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- 2021-06-16 发布
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第1讲 空间几何体的表面积、体积及有关量的计算
[做小题——激活思维]
1.一个球的表面积是16π,那么这个球的体积为( )
A.π B.π C.16π D.24π
B [设球的半径为R,则由4πR2=16π,解得R=2,所以这个球的体积为πR3=π.]
2.如图,已知正三棱柱ABCA1B1C1中,AB=,AA1=4,若点P从点A出发,沿着正三棱柱的表面,经过棱A1B1运动到点C1,则点P运动的最短路程为( )
A.5 B.
C.4 D.6
B [将三棱柱展开成如图的图形,让点C1与ABB1A1在同一平面内,C1D⊥AB交A1B1
于Q,则C1Q⊥A1B1,∴A1Q=AD=,
两点之间线段最短,故AC1即为所求的最短距离,
因为C1Q=A1C1×sin 60°=×=,所以C1D=+4=,AD=,
所以AC1===.]
3.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为________,体积为________.
28π 16π+π [由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体,设圆柱底面圆半径为r,周长为c,圆锥母线长为l,圆柱高为h.由图得r=2,c=2πr=4π,h=4,由勾股定理得:l==4,S表=πr2+ch+cl=4π+16π+8π=28π.V=V柱+V锥=16π+π.]
4.如图,正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2,侧棱长为,D为BC的中点,则三棱锥AB1DC1的体积为________.
1 [在正三棱柱ABCA1B1C1中,
∵AD⊥BC,AD⊥BB1,BB1∩BC=B,∴AD⊥平面B1DC1.
∴VAB1DC1=S△B1DC1·AD=××2××=1.]
5.已知一个圆台的下底面半径为3,高为2,当圆台的上底面半径r′变化时,圆台体积的变化范围是________.
(6π,18π) [V圆台=π(r2+rr′+r′2)h,0<r′<3.
当上底面面积为0时,圆台变为圆锥,V圆锥=πr2h=6π;
当r′=3时,圆台变为圆柱,V圆柱=πr2h=18π.
所以圆台体积的变化范围是.]
[扣要点——查缺补漏]
1.空间几何体的表面积与体积
(1)求三棱锥的体积时,等体积转化是常用的方法,转化原则是其高易求,底面放在已知几何体的某一面上,如T4.
(2)求不规则几何体的体积,常用分割或补形的思想,将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解.
(3)已知几何体的三视图,可去判断几何体的形状和各个度量,然后求解表面积和体积,如T3.
2.柱、锥、台之间的关系
3.多面体与球
(1)设球的半径为R,球的截面圆半径为r,球心到球的截面的距离为d,则有r=.
(2)当球内切于正方体时,球的直径等于正方体的棱长,当球外接于长方体时,长方体的体对角线长等于球的直径;当球与正方体各棱都相切时,球的直径等于正方体底面的对角线长.
(3)若正四面体的棱长为a,则正四面体的外接球半径为a,内切球半径为a.
空间几何体的三视图、展开图、截面图(5年2考)
[高考解读] 重点考查考生的识图能力和空间想象能力、考生对试题的研究必须经历从“识图”、“想图”到“构图”的过程,要通过观察、分析、想象、
判断、计算的逻辑思维才能求解,考查了考生的直观想象和逻辑推理的核心素养.
(2018·全国卷Ⅰ)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为( )
A.2 B.2 C.3 D.2
切入点:圆柱的三视图.
关键点:正确还原圆柱体并将侧面展开,找出M,N在侧面展开图中的位置.
B [设过点M的高与圆柱的下底面交于点O,将圆柱沿MO剪开,则M,N的位置如图所示,连接MN,易知OM=2,ON=4,则从M到N的最短路径为==2.]
[教师备选题]
1.(2018·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
C [由三视图得到空间几何体,如图所示,则PA⊥平面ABCD,平面ABCD为直角梯形,PA=AB=AD=2,BC
=1,所以PA⊥AD,PA⊥AB,PA⊥BC.又BC⊥AB,AB∩PA=A,所以BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB.在△PCD中,PD=2,PC=3,CD=,所以△PCD为锐角三角形.所以侧面中的直角三角形为△PAB,△PAD,△PBC,共3个.
故选C.]
2.(2015·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为( )
A.1 B. C. D.2
C [根据三视图,可知几何体的直观图为如图所示的四棱锥VABCD,其中VB⊥平面ABCD,且底面ABCD是边长为1的正方形,VB=1.所以四棱锥中最长棱为VD.连接BD,易知BD=,在Rt△VBD中,VD==.]
1.由三视图还原直观图需遵循以下3步
(1)看视图明关系;
(2)分部分想整体;
(3)合起来定整体.
2.解决空间几何体表面上两点间的最短路径问题的常用方法:把立体图形展为平面图形,利用两点之间线段最短进行求解.
1.(由三视图还原几何体)某四棱锥的三视图如图所示,其侧视图是等腰直角三角形,俯视图的轮廓是直角梯形,则该四棱锥的各侧面面积的最大值为( )
A.8 B.4 C.8 D.12
D [由三视图可知该几何体是一个底面为直角梯形,高为4的四棱锥,如图,其中侧棱PA⊥平面ABCD,PA=4,AB=4,BC=4,CD=6,所以AD=2,PD=6,PB=4,连接AC,则AC=4,所以PC=4,显然在各侧面面积中△PCD的面积最大,又PD=CD=6,所以PC边上的高为=2,所以S△PCD=×4×2=12,故该四棱锥的各侧面面积的最大值为12.故选D.]
2.(侧面展开图)如图,一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4 m,一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发,绕圆锥表面爬行一周后回到点P处.若该小虫爬行的最短路程为4 m,则圆锥底面圆的半径等于________m.
[把圆锥侧面沿过点P的母线展开成如图所示的扇形,
由题意OP=4,PP′=4,则cos∠POP′==-,所以∠POP′=.
设底面圆的半径为r,则2πr=×4,
所以r=.]
3.(截面问题)已知圆锥的底面直径为,母线长为1,过圆锥的顶点,作圆锥的截面,则截面面积的最大值为________.
[由于圆锥的底面直径为,母线长为1,设圆锥轴截面的顶角为α,则cos α==-.
又α∈(0,π),∴α=.因此截面面积的最大值为×1×1×sin =.]
空间几何体的表面积和体积(5年18考)
[高考解读] 空间几何体的表面积和体积是每年的必考内容,题型既有选择题也有解答题,以往多与三视图综合考查,由于新课标对三视图不作要求,对表面积和体积的考查也以单一考点的形式出现在高考试题中.
角度一:空间几何体的表面积
1.(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为( )
A.12π B.12π C.8π D.10π
切入点:过直线O1O2的平面截该圆柱所得的轴截面是面积为8的正方形.
关键点:找出圆柱的底面半径及母线的长.
B [因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,所以圆柱的高为2,底面圆的直径为2,所以该圆柱的表面积为2×π×()2+2π××2=12π.]
2.(2016·全国卷Ⅲ)如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的表面积为( )
A.18+36 B.54+18
C.90 D.81
切入点:多面体的三视图.
关键点:正确还原几何体.
B [由几何体的三视图可知,该几何体是底面为正方形的斜四棱柱.
由题意可知该几何体底面边长为3,高为6,所以侧棱长为=3.故该几何体的表面积S=32×2+(3×6)×2+(3×3)×2=54+18.]
角度二:空间几何体的体积
3.[一题多解](2017·全国卷Ⅱ)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( )
A.90π B.63π C.42π D.36π
切入点:三视图.
关键点:割补法求体积.
B [法一(割补法):如图所示,由几何体的三视图,可知该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得.
将圆柱补全,并将圆柱体从点A处水平分成上下两部分.由图可知,该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的,所以该几何体的体积V=π×32×4+π×32×6×=63π.
故选B.
法二(估值法):由题意,知V圆柱<V几何体<V圆柱.又V圆柱=π×32×10=90π,∴45π<V几何体<90π.观察选项可知只有63π符合.
故选B.]
4.(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践,利用3D打印技术制作模型.如图,该模型为长方体ABCDA1B1C1D1挖去四棱锥OEFGH后所得的几何体,其中O为长方体的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为________g.
切入点:E、F、G、H分别为所在棱的中点,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm.
关键点:正确求出四棱锥的体积.
118.8 [由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形,
对角线长分别为6 cm和4 cm,
故V挖去的四棱锥=××4×6×3=12(cm3).
又V长方体=6×6×4=144(cm3),
所以模型的体积为
V长方体-V挖去的四棱锥=144-12=132(cm3),
所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9=118.8(g).]
5.(2019·全国卷Ⅱ)如图,长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1.
(1)证明:BE⊥平面EB1C1;
(2)若AE=A1E,AB=3,求四棱锥EBB1C1C的体积.
切入点:ABCD为正方形,BE⊥EC1.
关键点:①线面垂直判定定理的应用;②正确求出四棱锥EBB1C1C的高.
[解] (1)证明:由已知得B1C1⊥平面ABB1A1,BE⊂平面ABB1A1,故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1,B1C1∩EC1=C1,
所以BE⊥平面EB1C1.
(2)由(1)知∠BEB1=90°.
由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E,
所以∠AEB=∠A1EB1=45°,
故AE=AB=3,AA1=2AE=6.
如图,作EF⊥BB1,垂足为F,则EF⊥平面BB1C1C,且EF=AB=3.
所以四棱锥EBB1C1C的体积
V=×3×6×3=18.
[教师备选题]
1.(2015·全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )
A. B.
C. D.
D [由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分,如图所示,截去部分是一个三棱锥.设正方体的棱长为1,则三棱锥的体积为
V1=××1×1×1=,
剩余部分的体积V2=13-=.
所以==,故选D.]
2.(2017·全国卷Ⅱ)如图,四棱锥PABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°.
(1)证明:直线BC∥平面PAD;
(2)若△PCD的面积为2,求四棱锥PABCD的体积.
[解] (1)证明:在平面ABCD内,因为∠BAD=∠ABC=90°,所以BC∥AD.又BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,故BC∥平面PAD.
(2)如图,取AD的中点M,连接PM,CM.由AB=BC=AD及BC∥AD,∠ABC=90°得四边形ABCM为正方形,则CM⊥AD.
因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以PM⊥AD,PM⊥底面ABCD.
因为CM⊂底面ABCD,所以PM⊥CM.
设BC=x,则CM=x,CD=x,PM=x,PC=PD=2x.
如图,取CD的中点N,连接PN,则PN⊥CD,
所以PN=x.
因为△PCD的面积为2,所以×x×x=2.
解得x=-2(舍去)或x=2.
于是AB=BC=2,AD=4,PM=2.
所以四棱锥PABCD的体积V=××2=4.
1.求几何体的表面积的方法
(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面图形问题,即空间图形平面化,这是解决立体几何的主要出发点.
(2)求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割成柱、锥、台体,先求这些柱、锥、台体的表面积,再通过求和或作差求得所给几何体的表面积.
2.求空间几何体体积的常用方法
公式法
直接根据常见柱、锥、台等规则几何体的体积公式计算
等积法
根据体积计算公式,通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易,或是求出一些体积比等
割补法
把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形,转化为可计算体积的几何体
1.(组合体的表面积)某几何体的三视图如图所示,其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧,则该几何体的表面积为________.
5π+16+2 [由三视图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体,三棱柱的两个侧面面积之和为2×4×2=16,两个底面面积之和为2××2×=2;半圆柱的侧面积为π×4=4π,两个底面面积之和为2××π×12=π,所以几何体的表面积为5π+16+2.]
2.(等体积转换)如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,已知AB=AA1=3,点P在棱CC1上,则三棱锥PABA1的体积为________.
[由题意,得V三棱锥PABA1=V三棱锥CABA1=V三棱锥A1ABC=S△ABC·AA1=××32×3=.]
球与几何体的切、接问题(5年5考)
[高考解读] 球与几何体的切、接问题是高考的常考考点,难度偏高,主要考查考生将空间问题转化为平面问题的能力,体现了考生的空间想象逻辑推理及数学运算的核心素养.
角度一:球与多面体的切、接问题
1.(2018·全国卷Ⅲ)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,
△ABC为等边三角形且其面积为9,则三棱锥DABC体积的最大值为( )
A.12 B.18 C.24 D.54
切入点:①△ABC为等边三角形;
②S△ABC=9.
关键点:求出△ABC的边长及点D到平面ABC的距离的最大值.
B [如图,E是AC中点,M是△ABC的重心,O为球心,连接BE,OM,OD,BO.因为S△ABC=AB2=9,所以AB=6,BM=BE==2.易知OM⊥平面ABC,所以在Rt△OBM中,OM==2,所以当D,O,M三点共线且DM=OD+OM时,三棱锥D-ABC的体积取得最大值,且最大值Vmax=S△ABC×(4+OM)=×9×6=18.故选B.
]
2.(2016·全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球,若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是( )
A.4π B. C.6π D.
切入点:①球在直三棱柱ABCA1B1C1的内部;
②AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3.
关键点:求出最大球的半径.
B [设球的半径为R,∵AB⊥BC,AB=6,BC=8,∴AC=10.
当球与直三棱柱的三个侧面相切时,有(6+8+10)×R=×6×8,此时R=2;
当球与直三棱柱两底面相切时,有2R=3,此时R=.
所以在封闭的直三棱柱中,球的最大半径只能为,故最大体积V=π3=.]
角度二:球与旋转体的切、接问题
3.(2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为( )
A.π B. C. D.
切入点:圆柱的两个底面在直径为2的同一个球的球面上.
关键点:确定圆柱底面圆的半径.
B [设圆柱的底面半径为r,球的半径为R,且R=1,由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知,r,R及圆柱的高的一半构成直角三角形.
∴r==.
∴圆柱的体积为V=πr2h=π×1=.
故选B.]
4.(2017·江苏高考)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是________.
切入点:球与圆柱相切.
关键点:确定内切球的半径.
[设球O的半径为R,
∵球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切,
∴圆柱O1O2的高为2R,底面半径为R.
∴==.]
[教师备选题]
1.(2015·全国卷Ⅱ)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90°,C
为该球面上的动点.若三棱锥OABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( )
A.36π B.64π C.144π D.256π
C [如图,设球的半径为R,∵∠AOB=90°,∴S△AOB=R2.
∵VOABC=VCAOB,而△AOB面积为定值,
∴当点C到平面AOB的距离最大时,VOABC最大,
∴当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时,体积VOABC最大为×R2×R=36,
∴R=6,∴球O的表面积为4πR2=4π×62=144π.故选C.]
2.(2017·全国卷Ⅰ)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥SABC的体积为9,则球O的表面积为________.
C [如图,连接OA,OB.
由SA=AC,SB=BC,SC为球O的直径,知OA⊥SC,OB⊥SC.
由平面SCA⊥平面SCB,平面SCA∩平面SCB=SC,OA⊥SC,知OA⊥平面SCB.
设球O的半径为r,则
OA=OB=r,SC=2r,
∴三棱锥SABC的体积
V=×·OA=,
即=9,∴r=3,∴S球表=4πr2=36π.]
解决与球有关的切、接问题的策略
(1)“接”的处理:
①构造正(长)方体,转化为正(长)方体的外接球问题.
②空间问题平面化,把平面问题转化到直角三角形中,作出适当截面(过球心,接点等).
③利用球心与截面圆心的连线垂直于截面定球心所在直线.
(2)“切”的处理:
①体积分割法求内切球半径.
②作出合适的截面(过球心,切点等),在平面上求解,
③多球相切问题,连接各球球心,转化为处理多面体问题.
1.(外接球)已知三棱锥PABC的所有顶点都在球O的球面上,PC是球O的直径.若平面PCA⊥平面PCB,PA=AC,PB=BC,三棱锥PABC的体积为a,则球O的体积为( )
A.2πa B.4πa C.πa D.πa
B [设球O的半径为R,因为PC为球O的直径,PA=AC,PB=BC,所以△PAC,△PBC均为等腰直角三角形,点O为PC的中点,连接AO,OB(图略),所以AO⊥PC,BO⊥PC,因为平面PCA⊥平面PCB,平面PCA∩平面PCB=PC,所以AO⊥平面PCB,所以V三棱锥PABC=·S△PBC·AO=××AO=××R=R3=a,所以球O的体积V=πR3=4πa.故选B.]
2.(内切球)四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为6的正方形,且PA=PB=PC=PD,若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切,则该四棱锥的高是 ( )
A.6 B.5 C. D.
D [过点P作PH⊥平面ABCD于点H.由题意知,四棱锥PABCD是正四棱锥,内切球的球心O应在四棱锥的高PH上.过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图,其中PE,PF是斜高,M为球面与侧面的一个切点.设PH=h,
易知Rt△PMO∽Rt△PHF,所以=,即=,解得h=(h=0舍去),故选D.]
3.(折叠问题)一张半径为1+的圆形包装纸,按照如图所示的实线裁剪,并按虚线折叠为各棱长都相等的四棱锥,折叠所成的四棱锥外接球的表面积为________.
8π [如图,连接OE,与AD交于I,
设正方形ABCD的边长为2x,则EI=x,
则x+x=1+,即x=1.
设外接球的球心为Q,半径为R,可得OC=,OP==,R2=(-R)2+()2.
∴R=,∴该四棱锥的外接球的表面积S=4πR2=8π.
故答案为8π.]