【数学】2020届一轮复习（理）通用版考点测试58二项式定理作业 9页

考点测试58　二项式定理 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 高考概览 考纲研读 会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 一、基础小题 ‎1．(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是(　　)‎ A．C B．C C．C D．(－1)m－‎1C 答案　D 解析　(x－y)n展开式中第m项的系数为C(－1)m－1．‎ ‎2．若x3＋n的展开式的所有二项式系数之和为128，则n＝(　　)‎ A．5 B．‎6 C．7 D．8‎ 答案　C 解析　由2n＝128得n＝7．故选C．‎ ‎3．4的展开式中的常数项为(　　)‎ A．－24 B．－‎6 C．6 D．24‎ 答案　D 解析　二项展开式的通项Tr＋1＝C(2x)4－rr＝C24－r(－1)r·x4－2r，令4－2r＝0，即r＝2，故常数项为C22(－1)2＝24．故选D．‎ ‎4．若二项式n的展开式中第5项是常数项，则自然数n的值可能为(　　)‎ A．6 B．‎10 C．12 D．15‎ 答案　C 解析　二项式n的展开式的第5项为 T5＝C()n－4·4，故－4＝0，即n＝12．故选C．‎ ‎5．在x2＋5的展开式中x的系数为(　　)‎ A．5 B．‎10 C．20 D．40‎ 答案　B 解析　Tr＋1＝Cx2(5－r)x－r＝Cx10－3r，令10－3r＝1，得r＝3，故T4＝Cx＝10x，所以x的系数为10．故选B．‎ ‎6．x－2y5的展开式中x2y3的系数是(　　)‎ A．－20 B．－‎4 C．5 D．20‎ 答案　A 解析　x－2y5的展开式的通项Tr＋1＝‎ Cx5－r·(－2y)r＝C·5－r·(－2)r·x5－r·yr．当r＝3时，x2y3的系数为C×2×(－2)3＝－20．故选A．‎ ‎7．把(1－x)9的展开式按x的升幂排列，若第m项的系数最大，则m的值为(　　)‎ A．5 B．‎4 C．4或5 D．5或6‎ 答案　A 解析　(1－x)9展开式中第r＋1项的系数为C(－1)r，易知当r＝4时，系数最大，即第5项系数最大．‎ ‎8．在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是(　　)‎ A．74 B．‎121 C．－74 D．－121‎ 答案　D 解析　展开式中含x3项的系数为C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＋C(－1)3＝－121．‎ ‎9．设m为正整数，(x＋y)‎2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)‎2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若‎13a＝7b，则m＝(　　)‎ A．8 B．‎7 C．6 D．5‎ 答案　C 解析　由已知条件可得因为‎13a＝7b，所以‎13C＝‎7C，可得：‎ ‎13× ‎＝7× 即得13＝7×，解得m＝6．故选C．‎ ‎10．设a∈Z，且0≤a<15，若519＋a能被13整除，则a＝(　　)‎ A．0 B．‎1 C．12 D．14‎ 答案　D 解析　519＋a＝(52－1)9＋a＝C×529－C×528＋…＋C×52－1＋a被13整除余a－1，结合选项可得a＝14时，519＋a能被13整除．‎ ‎11．已知(x＋2)n的展开式共有5项，则展开式中的第4项为________．(系数部分用数字作答)‎ 答案　32x 解析　由展开式共有5项可知n＝4，所以展开式中的第4项为C·x·23＝32x．‎ ‎12．(x2－x＋1)10的展开式中x3的系数为________．‎ 答案　－210‎ 解析　解法一：(x2－x＋1)10＝[x2－(x－1)]10＝C(x2)10－C(x2)9(x－1)＋…－C(x2)(x－1)9＋C(x－1)10，所以x3的系数为－CC＋C(－C)＝－210．‎ 解法二：(x2－x＋1)10＝[1＋(x2－x)]10的展开式的通项公式为Tr＋1＝C(x2－x)r，‎ 对于(x2－x)r，通项公式为Tm＋1＝C·x2r－‎2m·(－x)m，‎ 令2r－‎2m＋m＝3，根据0≤m≤r，r，m为自然数，求得或 ‎∴(x2－x＋1)10展开式中x3项的系数为 CC·(－1)＋CC·(－1)3＝－90－120＝－210．‎ 二、高考小题 ‎13．(2018·全国卷Ⅲ)5的展开式中x4的系数为(　　)‎ A．10 B．‎20 C．40 D．80‎ 答案　C 解析　由题可得Tr＋1＝C(x2)5－rr＝C·2r·x10－3r．令10－3r＝4，则r＝2，所以C·2r＝C×22＝40，故选C．‎ ‎14．(2017·全国卷Ⅰ)1＋(1＋x)6展开式中x2的系数为(　　)‎ A．15 B．‎20 C．30 D．35‎ 答案　C 解析　因为(1＋x)6的通项为Cxr，所以1＋(1＋x)6展开式中含x2的项为1·Cx2和·Cx4．‎ 因为C＋C＝‎2C＝2×＝30，所以1＋(1＋x)6展开式中x2的系数为30．故选C．‎ ‎15．(2017·全国卷Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)‎ A．－80 B．－‎40 C．40 D．80‎ 答案　C 解析　因为x3y3＝x·(x2y3)，其系数为－C·22＝－40，x3y3＝y·(x3y2)，其系数为C·23＝80．所以x3y3的系数为80－40＝40．故选C．‎ ‎16．(2018·浙江高考)二项式＋8的展开式的常数项是________．‎ 答案　7‎ 解析　＋8的展开式的通项Tk＋1＝Cx·k·x－k＝C·x，要使Tk＋1为常数，则＝0，∴k＝2，此时T3＝×C＝7，故展开式的常数项为7．‎ ‎17．(2018·天津高考)在x－5的展开式中，x2的系数为________．‎ 答案　 解析　由题意得Tr＋1＝Cx5－r－r＝－r·Cx5－r，令5－＝2，得r＝2，所以－rC＝－‎2C＝．故x2的系数为．‎ ‎18．(2017·浙江高考)已知多项式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，则a4＝________，a5＝________．‎ 答案　16　4‎ 解析　a4是x项的系数，由二项式的展开式得a4＝C·C·2＋C·C·22＝16；a5是常数项，由二项式的展开式得a5＝C·C·22＝4．‎ 三、模拟小题 ‎19．(2019·山东滨州模拟)(2－x)n的展开式中所有二项式系数和为64，则x3的系数为(　　)‎ A．－160 B．－‎20 C．20 D．160‎ 答案　A 解析　由(2－x)n的展开式中所有二项式系数和为64，得2n＝64，即n＝6．(2－x)6的通项为Tr＋1＝C·26－r·(－x)r＝(－1)r·C·26－r·xr，取r＝3，可得x3的系数为(－1)3·C·23＝－160．故选A．‎ ‎20．(2018·山东烟台模拟)已知x3＋n的展开式的各项系数和为243，则展开式中x7的系数为(　　)‎ A．5 B．‎40 C．20 D．10‎ 答案　B 解析　由x3＋n的展开式的各项系数和为243，得3n＝243，即n＝5，∴x3＋‎ eq f(2,x)n＝x3＋5，则Tr＋1＝C·(x3)5－r·r＝2r·C·x15－4r，令15－4r＝7，得r＝2，∴展开式中x7的系数为22×C＝40．故选B．‎ ‎21．(2018·河南信阳二模)(x2＋1)－25的展开式的常数项是(　　)‎ A．5 B．－‎10 C．－32 D．－42‎ 答案　D 解析　由于－25的通项为C·5－r·(－2)r＝C(－2)r·x，故(x2＋1)·－25的展开式的常数项是C·(－2)＋C(－2)5＝－42．故选D．‎ ‎22．(2018·山东枣庄二模)若(x2－a)x＋10的展开式中x6的系数为30，则a等于(　　)‎ A． B． C．1 D．2‎ 答案　D 解析　x＋10展开式的通项公式为Tr＋1＝C·x10－r·r＝C·x10－2r，令10－2r＝4，解得r＝3，所以x4项的系数为C；令10－2r＝6，解得r＝2，所以x6项的系数为C，所以(x2－a)x＋10的展开式中x6的系数为C－aC＝30，解得a＝2．故选D．‎ ‎23．(2018·河北邯郸二模)在x＋n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则x3的系数为(　　)‎ A．15 B．‎45 C．135 D．405‎ 答案　C 解析　令x＋n中x为1，得各项系数和为4n，又展开式的各项的二项式系数和为2n，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64，∴＝64，解得n＝6，∴二项式的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·3r·x6－r，令6－r＝3，求得r＝2，故展开式中x3的系数为C·32＝135．故选C．‎ ‎24．(2018·福州一模)若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝(　　)‎ A．284 B．‎356 C．364 D．378‎ 答案　C 解析　令x＝0，则a0＝1；‎ 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a12＝36；①‎ 令x＝－1，则a0－a1＋a2－…＋a12＝1．②‎ ‎①②两式左右分别相加，得2(a0＋a2＋…＋a12)＝36＋1＝730，所以a0＋a2＋…＋a12＝365，又a0＝1，所以a2＋a4＋…＋a12＝364．故选C．‎ ‎25．(2018·广东肇庆三模)已知(1－ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝(　　)‎ A．1 B．‎2 C．－1 D．－2‎ 答案　A 解析　解法一：(1－ax)(1＋x)5＝(1－ax)(1＋5x＋10x2＋10x3＋5x4＋x5)，其展开式中x2的系数为10－‎5a＝5，解得a＝1．故选A．‎ 解法二：展开式中含x2的项为Cx2＋(－ax)Cx＝10x2－5ax2＝(10－‎5a)x2，∴展开式中x2的系数为10－‎5a＝5，∴a＝1．‎ ‎26．(2018·湖南湘潭三模)若(1＋x)(1－2x)8＝a0＋a1x＋…＋a9x9，x∈R，则a1·2＋a2·22＋…＋a9·29的值为(　　)‎ A．29 B．29－‎1 C．39 D．39－1‎ 答案　D 解析　(1＋x)(1－2x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，令x＝0，得a0＝1；令x＝2，得a0＋a1·2＋a2·22＋…＋a9·29＝39，∴a1·2＋a2·22＋…＋a9·29＝39－1．故选D．‎ ‎27．(2018·广东广州一模)已知二项式2x2－n的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含项的系数是(　　)‎ A．－84 B．－‎14 C．14 D．84‎ 答案　A 解析　由二项式2x2－n的展开式中所有二项式系数的和是128，得2n＝128，即n＝7，∴2x2－n＝2x2－7，则Tr＋1＝C·(2x2)7－r·－r＝(－1)r·27－r·C·x14－3r．令14－3r＝－1，得r＝5．∴展开式中含项的系数是－4×C＝－84．故选A．‎ ‎28．(2018·湖南长沙四县联考)8的展开式中的有理项共有________项．‎ 答案　3‎ 解析　8的展开式的通项为Tr＋1＝‎ C()8－rr＝rCx(r＝0，1，2，…，8)，为使Tr＋1为有理项，r必须是4的倍数，所以r＝0，4，8，故共有3个有理项．‎ ‎29．(2018·福州质检)若n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为________．‎ 答案　56‎ 解析　因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相等，即C＝C，所以n＝8，所以展开式的通项为Tk＋1＝Cx8－kk＝Cx8－2k，令8－2k＝－2，解得k＝5，所以T6＝C2，所以的系数为C＝56．‎ ‎30．(2018·甘肃会宁月考)1－‎90C＋‎902C－‎903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋‎9010C除以88的余数是________．‎ 答案　1‎ 解析　1－‎90C＋‎902C－‎903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋‎9010C＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C889＋…＋C88＋1．∵前10项均能被88整除，∴余数是1．‎ 本考点在近三年高考中未涉及此题型．‎