此时x=‎1‎‎2‎.‎ ‎5.[‎2‎‎6‎‎3‎,‎5‎‎3‎]　由(x+2y)(y+z)=4yz,得xy+2y2+xz=2yz,z=xy+2‎y‎2‎‎2y - x≤3x.又x,y,z为正数,所以2y - x>0,xy+2y2≤6xy - 3x2,所以3x2+2y2≤5xy.因为3x2+2y2≥2‎6‎xy,当且仅当‎3‎x=‎2‎y时等号成立,所以‎3x‎2‎+2‎y‎2‎‎3xy≤‎5xy‎3xy‎=‎‎5‎‎3‎,‎3x‎2‎+2‎y‎2‎‎3xy≥‎2‎6‎xy‎3xy‎=‎‎2‎‎6‎‎3‎,所以‎3x‎2‎+2‎y‎2‎‎3xy的取值范围为[‎2‎‎6‎‎3‎,‎5‎‎3‎].‎ ‎6.7　解法一　当x>‎5‎‎4‎时,y=4x+‎1‎‎4x - 5‎=4x - 5+‎1‎‎4x - 5‎+5≥2+5=7,当且仅当4x - 5=‎1‎‎4x - 5‎,即x=‎3‎‎2‎时取等号,故y=4x+‎1‎‎4x - 5‎的最小值为7.‎ 解法二　由题意得y' =4 - ‎4‎‎(4x - 5‎‎)‎‎2‎,x>‎5‎‎4‎.令y' =0,得x=‎3‎‎2‎.当‎5‎‎4‎‎3‎‎2‎时,y' >0,函数y=4x+‎1‎‎4x - 5‎单调递增.所以当x=‎3‎‎2‎时,函数y=4x+‎1‎‎4x - 5‎取得最小值,即ymin=4×‎3‎‎2‎‎+‎‎1‎‎4×‎3‎‎2‎ - 5‎=7.‎ ‎7.D　直线ax - by+2=0(a>0,b>0)经过圆x2+y2+2x - 4y+1=0的圆心,所以圆x2+y2+2x - 4y+1=0的圆心( - 1,2)在直线ax - by+2=0上,可得 - a - 2b+2=0,即a+2b=2,所以‎1‎a‎+‎1‎b=‎‎1‎‎2‎(a+2b)(‎1‎a‎+‎‎1‎b)=‎3‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎(‎2ba‎+‎ab)≥‎3‎‎2‎‎+‎2ba‎·‎ab=‎3‎‎2‎+‎‎2‎,当且仅当‎2ba‎=‎ab,即a=2‎2‎ - 2,b=2 - ‎2‎时等号成立,所以‎1‎a‎+‎‎1‎b的最小值为‎3‎‎2‎‎+‎‎2‎,故选D.‎ ‎8.A　由4a - 2b+25c=0,变形为4a+25c=2b.∵4a+25c≥2‎100ac,当且仅当4a=25c时等号成立,∴2b≥2‎100ac,即b2≥100ac.∴lg a+lg c - 2lg b=lgacb‎2‎≤lg 10 - 2= - 2,故选A.‎ ‎9.C　∵直线ax+by+1=0与圆x2+y2=1相切,∴圆心O(0,0)到直线ax+by+1=0的距离等于半径,即‎1‎a‎2‎‎+‎b‎2‎=1,∴a2+b2=1.易知a+b+ab的最大值一定在a>0,b>0时取得,∴a+b+ab=‎(a+b)‎‎2‎+ab=‎1+2ab+ab.令‎1+2ab=t,则ab=t‎2‎‎ - 1‎‎2‎.‎ ‎∵ab≤a‎2‎‎+‎b‎2‎‎2‎‎=‎‎1‎‎2‎(当且仅当a=b=‎2‎‎2‎时取“=”)且ab>0,‎ ‎∴10,由a7=a6+2a5,得a1q6=a1q5+2a1q4,即q2 - q - 2=0,解得q=2.‎ 由am·an=16a‎1‎‎2‎,得qm+n - 2=16,所以2m+n - 2=24,得m+n=6.‎ ‎1‎m‎+‎9‎n=‎m+n‎6‎‎(‎1‎m‎+‎‎9‎n)=‎1‎‎6‎(1+nm‎+‎‎9mn+9)≥‎10+2‎nm‎×‎‎9mn‎6‎‎=‎‎8‎‎3‎,‎ 当且仅当nm‎=‎9mn,‎m+n=6,‎即m=‎3‎‎2‎,‎n=‎‎9‎‎2‎时取等号,‎ 因为m,n为正整数,所以等号不成立,所以‎1‎m‎+‎9‎n>‎‎8‎‎3‎.‎ 验证可得当m=2,n=4时,‎1‎m‎+‎‎9‎n取得最小值,最小值为‎11‎‎4‎.‎ ‎11.4　因为a>b>c>0,所以a - b>0,b - c>0,a - c>0,由不等式‎1‎a - b‎+‎1‎b - c+‎kc - a≥0恒成立,得k≤a - ca - b‎+a - cb - c=a - b+b - ca - b+‎a - b+b - cb - c=1+b - ca - b+1+a - bb - c恒成立.因为b - ca - b‎+‎a - bb - c≥2b - ca - b‎·‎a - bb - c=2,当且仅当b - c=a - b时取等号,所以k的最大值是4.‎ ‎12.1　因为a2 - 2ab+9b2 - c=0,a2+9b2≥6ab,当且仅当a=3b时等号成立,所以6ab - 2ab - c≤0,即4ab≤c,所以abc≤‎1‎‎4‎,所以当abc取最大值时,c=12b2.所以‎3‎a‎+‎1‎b - ‎12‎c=‎2‎b - ‎‎1‎b‎2‎= - (‎1‎b - 1)2+1≤1,所以‎3‎a‎+‎1‎b - ‎‎12‎c的最大值为1.‎ ‎13.3　∵f (x)=‎2‎x‎ - 1‎‎2‎x‎+1‎+x+sin x,∴f ( - x)=‎2‎‎ - x‎ - 1‎‎2‎‎ - x‎+1‎ - x+sin( - x)=‎1 - ‎‎2‎x‎1+‎‎2‎x - x - sin x= - f (x),∴函数f (x)是R上的奇函数.易知f (x)=‎2‎x‎ - 1‎‎2‎x‎+1‎+x+sin x=1+x+sin x - ‎2‎‎2‎x‎+1‎在其定义域上是增函数.∵f (4a)+f (b - 3)=0,∴f (4a)= - f (b - 3)=f (3 - b),∴4a+b - 3=0,故4a+b=3.∵a>0,b>0,∴‎1‎a‎+‎1‎b=‎‎1‎‎3‎(‎1‎a‎+‎‎1‎b)·(4a+b)=‎1‎‎3‎(5+ba‎+‎‎4ab)≥‎1‎‎3‎(5+4)=3,当且仅当ba‎=‎‎4ab且4a+b=3,即a=‎1‎‎2‎,b=1时等号成立.‎ ‎14.(1)由题意得10(1 000 - x)(1+0.4x%)≥10×1 000,即x2 - 750x≤0,又x>0,所以00,所以0