【数学】2020届一轮复习人教B版（文）第一章第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词作业 6页

‎1．命题“∃x0∈R，ln x0＋2x0≤0”的否定是(　　)‎ A．∀x∈R，ln x＋2x＜0‎ B．∀x∈R，ln x＋2x＞0‎ C．∃x0∈R，ln x0＋2x0＞0‎ D．∀x∈R，ln x＋2x≤0‎ 解析：选B．命题“∃x0∈R，ln x0＋2x0≤0”的否定是“∀x∈R，ln x＋2x＞0”，故选B．‎ ‎2．(2019·福州质检)已知命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则﹁p是(　　)‎ A．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0‎ B．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0‎ C．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0‎ D．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0‎ 解析：选C．已知全称命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则﹁p：∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0，故选C．‎ ‎3．(2019·东北三校联考(一))下列命题中是假命题的是　(　　)‎ A．∃x∈R，log2x＝0　　　 B．∃x∈R，cos x＝1‎ C．∀x∈R，x2＞0 D．∀x∈R，2x＞0‎ 解析：选C．因为log21＝0，cos 0＝1，所以选项A、B均为真命题，02＝0，选项C为假命题，2x＞0，选项D为真命题，故选C．‎ ‎4．命题p：甲的数学成绩不低于100分，命题q：乙的数学成绩低于100分，则p∨(﹁q)表示(　　)‎ A．甲、乙两人的数学成绩都低于100分 B．甲、乙两人至少有一人的数学成绩低于100分 C．甲、乙两人的数学成绩都不低于100分 D．甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分 解析：选D.由于命题q：乙的数学成绩低于100分，因此﹁q：乙的数学成绩不低于100分．所以p∨(﹁q)：甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分，故选D.‎ ‎5．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是(　　)‎ A．锐角三角形有一个内角是钝角 B．至少有一个实数x，使x2≤0‎ C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数x，>2‎ 解析：选B．A中锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题；B中当x＝0时，x2＝0，满足x2≤0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0不是无理数，所以C是假命题；D中对于任意一个负数x，都有<0，不满足>2，所以D是假命题．‎ ‎6．已知命题p：∃x∈R，log2(3x＋1)≤0，则(　　)‎ A．p是假命题；﹁p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0‎ B．p是假命题；﹁p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0‎ C．p是真命题；﹁p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0‎ D．p是真命题；﹁p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0‎ 解析：选B．因为3x>0，所以3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，所以p是假命题；﹁p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0.故选B．‎ ‎7．已知命题p：∀x＞0，ln(x＋1)＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2.下列命题为真命题的是(　　)‎ A．p∧q B．p∧﹁q C．﹁p∧q D．﹁p∧﹁q 解析：选B．因为∀x＞0，x＋1＞1，所以ln(x＋1)＞0，所以命题p为真命题；当b＜a＜0时，a2＜b2，故命题q为假命题，由真值表可知B正确，故选B．‎ ‎8．(2019·广州调研)设命题p：∀x<1，x2<1，命题q：∃x0>0，2x0>，则下列命题中是真命题的是(　　)‎ A．p∧q B．(﹁p)∧q C．p∧(﹁q) D．(﹁p)∧(﹁q)‎ 解析：选B.根据题意可得命题p是假命题，q是真命题，所以p∧q是假命题，(﹁p)∧q是真命题，p∧(﹁q)是假命题，(﹁p)∧(﹁q)是假命题，故选B.‎ ‎9．已知命题p：“x>3”是“x2>9”的充要条件，命题q：“a2>b2”是“a>b”的充要条件，则(　　)‎ A．p∨q为真 B．p∧q为真 C．p真q假 D．p∨q为假 解析：选D.由x>3能够得出x2>9，反之不成立，故命题p是假命题；由a2>b2可得|a|>|b|，但a不一定大于b，反之也不一定成立，故命题q是假命题．因此选D.‎ ‎10．若命题“∃x0∈R，x＋(a－1)x0＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．[－1，3] B．(－1，3)‎ C．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)‎ 解析：选D.因为命题“∃x0∈R，x＋(a－1)x0＋1<0”是真命题等价于x＋(a－1)x0＋1＝0有两个不等的实根，所以Δ＝(a－1)2－4>0，即a2－2a－3>0，解得a<－1或a>3，故选D.‎ ‎11．(2019·湖南湘东五校联考)下列说法中正确的是(　　)‎ A．“a>1，b>1”是“ab>1”成立的充分条件 B．命题p：∀x∈R，2x>0，则﹁p：∃x0∈R，2x0<0‎ C．命题“若a>b>0，则<”的逆命题是真命题 D．“a>b”是“a2>b2”成立的充分不必要条件 解析：选A.对于选项A，由a>1，b>1，易得ab>1，故A正确．对于选项B，全称命题的否定为特称命题，所以命题p：∀x∈R，2x>0的否定为﹁p：∃x0∈R，2x0≤0，故B错误．对于选项C，其逆命题：若<，则a>b>0，可举反例，如a＝－1，b＝1，显然为假命题，故C错误．对于选项D，由“a>b”并不能推出“a2>b2”，如a＝1，b＝－1，故D错误．故选A.‎ ‎12．已知命题p：∀x∈N*，()x≥()x，命题q：∃x∈N*，2x＋21－x＝2，则下列命题中为真命题的是(　　)‎ A．p∧q B．(﹁p)∧q C．p∧(﹁q) D．(﹁p)∧(﹁q)‎ 解析：选C．因为y＝xn(n为正整数)在(0，＋∞)上是增函数，又＞，所以∀x∈N*，()x≥()x成立，p为真命题；因为2x＞0，21－x＞0，所以2x＋21－x≥2＝2，当且仅当2x＝21－x，即x＝时等号成立，因为x＝∉N*，所以q为假命题，所以p∧(﹁q)为真命题．故选C．‎ ‎13．命题p的否定是“对所有正数x，＞x＋1”，则命题p可写为___________．‎ 解析：因为p是﹁p的否定，所以只需将全称量词变为特称量词，再对结论否定即可．‎ 答案：∃x0∈(0，＋∞)，≤x0＋1‎ ‎14．若“∀x∈，m≤tan x＋1”为真命题，则实数m的最大值为________．‎ 解析：由“∀x∈，m≤tan x＋1”为真命题，可得－1≤tan x≤1，‎ 所以0≤tan x＋1≤2，‎ 所以实数m的最大值为0.‎ 答案：0‎ ‎15．已知命题“∀x∈R，x2－5x＋a＞0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是________．‎ 解析：由“∀x∈R，x2－5x＋a＞0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x2－5x＋a＞0对任意实数x恒成立．‎ 设f(x)＝x2－5x＋a，则其图象恒在x轴的上方．‎ 故Δ＝25－4×a＜0，‎ 解得a＞，即实数a的取值范围为.‎ 答案： ‎16．下列结论：‎ ‎①若命题p：∃x0∈R，tan x0＝2；命题q：∀x∈R，x2－x＋>0，则命题“p∧(﹁q)”是假命题；‎ ‎②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3；‎ ‎③“设a，b∈R”，若ab≥2，则a2＋b2＞4”的否命题为：“设a，b∈R，若ab＜2，则a2＋b2≤4”．‎ 其中正确结论的序号为________．(把你认为正确结论的序号都填上)‎ 解析：在①中，命题p是真命题，命题q也是真命题，故“p∧( ﹁q)”是假命题是正确的．在②中，由l1⊥l2，得a＋3b＝0，所以②不正确．在③中“设a，b∈R，若ab≥2，则a2＋b2＞4”的否命题为“设a，b∈R，若ab＜2，则a2＋b2≤4”正确．‎ 答案：①③‎ ‎1．(2019·郑州第一次质量预测)下列说法正确的是(　　)‎ A．“若a>1，则a2>1”的否命题是“若a>1，则a2≤1”‎ B．“若am24x0成立 D．“若sin α≠，则α≠”是真命题 解析：选D.对于选项A，“若a>1，则a2>1”的否命题是“若a≤1，则a2≤1”，所以选项A错误；对于选项B，其逆命题为“若a3x0，‎ 故选项C错误；对于选项D，可考虑其逆否命题的真假，其逆否命题为“若α＝，则sin α＝”，是真命题，从而原命题为真命题．故选D.‎ ‎2．已知命题p：∃x∈R，x2＋1<2x；命题q：若mx2－mx＋1>0恒成立，则00恒成立，则m＝0或则0≤m<4，所以命题q为假，故选C．‎ ‎3．(2019·张掖第一次诊断)下列说法正确的是(　　)‎ A．若a∈R，则“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件 B．“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件 C．若命题p：“∀x∈R，sin x＋cos x≤”，则﹁p是真命题 D．命题“∃x0∈R，x＋2x0＋3＜0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋3＞0”‎ 解析：选A．由＜1，得a＜0或a＞1，反之，由a＞1，得＜1，所以“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件，故A正确；由p∧q为真命题，知p，q均为真命题，所以p∨q为真命题，反之，由p∨q为真命题，得p，q至少有一个为真命题，所以p∧q不一定为真命题，所以“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件，故B不正确；因为sin x＋cos x＝sin(x＋)≤，所以命题p为真命题，则﹁p是假命题，故C不正确；命题“∃x0∈R，x＋2x0＋3＜0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋3≥0”，故D不正确．‎ ‎4．已知命题p1：∀x∈(0，＋∞)，3x>2x，p2：∃θ∈R，sin θ＋cos θ＝，则在命题q1：p1∨p2；q2：p1∧p2；q3：(﹁p1)∨p2和q4：p1∧(﹁p2)中，真命题是________．‎ 解析：因为y＝在R上是增函数，即y＝>1在(0，＋∞)上恒成立，所以命题p1是真命题；sin θ＋cos θ＝sin(θ＋)≤，所以命题p2是假命题，﹁p2是真命题，所以命题q1：p1∨p2，q4：p1∧(﹁p2)是真命题．‎ 答案：q1，q4‎ ‎5．设命题p：函数y＝loga(x＋1)在区间(－1，＋∞)内单调递减，q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴有两个不同的交点．若p∧﹁q为真命题，求实数a的取值范围．‎ 解：函数y＝loga(x＋1)在区间(－1，＋∞)内单调递减⇔0＜a＜1，‎ 曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴有两个不同的交点⇔Δ＝(2a－3)2－4＞0⇔a＜或a＞.‎ 所以若p为真命题，则0＜a＜1；若q为真命题，则a＜或a＞.‎ 因为p∧﹁q为真命题，‎ 所以p为真命题，q为假命题．‎ 由，解得≤a＜1，‎ 所以实数a的取值范围是[，1)．‎ ‎6．设p：实数x满足x2－5ax＋4a2＜0(其中a＞0)，q：实数x满足2＜x≤5.‎ ‎(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；‎ ‎(2)若﹁q是﹁p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)当a＝1时，x2－5x＋4＜0，解得1＜x＜4.‎ 即p为真时，实数x的取值范围是1＜x＜4.‎ 若p∧q为真，则p真且q真，‎ 所以实数x的取值范围是(2，4)．‎ ‎(2)﹁q是﹁p的必要不充分条件，‎ 即p是q的必要不充分条件，‎ 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，‎ 则BA，由x2－5ax＋4a2＜0得(x－4a)(x－a)＜0，‎ 因为a＞0，所以A＝(a，4a)，‎ 又B＝(2，5]，则a≤2且4a＞5，解得＜a≤2.‎ 所以实数a的取值范围为.‎