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- 2021-06-16 发布
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课时作业3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
[基础达标]
一、选择题
1．[2019·郑州质量预测]命题“∀x∈[1,2]，x2－3x＋2≤0”的否定为( )
A．∀x∈[1,2]，x2－3x＋2>0
B．∀x∉[1,2]，x2－3x＋2>0
C．∃x0∈[1,2]，x－3x0＋2>0
D．∃x0∉[1,2]，x－3x0＋2>0
解析：由全称命题的否定的定义知，命题“∀x∈[1,2]，x2－3x＋2≤0”的否定为“∃x0∈[1,2]，x－3x0＋2>0”，故选C.
答案：C
2．下列命题中为真命题的是( )
A．∀x∈R，x2>0 B．∀x∈R，－10，故C错．
答案：D
3．[2019·山西太原模拟]已知命题p：∃x0∈R，x－x0＋1≥0；命题q：若a，则下列命题中为真命题的是( )
A．p∧q B．p∧(綈q)
C．(綈p)∧q D．(綈p)∧(綈q)
解析：由题意知命题p为真命题，命题q为假命题，所以p∧(綈
q)为真命题．故选B.
答案：B
4．[2019·合肥质量检测]命题p：∀a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数解，则綈p为( )
A．∃a<0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数解
B．∃a<0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0没有实数解
C．∃a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0没有实数解
D．∃a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数解
解析：根据全称命题的否定可知，綈p为∃a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0没有实数解，选C.
答案：C
5．[2019·益阳市，湘潭市调研]已知命题p：若复数z满足(z－i)(－i)＝5，则z＝6i，命题q：复数的虚部为－i，则下面为真命题的是( )
A．(綈p)∧(綈q) B．(綈p)∧q
C．p∧(綈q) D．p∧q
解析：由已知可得，复数z满足(z－i)(－i)＝5，所以z＝＋i＝6i，所以命题p为真命题；复数＝＝，其虚部为－，故命题q为假命题，命题綈q为真命题．所以p∧(綈q)为真命题，故选C.
答案：C
6．[2019·天津联考]下列命题中真命题的个数是( )
①若p∧q是假命题，则p，q都是假命题；②命题“∀x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“∃x0∈R，x－x＋1>0”；③若p：x≤1，q：<1，则綈p是q的充分不必要条件．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：本题考查逻辑联结词、命题的否定、充要条件的判定．对于①，若p∧q为假命题，则p，q至少有一个是假命题，但不一定p，q都是假命题，①为假命题；对于②，命题“∀x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“∃x0∈R，x－x＋1>0”，②为真命题；对于③，綈p为x>1，由<1得x<0或x>1，所以綈p是q的充分不必要条件，③为真命题，故选C.
根据相关知识逐一判断各命题的真假性是解题的关键．
答案：C
7．[2019·东北联考]已知命题p：函数y＝lg(1－x)在(－∞，1)上单调递减，命题q：函数y＝2cosx是偶函数，则下列命题中为真命题的是( )
A．p∧q B．(綈p)∨(綈q)
C．(綈p)∧q D．p∧(綈q)
解析：本题考查命题真假的判定．命题p中，因为函数u＝1－x在(－∞，1)上为减函数，所以函数y＝lg(1－x)在(－∞，1)上为减函数，所以p是真命题；命题q中，设f(x)＝2cosx，则f(－x)＝2cos(－x)＝2cosx＝f(x)，x∈R，所以函数y＝2cosx是偶函数，所以q是真命题，所以p∧q是真命题，故选A.
答案：A
8．[2019·沧州联考]已知命题p：∀x∈R,2x<3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是( )
A．p∧q B．(綈p)∧q
C．p∧(綈q) D．(綈p)∧綈q
解析：由题意可判断p：∀x∈R,2x<3x为假命题；q：∃x∈R，x3＝1－x2为真命题，由复合命题的真假性可知(綈p)∧q为真，故选B.
答案：B
9．[2019·湖南联考]已知命题“∃x∈R,4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，0) B．[0,4]
C．[4，＋∞) D．(0,4)
解析：因为命题“∃x∈R,4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，所以否定形式为“∀x∈R,4x2＋(a－2)x＋>0”是真命题，则Δ＝(a－2)2－4×4×＝a2－4a<0，解得00,2x－a>0.若“綈p”和“p∧q”都是假命题，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
B．(－2,1]
C．(1,2)
D．(1，＋∞)
解析：方程x2＋ax＋1＝0无实根等价于Δ＝a2－4<0，即－20,2x－a>0等价于a<2x在(0，＋∞)上恒成立，即a≤1.
因“綈p”是假命题，则p是真命题，又因“p∧q”是假命题，则q是假命题，∴得1lgx0；命题q：∀x∈R，－x2＋x－1<0.给出下列结论：
①命题“p∧q”是真命题；
②命题“p∧(綈q)”是假命题；
③命题“(綈p)∨q”是真命题；
④命题“p∨(綈q)”是假命题．
其中所有正确结论的序号为________．
解析：对于命题p，取x＝10，则有10－2>lg10成立，故命题p为真命题；对于命题q，方程－x2＋x－1＝0，即x2－x＋1＝0，Δ＝1－4×1<0，故方程无解，所以命题q为真命题，综上“p∧q”是真命题，“p∧(綈q)”是假命题，“(綈p)∨q”是真命题，“p∨(綈q)”是真命题，即正确的结论为①②③.
答案：①②③
14．若“∀x∈，m≤tanx＋1”为真命题，则实数m的最大值为________．
解析： 由“∀x∈，m≤tanx＋1”为真命题，可得－1≤tanx≤1，
所以0≤tanx＋1≤2，所以实数m的最大值为0.
答案：0
[能力挑战]
15．[2019·福州质检]已知函数f(x)＝.命题p1：y＝f(x)的图象关于点(1,1)中心对称，命题p2：若a0，当x>2或x<0时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(0,2)上单调递增，在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递减，所以命题p2是假命题，綈p2是真命题．所以p1∨p2，p1∧(綈p2)是真命题，故选B.
优解 因为f(2－x)＝＝，所以f(x)＋f(2－x)＝＝2，所以y＝f(x)的图象关于点(1,1)中心对称，所以命题p1是真命题，綈p1是假命题．因为f(－2)＝，f(－1)＝，所以f(－2)>f(－1)，所以命题p2是假命题，綈p2是真命题，所以p1∨p2，p1∧(綈p2)是真命题，故选B.
答案：B
16．命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0，对一切x∈R恒成立；命题q：函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，若p或q为真，p且q
为假，则实数q的取值范围为________．
解析：p为真：Δ＝4a2－16<0，解得－21，解得a<1.
∵p或q为真，p且q为假，∴p，q一真一假．
当p真q假时，⇒1≤a<2；
当p假q真时，⇒a≤－2.
∴a的取值范围为(－∞，－2]∪[1,2)．
答案：(－∞，－2]∪[1,2)
17．已知命题p：∃x0∈R，ax＋x0＋≤0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是________．
解析：因为命题p是假命题，所以綈p为真命题，即∀x∈R，ax2＋x＋>0恒成立．当a＝0时，x>－，不满足题意；当a≠0时，要使不等式恒成立，则有即解得所以a>，即实数a的取值范围是.
答案：
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