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- 2021-06-16 发布
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第2讲 数列求和与综合问题
[做小题——激活思维]
1.若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1,则数列{an}的前n项和为( )
A.2n+n2-1 B.2n+1+n2-1
C.2n+1+n2-2 D.2n+n-2
C [Sn=+=2n+1-2+n2.]
2.已知数列{an}的通项公式是an=(-1)n·(3n-2),则a1+a2+…+a10等于( )
A.15 B.12
C.-12 D.-15
A [∵an=(-1)n(3n-2),∴a1+a2+…+a10=-1+4-7+10-…-25+28=(-1+4)+(-7+10)+…+(-25+28)=3×5=15.]
3.若数列的前n项和为,则n的值为( )
A.9 B.10
C.11 D.12
B [∵==-,
∴Sn=++…+=1-=,
由=可知n=10.故选B.]
4.[一题多解]+++…+等于( )
A. B.
C. D.
B [法一:(错位相减法)令Sn=+++…+, ①
则Sn=++…++, ②
①-②,得Sn=+++…+-=-.
∴Sn=.故选B.
法二:(验证法)取n=1时,=,代入各选项验证可知选B.]
5.已知Sn是数列{an}的前n项和,且有Sn=n2+1,则数列{an}的通项公式an=________.
[当n=1时,a1=S1=1+1=2,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+1)-[(n-1)2+1]=2n-1.此时对于n=1不成立,故an=]
6.数列{an}中,a1=-60,an+1=an+3,则|a1|+|a2|+…+|a30|=________.
765 [由a1=-60,an+1=an+3可得an=3n-63,则a21=0,|a1|+|a2|+…+|a30|=-(a1+a2+…+a20)+(a21+…+a30)=S30-2S20=765.]
[扣要点——查缺补漏]
1.分组求和:形如{an±bn}的数列求和,如T1.
2.并项求和:形如an=(-1)nf(n)的数列求和,如T2.
3.裂项相消求和:
形如,其中{an}是等差数列的求和.如T3.
4.错位相减法求和:
形如{an·bn}的数列求和,其中{an},{bn}分别为等差和等比两个不同的数列,如T4.
5.含绝对值的数列求和:先去绝对值,再求和,如T6.
6.数列的通项的求法
(1)利用an=求通项时,要注意检验n=1的情况.如T5.
(2)根据数列的递推关系求通项的常用方法
①累加法:适用于形如an+1=an+f(n)的数列;
②累乘法:适用于形如=f(n)的数列;
③构造法:形如an+1=,可转化为-=,构造等差数列;
形如an+1=pan+q(pq≠0,且p≠1),可转化为an+1+=p,构造等比数列.
数列中的an与Sn的关系(5年3考)
[高考解读] 高考对本点的考查常以an=Sn-Sn-1(n≥2)为切入点,结合等差(比)数列的相关知识求an或Sn.预测2020年会以数列an与Sn的递推关系为载体,加强转化构造能力的考查.
1.(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=________.
-63 [因为Sn=2an+1,所以当n=1时,a1=2a1+1,解得a1=-1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an+1-(2an-1+1),所以an=2an-1,所以数列{an}是以-1为首项,2为公比的等比数列,所以an=-2n-1,所以S6==-63.]
2.(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=________.
- [∵an+1=Sn+1-Sn,an+1=SnSn+1,
∴Sn+1-Sn=SnSn+1.
∵Sn≠0,∴-=1,即-=-1.
又=-1,∴是首项为-1,公差为-1的等差数列.
∴=-1+(n-1)×(-1)=-n,∴Sn=-.]
3.(2013·全国卷Ⅰ)若数列{an}的前n项和Sn=an+,则{an}的通项公式是an=________.
(-2)n-1 [当n=1时,S1=a1+,∴a1=1.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an+-=(an-an-1),
∴an=-2an-1,即=-2,
∴{an}是以1为首项的等比数列,其公比为-2,
∴an=1×(-2)n-1,即an=(-2)n-1.]
由Sn与an的关系求an的思路
利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为an的递推关系,再求其通项公式;或者转化为Sn的递推关系,先求出Sn与n之间的关系,再求an.
提醒:在利用an=Sn-Sn-1(n≥2)求通项公式时,务必验证n=1时的情形,看其是否可以与n≥2的表达式合并.
1.(用累加或累乘法求通项)已知数列{an}中,a1=1,前n项和Sn=an,则an=________.
[∵Sn=an,且a1=1,
∴当n=2时,a1+a2=a2,即a2=3a1=3.
又当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=an-an-1,
即an=an-1.
∴an=···…··a1
=···…·××1=.]
2.(用构造法求通项)数列{an}中,a1=1,an+1=Sn+3n(n∈N*,n≥1),则数列{Sn}的通项公式为________.
Sn=3n-2n [∵an+1=Sn+3n=Sn+1-Sn,
∴Sn+1=2Sn+3n,
∴=·+,
∴-1=,
又-1=-1=-,
∴数列是首项为-,公比为的等比数列,
∴-1=-×=-,
∴Sn=3n-2n.]
3.(活用前n项和的定义求通项)数列{an}满足a1+a2+a3+…+an=2n+1,则数列{an}的通项公式为________.
an= [因为a1+a2+a3+…+an=2n+1,
所以a1+a2+a3+…+an-1=2(n-1)+1,
两式相减得an=2,
即an=2n+1,n≥2.
又a1=3,
所以a1=6,
因此an=]
求数列{an}的前n项和(5年3考)
[高考解读] 试题常以递推关系为载体,通过构造或借助等差(比)数列的基本运算,运用方程思想求得an或Sn,再借助裂项法(或分组求和法等)求数列的前n项和,试题难易适中,面向全体,注重双基.预测2020年高考命题风格不变.
[重视题](2015·全国卷Ⅰ)Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0,a+2an=4Sn+3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和.
[解](1)由a+2an=4Sn+3,可知
a+2an+1=4Sn+1+3.
两式相减可得a-a+2(an+1-an)=4an+1,
即2(an+1+an)=a-a=(an+1+an)(an+1-an).
由于an>0,可得an+1-an=2.
又a+2a1=4a1+3,解得a1=-1(舍去)或a1=3.
所以{an}是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为an=2n+1.
(2)由an=2n+1可知
bn===.
设数列{bn}的前n项和为Tn,则
Tn=b1+b2+…+bn
=
==.
[点评] 重视an与Sn关系
条件中是an与Sn关系,根据an与Sn关系式的特点,可以an向Sn转化也可以Sn向an转化,利用的都是在n≥2时,an=Sn-Sn-1,转化后往往构造特殊数列,用到累加、累乘等,从而求出通项.
[教师备选题]
(2016·全国卷Ⅱ)Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28.记bn=[lg an],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg 99]=1.
(1)求b1,b11,b101;
(2)求数列{bn}的前1 000项和.
[解](1)设{an}的公差为d,据已知有7+21d=28,解得d=1.所以{an}的通项公式为an=n.
b1=[lg 1]=0,b11=[lg 11]=1,b101=[lg 101]=2.
(2)因为bn=
所以数列{bn}的前1 000项和为1×90+2×900+3×1=1 893.
数列求和的注意事项
(1)分组求和法求和时,当数列的各项是正负交替时,一般需要对项数n进行讨论.
(2)裂项相消法的关键在于准确裂项,使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等,把握相消后所剩式子的结构,前面剩几项,后面剩几项.
(3)错位相减法中,两式做减法后所得式子的项数及对应项之间的关系,求和时注意数列是否为等比数列或是从第几项开始为等比数列.
1.(与对数函数交汇考查分组求和)已知数列{an}为等比数列,首项a1=4,数列{bn}满足bn=log2an,且b1+b2+b3=12.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令cn=+an,求数列{cn}的前n项和Sn.
[解](1)由bn=log2an和b1+b2+b3=12得
log2(a1a2a3)=12,
∴a1a2a3=212.
设等比数列{an}的公比为q,
∵a1=4,∴a1a2a3=4·4q·4q2=26·q3=212,
计算得q=4.
∴an=4·4n-1=4n.
(2)由(1)得bn=log24n=2n,
cn=+4n=+4n=-+4n.
设数列的前n项和为An,则An=1-+-+…+-=,
设数列{4n}的前n项和为Bn,则Bn==(4n-1),
∴Sn=+(4n-1).
2.(错位相减法求和)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=5,nSn+1-(n+1)Sn=n2+n.
(1)求证:数列为等差数列;
(2)令bn=2nan,求数列{bn}的前n项和Tn.
[解](1)证明:由nSn+1-(n+1)Sn=n2+n得-=1,又=5,所以数列是首项为5,公差为1的等差数列.
(2)由(1)可知=5+(n-1)=n+4,所以Sn=n2+4n,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+4n-(n-1)2-4(n-1)=2n+3.
又a1=5也符合上式,所以an=2n+3(n∈N*),
所以bn=(2n+3)2n,
所以Tn=5×2+7×22+9×23+…+(2n+3)2n, ①
2Tn=5×22+7×23+9×24+…+(2n+1)2n+(2n+3)2n+1, ②
所以②-①得
Tn=(2n+3)2n+1-10-(23+24+…+2n+1)
=(2n+3)2n+1-10-=(2n+3)2n+1-10-(2n+2-8)=(2n+1)2n+1-2.
3.(含有(-1)nan的并项求和)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,S3+S4=S5.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=(-1)n-1anan+1,求数列{bn}的前2n项和T2n.
[解](1)设等差数列{an}的公差为d,
由S3+S4=S5,可得a1+a2+a3=a5,
即3a2=a5,故3(1+d)=1+4d,解得d=2.
∴an=1+(n-1)×2=2n-1.
(2)由(1)可得bn=(-1)n-1·(2n-1)·(2n+1)
=(-1)n-1·(4n2-1).
∴T2n=(4×12-1)-(4×22-1)+(4×32-1)-(4×42-1)+…+(-1)2n-1·[4×(2n)2-1]
=4[12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2]
=-4(1+2+3+4+…+2n-1+2n)
=-4×
=-8n2-4n.
数列中的创新与交汇问题
[高考解读] 应用性问题是数学命题的一个新动向,主要考查考生运用已知知识解决实际问题的能力,试题背景新颖,有较好的区分度.
1.(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )
A.1盏 B.3盏
C.5盏 D.9盏
B [设塔的顶层的灯数为a1,七层塔的总灯数为S7,公比为q,则由题意知S7=381,q=2,
∴S7===381,解得a1=3.
故选B.]
2.(2017·全国卷Ⅰ)
几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N:N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( )
A.440 B.330
C.220 D.110
A [设首项为第1组,接下来的两项为第2组,再接下来的三项为第3组,依此类推,则第n组的项数为n,前n组的项数和为.
由题意知,N>100,令>100⇒n≥14且n∈N*,即N出现在第13组之后.
第n组的各项和为=2n-1,前n组所有项的和为-n=2n+1-2-n.
设N是第n+1组的第k项,若要使前N项和为2的整数幂,则第n+1组的前k项的和2k-1应与-2-n互为相反数,即2k-1=2+n(k∈N*,n≥14),k=log2(n+3)⇒n最小为29,此时k=5,则N=+5=440.故选A.]
[教师备选题]
(2016·全国卷Ⅲ)定义“规范01数列”{an}如下:{an}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,ak中0的个数不少于1的个数.若m=4,则不同的“规范01数列”共有( )
A.18个 B.16个
C.14个 D.12个
C [由题意知:当m=4时,“规范01数列”共含有8项,其中4项为0,4项为1,且必有a1=0,a8=1.不考虑限制条件“对任意k≤2m,a1,a2,…,ak中0的个数不少于1的个数”,则中间6个数的情况共有C=20(种),其中存在k≤2m,a1,a2,…,ak中0的个数少于1的个数的情况有:①若a2=a3=1,则有C=4(种);②若a2=1,a3=0,则a4=1,a5=1,只有1种;③若a2=0,则a3
=a4=a5=1,只有1种.综上,不同的“规范01数列”共有20-6=14(种).
故共有14个.故选C.]
与数列有关的综合问题求解策略
(1)对于新信息情境下的数列问题,在读懂题意的前提下,要弄清所考查的问题与哪个知识点有关,在此基础上,借助相关知识寻找求解线索.
(2)以数列为背景的不等式恒成立问题,多为不等式恒成立与证明和形式的不等式,在求解时要注意等价转化即分离参数法与放缩法的技巧,同时也要注意数列或数列对应函数的单调性的应用.
1.(与函数交汇)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数,且满足f=f(x),f(-2)=-3,数列{an}满足a1=-1,且Sn=2an+n(Sn为{an}的前n项和),则f(a5)+f(a6)=( )
A.3 B.4
C.5 D.6
A [∵Sn=2an+n,
∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1+1,
即an=2an-1-1,
又a1=-1,∴a2=-3,a3=-7,a4=-15,a5=-31,a6=-63.
由f=f(x),得f=-f(x)⇒f(x-3)=f(x),f(x)=f(x+3),∴f(-31)=f(-33+2)=f(2)=3,f(-63)=f(0)=0,
∴f(a5)+f(a6)=f(-31)+f(-63)=3.]
2.(数列与数学文化)“斐波那契数列”由13世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契发现,因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称该数列为“兔子数列”.斐波那契数列{an}满足:a1=1,a2=1,an=an-1+an-2(n≥3,n∈N*),记其前n项和为Sn,设a2 018=t(t为常数),则S2 016+S2 015-S2 014-S2 013=________.(用t表示)
t [由题意可得S2 016+S2 015-S2 014-S2 013=a2 016+a2 015+a2 015+a2 014=a2 017+a2 016=a2 018=t.]
3.[重视题](数列与数学归纳法)(2019·浙江高考)设等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=4,a4=S3.数列{bn}满足:对每个n∈N*,Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比数列.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)记cn=,n∈N*,
证明:c1+c2+…+cn<2,n∈N*.
[解](1)设数列{an}的公差为d,
由题意得
解得a1=0,d=2,∴an=2n-2,n∈N*.
∴Sn=n2-n,n∈N*.
∵数列{bn}满足:对每个 n∈N*,Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比数列,
∴(Sn+1+bn)2=(Sn+bn)(Sn+2+bn),
解得bn=(S-SnSn+2),
解得bn=n2+n,n∈N*.
(2)证明:cn===,n∈N*,
用数学归纳法证明:
①当n=1时,c1=0<2,不等式成立;
②假设当n=k(k∈N*)时不等式成立,
即c1+c2+…+ck<2,
那么当n=k+1时,
c1+c2+…+ck+ck+1<2+<2+<2+=2+2(-)=2,
即当n=k+1时,不等式也成立.
由①②得c1+c2+…+cn<2,n∈N*.