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- 2021-06-16 发布
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3.2
对数函数
y=log
2
x
的图象和性质
必备知识
·
自主学习
函数
y=log
2
x
的性质
(1)
函数
y=log
2
x
在定义域
(0
，
+∞)
上是
___
函数
,
且值域为
__;
(2)
若
x>1,
则
y__0;
若
x=1,
则
y=0;
若
0
y<0
【
思考
】
(1)
类比函数
y=log
2
x
的性质
,
函数
y=
有什么样的性质
?
提示
:
=-
lo
g
2
x,
函数
y=
在定义域
(0,+∞)
上是减函数
,
且值域为
R.
(2)
函数
y=log
2
x
与函数
y=2
x
的定义域、值域之间有什么关系
?
提示
:
函数
y=
lo
g
2
x
的定义域是函数
y=2
x
的值域
;
函数
y=
lo
g
2
x
的值域是函数
y=2
x
的定义域
.
【
基础小测
】
1.
辨析记忆
(
对的打“√”
,
错的打“
×”)
(1)
函数
y=log
2
x
的图象都在
y
轴的左侧
. (
)
(2)
函数
y=
在定义域
(0
，
+∞)
上是增函数
. (
)
(3)
函数
y=log
2
x
的图象在直线
x=1
右侧
,
图象位于
x
轴上方
;
在直线
x=1
左侧
,
图象位于
x
轴下方
. (
)
提示
:
(1)×.
函数
y=log
2
x
的图象都在
y
轴的右侧
.
(2)×.
函数
y=
在定义域
(
0
，
+∞
)
上是减函数
.
(3) √.
由函数
y=log
2
x
的图象可知正确
.
2.(
教材二次开发
:
例题改编
)
函数
y=log
a
x
的图象如图所示
,
则
a
的值可以
是
(
)
A.
B.2
C.e
D.10
【
解析
】
选
A.y=
lo
g
a
x
的图象是下降的
,
故
a
可以是
.
3.
已知函数
y=g(x)
的图象与函数
y=log
2
x
的图象关于直线
y=x
对称
,
则
g(2)
的值
为
(
)
A.9
B.1
C.
D.4
【
解析
】
选
D.y=g(x)
与
y=log
2
x
互为反函数
,
故
g(x)=2
x
,
故
g(2)=2
2
=4.
关键能力
·
合作学习
类型一 比较两个数的大小
(
逻辑推理
)
【
题组训练
】
比较下列各组数的大小
.
(1)log
2
3.2,log
2
3.8;
(2)
(3)
【
解析
】
(1)
因为函数
y=log
2
x
在定义域
(
0
，
+∞
)
上是增函数
,
且
3.2<3.8,
所以
log
2
3.2 3.6.
【
解题策略
】
关于对数大小的比较
(1)
对于底数相同的数
,
首先考查所涉及的函数的单调性
,
再比较真数的大小
,
最后利用单调性比较两个数的大小
;
(2)
对于底数不同的数
,
可以借助换底公式化同底
,
再比较大小
.
【
补偿训练
】
比较下列各组数的大小
.
【
解析
】
(1)
因为函数
y=log
5
x
在定义域
(
0
，
+∞
)
上是增函数
,
且
6< ,
所以
log
5
61.2,
所以
2.1< 1.2.
类型二 函数
y=log
2
x
的图象
(
直观想象
)
【
典例
】
作出函数
y=|log
2
x|+2
的图象
,
并根据图象写出函数的单调区间及值域
.
【
思路导引
】
先作出
y=log
2
x
的图象
,
再变换得到函数
y=|log
2
x|+2
的图象
.
【
解析
】
先作出函数
y=log
2
x
的图象
,
如图甲
.
再将
y=log
2
x
在
x
轴下方的图象关于
x
轴对称翻折到
x
轴上方
(
原来在
x
轴上方的图象不变
),
得函数
y=|log
2
x|
的图象
,
如图乙
;
然后将
y=|log
2
x|
的图象向上平移
2
个单位长度
,
得函数
y=|log
2
x|+2
的图象
,
如图丙
.
由图丙得函数
y=|log
2
x|+2
的单调递增区间是
[1,+∞),
单调递减区间是
(0,1),
值域是
[2,+∞).
【
解题策略
】
利用函数
y=log
2
x
的图象
,
可以得到函数
y=log
2
(
－
x)
，
y=|log
2
x|
，
y=log
2
|x|
等常见的函数图象
,
要熟悉这些函数的图象
,
并加以推广
.
【
跟踪训练
】
求函数
y=f(x)=log
2
|x|
的定义域
,
并画出它的图象并写出单调区间
.
【
解析
】
函数的定义域为
{x|x≠0,x∈R}.
因为
所以函数
y=log
2
|x|
为偶函数
.
所以函数的图象关于
y
轴对称
,
结合函数
y=log
2
x
的图象
,
可得函数
y=log
2
|x|
的图象如图所示
.
单调增区间为
(
0
，
+∞
);
单调减区间为
(
－∞，
0
).
类型三 函数
y=log
2
x
的性质应用
(
数学抽象、逻辑推理
)
角度
1
解不等式
【
典例
】
使不等式
log
2
2x>log
2
(5x
－
3)
成立的实数
x
的集合为
.
【
思路导引
】
利用函数
y=log
2
x
的单调性列不等式组求解
.
【
解析
】
因为函数
y=log
2
x
是
(
0
，
+∞
)
上的增函数
,
所以 解得
log
2
(
5x
－
3
)
成立的实数
x
的集合为
答案
:
【
变式探究
】
1.
将本例中不等式中对数的底数变为
,
则实数
x
的范围是
.
【
解析
】
因为函数
y= x
是
(
0
，
+∞
)
上的减函数
,
所以 解得
x>1.
所以使不等式
2x> (
5x
－
3
)
成立的实数
x
的集合为
{
x|x>1}.
答案
:
{x|x>1}
2.
将本例的不等式变为
log
2
(2
－
3x)<-2,
则实数
x
的取值范围是
.
【
解析
】
不等式变为
log
2
(
2
－
3x
)-1
成立的实数
x
的集合为
.
【
解析
】
不等式
log
2
(
2x
－
1
)>-1
变为
log
2
(
2x
－
1
)>log
2
,
因为函数
y=log
2
x
在
(
0
，
+∞
)
上是增函数
,
所以
2x-1> ,
解得
x> .
答案
:
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