【数学】2020届一轮复习人教B版坐标系与参数方程课时作业 7页

坐标系与参数方程 1．在极坐标系中，过点(2， π 2 )且与极轴平行的直线方程是(　　) A．ρ＝2 B．θ＝ π 2 C．ρcos θ＝2 D．ρsin θ＝2 解析　先将极坐标化成直角坐标表示，(2， π 2 )化为(0，2)，过(0，2)且平行于x 轴的直线为 y＝2，再化成 极坐标表示，即 ρsin θ＝2.故选 D. 答案　D 2．在直角坐标系 xOy 中，已知点 C(－3，－ 3)，若以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则点 C 的极坐标 (ρ，θ)(ρ>0，－π<θ<0)可写为________． 解析　依题意知，ρ＝2 3，θ＝－ 5π 6 . 答案　(2 3，－ 5π 6 ) 3．在直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C 的参数方程是Error!(α 为参数)，若以 O 为极点，x 轴的正半轴为极 轴，则曲线 C 的极坐标方程可写为________． 解析　依题意知，曲线 C：x2＋(y－1)2＝1， 即 x2＋y2－2y＝0， 所以(ρcosθ)2＋(ρsinθ)2－2ρsinθ＝0. 化简得 ρ＝2sinθ. 答案　ρ＝2sinθ 4．若曲线的极坐标方程为 ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系，则该 曲线的直角坐标方程为________． 解析　将 ρ＝2sinθ＋4cosθ 两边同乘以 ρ 得 ρ2＝2ρsinθ＋4ρcosθ， ∴曲线的直角坐标方程为 x2＋y2＝2y＋4x， 即 x2＋y2－4x－2y＝0. 答案　x2＋y2－4x－2y＝0 5．在极坐标系中，已知两点 A，B 的极坐标分别为(3， π 3 )，(4， π 6 )，则△AOB(其中 O 为极点)的面积为 ________． 解析　由题意得 S△AOB＝ 1 2×3×4×sin(π 3 － π 6 )＝ 1 2×3×4×sin π 6 ＝3. 答案　3 6．已知曲线 C：Error!(t 为参数)，C 在点(1,1)处的切线为 l.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系，则 l 的极坐标方程为________． 解析　曲线 C 的普通方程为 x2＋y2＝2，由圆的几何性质知，切线 l 与圆心(0,0)与(1,1)的连线垂直，故 l 的斜率为－1，从而 l 的方程为 y－1＝－(x－1)，即 x＋y＝2，化成极坐标方程为 ρcosθ＋ρsinθ＝2， 化简得 ρsin(θ＋ π 4 )＝ 2. 答案　ρsin(θ＋ π 4 )＝ 2 7．在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为{x＝ t， y＝2t (t 为参数)，以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴 为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ρcos θ－ρsin θ＋1＝0.则 l 与 C 的交点直角坐标为 ________． 解析　 曲线 C 的普通方程为 y＝2x2(x≥0)，直线 l 的直角坐标方程是 y＝x＋1，二者联立，求出交点坐 标． 答案　(1，2) 8．在极坐标系中，曲线 C1：ρ( 2cos θ＋sin θ)＝1 与曲线 C2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，则 a 的值为________． 答案　2 13．在平面直角坐标系下，曲线 C1：{x＝2t＋2a， y＝－t (t 为参数)， 曲线 C2：{x＝2sin θ， y＝1＋2cos θ(θ 为参数)，若曲线 C1，C2 有公共点，则实数 a 的取值范围是________． 解析　曲线 C1 的直角坐标方程为 x＋2y－2a＝0， 曲线 C2 的直角坐标方程为 x2＋(y－1)2＝4，圆心为(0，1)，半径为 2， 若曲线 C1，C2 有公共点， 则有圆心到直线的距离 |2－2a| 1＋22≤2， 即|a－1|≤ 5， ∴1－ 5≤a≤1＋ 5， 即实数 a 的取值范围是[1－ 5，1＋ 5]． 答案　[1－ 5，1＋ 5] 14．已知曲线 C 的参数方程为{x＝ 2cos t， y＝ 2sin t (t 为参数)，曲线 C 在点(1，1)处的切线为 l，以坐标原点 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则 l 的极坐标方程为________． 15．已知点 P(x，y)在曲线{x＝－2＋cos θ， y＝sin θ (θ 为参数，θ∈R)上，则 y x的取值范围是________． 解析　消去参数 θ 得曲线的标准方程为(x＋2)2＋y2＝1， 圆心为(－2，0)，半径为 1. 设 y x＝k，则直线 y＝kx， 即 kx－y＝0，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离 d＝ |－2k| k2＋1＝1， 即|2k|＝ k2＋1，平方得 4k2＝k2＋1，k2＝ 1 3，解得 k＝± 3 3 ， 由图形知 k 的取值范围是－ 3 3 ≤k≤ 3 3 ， 即 y x的取值范围是[－ 3 3 ， 3 3 ]. 答案　[－ 3 3 ， 3 3 ] 16．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程是{x＝2＋2cos θ， y＝2sin θ (θ 为参数)． (1)将 C1 的方程化为普通方程； (2)以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设曲线 C2 的极坐标方程是 θ＝ π 3 ，求曲线 C1 与 C2 的 交点的极坐标． 解　(1)C1 的普通方程为(x－2)2＋y2＝4. (2)设 C1 的圆心为 A，∵原点 O 在圆上， 设 C1 与 C2 相交于 O，B，取线段 OB 的中点 C， ∵直线 OB 倾斜角为 π 3 ，OA＝2， ∴OC＝1，从而 OB＝2， ∴O，B 的极坐标分别为 O(0，0)，B(2， π 3 ). 17．已知曲线 C1：{x＝－2＋cos t， y＝1＋sin t (t 为参数)，C2：{x＝4cos θ， y＝3sin θ (θ 为参数)． (1)化 C1，C2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)过曲线 C2 的左顶点且倾斜角为 π 4 的直线 l 交曲线 C1 于 A，B 两点，求|AB|的值． 18．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C：ρsin2θ＝2acos θ(a>0)，已知过点 P(－2，－4)的直线 l 的参数方程为：{x＝－2＋ 2 2 t， y＝－4＋ 2 2 t (t 为参数)，直线 l 与曲线 C 分 别交于 M，N 两点． (1)写出曲线 C 和直线 l 的普通方程； (2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求 a 的值． 解　(1)y2＝2ax，y＝x－2. (2)直线 l 的参数方程为{x＝－2＋ 2 2 t， y＝－4＋ 2 2 t (t 为参数)， 代入 y2＝2ax，得到 t2－2 2(4＋a)t＋8(4＋a)＝0，则有 t1＋t2＝2 2(4＋a)，t1·t2＝8(4＋a)， ∵|MN|2＝|PM|·|PN|， ∴(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1·t2＝t1·t2， 即 a2＋3a－4＝0.解得 a＝1 或 a＝－4(舍去)． 19．在直角坐标系 xOy 中，曲线 M 的参数方程为 Error!(α 为参数)，若以直角坐标系中的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 N 的极 坐标方程为 ρsin(θ＋ π 4 )＝ 2 2 t(t 为参数)． (1)求曲线 M 的普通方程和曲线 N 的直角坐标方程； (2)若直线 l 交 E 于点 A，B，且 OA⊥OB，求证： 1 |OA|2＋ 1 |OB|2为定值，并求出这个定值． 解　(1)将点 P (1， 2 3 3 )代入曲线 E 的方程， 得Error! 解得 a2＝3， 所以曲线 E 的普通方程为 x2 3 ＋ y2 2 ＝1， 极坐标方程为 ρ2(1 3cos2θ＋ 1 2sin2θ)＝1. (2)不妨设点 A，B 的极坐标分别为 A(ρ1，θ)，B(ρ2，θ＋ π 2 )，ρ1>0，ρ2>0， 则Error! 即Error! 所以 1 ρ21＋ 1 ρ22＝ 5 6，即 1 |OA|2＋ 1 |OB|2＝ 5 6， 所以 1 |OA|2＋ 1 |OB|2为定值 5 6. 29．已知在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，P 点的极坐标为(3， π 4 )， 曲线 C 的极坐标方程为 ρ＝2cos(θ－ π 4 )(θ 为参数)． (1)写出点 P 的直角坐标及曲线 C 的直角坐标方程； (2)若 Q 为曲线 C 上的动点，求 PQ 的中点 M 到直线 l：2ρcos θ＋4ρsin θ＝ 2的距离的最小值． 解　(1)点 P 的直角坐标为(3 2 2 ， 3 2 2 )， 由 ρ＝2cos(θ－ π 4 )， 得 ρ2＝ 2ρcos θ＋ 2ρsin θ，① 将 ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y 代入①， 可得曲线 C 的直角坐标方程为 (x－ 2 2 )2＋(y－ 2 2 )2＝1. (2)直线 2ρcos θ＋4ρsin θ＝ 2的直角坐标方程为 2x＋4y－ 2＝0， 设点 Q 的直角坐标为( 2 2 ＋cos θ， 2 2 ＋sin θ)， 则 M( 2＋ cos θ 2 ， 2＋ sin θ 2 )， ∴点 M 到直线 l 的距离 d＝ |2( 2＋ cos θ 2 )＋4( 2＋ sin θ 2 )－ 2| 22＋42 ＝ |5 2＋cos θ＋2sin θ| 2 5 ＝ 5 2＋ 5sinθ＋φ 2 5 ，其中 tan φ＝ 1 2. ∴d≥ 5 2－ 5 2 5 ＝ 10－1 2 (当且仅当 sin(θ＋φ)＝－1 时取等号)， ∴点 M 到直线 l：2ρcos θ＋4ρsin θ＝ 2的距离的最小值为 10－1 2 . 30．已知 α∈[0，π)，在直角坐标系 xOy 中，直线 l1 的参数方程为Error!(t 为参数)；在以坐标原点 O 为 极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线 l2 的极坐标方程为 ρcos(θ－α)＝2sin(α＋ π 6 )(θ 为参 数)． (1)求证：l1⊥l2； (2)设点 A 的极坐标为(2， π 3 )，P 为直线 l1，l2 的交点，求|OP||AP|的最大值． (2)解　当 ρ＝2，θ＝ π 3 时， ρcos(θ－α)＝2cos(π 3 －α)＝2sin(α＋ π 6 )， 所以点 A (2， π 3 )在直线 ρcos(θ－α)＝2sin (α＋ π 6 )上． 设点 P 到直线 OA 的距离为 d，由 l1⊥l2 可知，d 的最大值为 |OA| 2 ＝1. 于是|OP||AP|＝d·|OA|＝2d≤2， 所以|OP||AP|的最大值为 2.