数学北师大版（2019）必修第二册：1-7-3 正切函数的图象与性质 学案与作业 10页

7.3 正切函数的图象与性质 (15 分钟 30 分) 1.(2020·青岛高一检测)与函数 y=tan 的图象不相交的一条 直线是( ) A.x= B.x=- C.x= D.x= 【解析】选 D.当 x= 时,2x+ = ,而 的正切值不存在,所以直线 x= 与 函数 y=tan 的图象不相交. 2.已知函数:①y=tan x;②y=sin ;③y= ;④y= ,其中周 期为π,且在 上单调递增的是 ( ) A.①② B.①③ C.①②③ D.①③④ 【解析】选 B.对于①,y=tan x 周期为π,由正切函数的图象可得在 上单调递增,所以①正确; 对于②,y=sin 为偶函数,根据图象判断它不是周期函数,所以②不 正确; 对于③,由于函数 y= 周期为 ·2π=π,利用正弦函数的图象可 得在 上单调递增,故③正确; 对于④,y= 的周期为π,利用余弦函数的图象可得在 上单 调递减,故④不正确. 3.下列关于函数 y=tan 的说法正确的是 ( ) A.在区间 上单调递增 B.最小正周期是π C.图象关于点 成中心对称 D.图象关于直线 x= 成轴对称 【解析】选 B.kπ- 0)的图象相邻两支的交点 的距离为______. 【解析】直线 y=a 与函数 y=tan ωx 的图象相邻两支的交点的距离正 好是一个周期. 答案: 6.(2020·宁波高一检测)函数 y=lg 的定义域为 ________. 【解析】由题可知 -tan x>0,所以 tan x< . 所以- +kπ0,f =tan =tan <0, 所以 f >f ,故 D 不正确. 3.(2020·北京高一检测)已知函数 f(x)=-2tan(2x+φ), , 其函数图象的一个对称中心是 ,则该函数的一个单调递减区间 是( ) A. B. C. D. 【解析】选 D.因为 是函数的对称中心,所以 2× +φ= (k∈Z), 解得φ= - (k∈Z),因为 0<φ< ,所以φ= ,f(x)=-2tan , 令- +kπ<2x+ < +kπ(k∈Z), 解得- + b>c B.aa>c D.btan 2>tan(5-π). 二、多选题(每小题 5 分,共 10 分,全部选对得 5 分,选对但不全的得 3 分,有选错的得 0 分) 5.下列说法错误的是 ( ) A.y=sin x 在第一象限是增函数 B.y=cos 的最小正周期为 2π C.y=tan x 是增函数 D.y=tan x 的所有对称中心坐标为 ,k∈Z 【解析】选 ACD.由于 390°>30°,且都是第一象限角,sin 390°=sin 30°= ,故函数 y=sin x 在第一象限不是增函数,故 A 不正确. y=cos =cos x 其最小正周期为 2π,故 B 正确; y=tan x 的单调递增区间为 ,k∈Z,故 C 不正确; 由于函数 y=tan x 的图象的对称中心是 ,k∈Z,故 D 不正确. 6.下列函数中,周期为π,且在 上为增函数的是 ( ) A.y=tan B.y=tan C.y=cos D.y=sin 【解析】选AC.对于A选项,函数 y=tan 的周期为π,且在 上为增函数,符合题意,故 A 选项正确.对于 B 选项,函数 y=tan 的周期为 ,不合题意,故 B 选项错误.对于 C 选项,函数 y=cos =sin 2x 的周期为π,且在 上为增函数,符合题意, 故 C 选项正确. 对于 D 选项,函数 y=sin =cos 2x 在 上为减函数,不符 合题意,故 D 选项错误. 三、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 7.函数 y=tan 的单调递增区间为______. 【解析】令- +kπ< x+ < +kπ,k∈Z,解得-5+6k0 且 tan x>1,由 sin x>0 得 x∈ ,k∈Z. 由 tan x>1 得 x∈ ,k∈Z. 因为 ∩ = ,k∈Z, 所以原函数的定义域为 ,k∈Z. 答案: ,k∈Z 四、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.已知函数 f = . (1)求函数 f 的定义域; (2)用定义判断函数 f 的奇偶性; (3)在 上作出函数 f 的图象. 【解析】(1)由 cos x≠0,得 x≠kπ+ (k∈Z), 所以函数 f 的定义域是 . (2)由(1)知函数 f 的定义域关于原点对称, 因为 f = = =-f , 所以 f 是奇函数. (3)f = 所以 f 在 上的图象如图所示, 10.(2020·上海高一检测)求下列函数的值域: (1)y= ,x∈ ; (2)y=tan2x+3tan x-1,x∈ . 【解析】(1)因为 y= ,x∈ , 所以 tan x∈ ,令 t=tan x,则 t∈ , 所以 y= =-1+ , 因为 t∈ ,所以 t-1∈ , ∈ , ∈ ,-1+ ∈ , 即 y∈ . (2)因为 y=tan2x+3tan x-1,x∈ , 所以 tan x∈ ,令 m=tan x,m∈ , 所以 y=f =m2+3m-1= - , 所以 f 在 上单调递增,在 上单调递 减,f =- ,f =3,f =2-3 , 所以 f ∈ . 即函数的值域为 . 设函数 f(x)=tan(ωx+φ) ,已知函数 y=f(x)的 图象与 x 轴相邻两个交点的距离为 ,且图象关于点 M 对称. (1)求 f(x)的解析式; (2)求 f(x)的单调区间; (3)求不等式-1≤f(x)≤ 的解集. 【解析】(1)由题意知,函数 f 的最小正周期为 T= ,即 T= = .因为 ω>0,所以ω=2, 从而 f =tan . 因为函数 y=f 的图象关于点 M 对称,所以 2× +φ= ,k∈Z, 即φ= + ,k∈Z. 因为 0<φ< ,所以φ= , 故 f =tan . (2)令- +kπ<2x+ < +kπ,k∈Z, 解得- +