【数学】2020届一轮复习人教B版（理）第十三章66数学归纳法作业 6页

‎【课时训练】第66节　数学归纳法 一、选择题 ‎1．(2018德州模拟)用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，在验证n＝1时，左边计算所得的式子为(　　)‎ A．1 B．1＋2‎ C．1＋2＋22 D．1＋2＋22＋23‎ ‎【答案】D ‎【解析】当n＝1时，左边＝1＋2＋22＋23.‎ ‎2．(2018常德一模)数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an－an－1＝2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是(　　)‎ A．3n－2 B．n2‎ C．3n－1 D．4n－3‎ ‎【答案】B ‎【解析】计算出a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16.可猜想an＝n2.‎ ‎3．(2018沈阳调研)用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，利用归纳法假设证明n＝k＋1时，只需展开(　　)‎ A．(k＋3)3 B．(k＋2)3‎ C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3‎ ‎【答案】A ‎【解析】假设n＝k时，原式k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除，当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只须将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．‎ ‎4．(2018太原质检)平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为(　　)‎ A．n＋1 B．2n C. D．n2＋n＋1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；…；n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝个区域．‎ ‎5．(2018山东菏泽模拟)对于不等式＜n＋1(n∈N*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：‎ ‎(1)当n＝1时，＜1＋1，不等式成立．‎ ‎(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时，不等式成立．即＜k＋1，则当n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法　(　　)‎ A．过程全部正确 B．n＝1验得不正确 C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 ‎【答案】D ‎【解析】在n＝k＋1时，没用n＝k时的假设，不是数学归纳法．‎ ‎∴从n＝k到n＝k＋1的推理不正确．‎ 二、填空题 ‎6．(2018合肥检测)已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋＝2时，若已假设n＝k(k≥2，且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n＝________时等式成立．‎ ‎【答案】k＋2‎ ‎【解析】n＝k(k≥2，且k为偶数)的下一个偶数为k＋2，根据数学归纳法的步骤可知，应填k＋2.‎ ‎7．(2018淮北三校联考)设数列{an}的前n项和为Sn，‎ 且对任意的自然数n都有：2＝anSn，通过计算S1，S2，S3，猜想Sn＝________.‎ ‎【答案】 ‎【解析】由(S1－1)2＝S得：S1＝；由(S2－1)2＝(S2－S1)S2得：S2＝；由(S3－1)2＝(S3－S2)S3得：S3＝.猜想Sn＝.‎ ‎8．(2018三亚模拟)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上的项为________．‎ ‎【答案】(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2‎ ‎【解析】当n＝k时，左端为1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋k2，则当n＝k＋1时，左端为1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，故增加(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.‎ 三、解答题 ‎9．(2018秦皇岛模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1(n∈N*)．‎ ‎(1)求a1，a2的值；‎ ‎(2)猜想数列{Sn}的通项公式，并给出证明．‎ ‎(1)【解】当n＝1时，方程x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，‎ ‎∴(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝.‎ 当n＝2时，方程x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a1＋a2－1＝a2－，‎ ‎∴2－a2－a2＝0，解得a2＝.‎ ‎(2)【证明】由题意知(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式整理得 SnSn－1－2Sn＋1＝0，解得Sn＝.‎ 由(1)得S1＝a1＝，‎ S2＝a1＋a2＝＋＝.猜想Sn＝(n∈N*)．‎ 下面用数学归纳法证明这个结论．‎ ‎①当n＝1时，结论成立．‎ ‎②假设n＝k(k∈N*，k≥1)时结论成立，即Sk＝，‎ 当n＝k＋1时，Sk＋1＝＝＝.‎ 即当n＝k＋1时结论成立．‎ 由①②知Sn＝对任意的正整数n都成立．‎ ‎10．(2018长春三校联考)已知f(n)＝1＋＋＋＋…＋，g(n)＝－，n∈N*.‎ ‎(1)当n＝1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系；‎ ‎(2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．‎ ‎(1)【解析】当n＝1时，f(1)＝1，g(1)＝1，所以f(1)＝g(1)；‎ 当n＝2时，f(2)＝，g(2)＝，所以f(2)＜g(2)；‎ 当n＝3时，f(3)＝，g(3)＝，所以f(3)＜g(3)．‎ ‎(2)【证明】由(1)猜想f(n)≤g(n)，下面用数学归纳法给出证明．‎ ‎①当n＝1,2,3时，不等式显然成立．‎ ‎②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时不等式成立．‎ 即1＋＋＋＋…＋＜－，‎ 那么，当n＝k＋1时，‎ f(k＋1)＝f(k)＋＜－＋，‎ 因为－ ‎＝－＝＜0，‎ 所以f(k＋1)＜－＝g(k＋1)．‎ 由①②可知，对一切n∈N*，都有f(n)≤g(n)成立．‎ ‎11．(2018江苏南通模拟)数列{xn}满足x1＝0，xn＋1＝－x＋xn＋c(n∈N*)．‎ ‎(1)证明：{xn}是递减数列的充分必要条件是c＜0；‎ ‎(2)若0＜c≤，证明数列{xn}是递增数列．‎ ‎【证明】(1)充分性：若c＜0，由于xn＋1＝－x＋xn＋c≤xn＋c＜xn，‎ ‎∴数列{xn}是递减数列．‎ 必要性：若{xn}是递减数列，则x2＜x1，且x1＝0.‎ 又x2＝－x＋x1＋c＝c，∴c＜0.‎ 故{xn}是递减数列的充分必要条件是c＜0.‎ ‎(2)若0＜c≤，要证{xn}是递增数列．‎ 即xn＋1－xn＝－x＋c＞0，‎ 即证xn＜对任意n≥1成立．‎ 下面用数学归纳法证明：‎ 当0＜c≤时，xn＜对任意n≥1成立．‎ ‎①当n＝1时，x1＝0＜≤，结论成立．‎ ‎②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即xk＜.‎ 因为函数f(x)＝－x2＋x＋c在区间内单调递增，所以xk＋1＝f(xk)＜f()＝，‎ ‎∴当n＝k＋1时，xk＋1＜成立．‎ 由①②知，xn＜对任意n≥1，n∈N*成立．‎ 因此，xn＋1＝xn－x＋c＞xn，即{xn}是递增数列．‎