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- 2021-06-09 发布
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3.5.3 对数函数的图像和性质
[A 基础达标]
1.若lg(2x-4)≤1,则x的取值范围是( )
A.(-∞,7] B.(2,7]
C.[7,+∞) D.(2,+∞)
解析:选B.因为lg(2x-4)≤1,所以0<2x-4≤10,解得2<x≤7,所以x的取值范围是(2,7],故选B.
2.设a=lg e,b=(lg e)2,c=lg,则( )
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>a>b D.c>b>a
解析:选B.因为0<lg e<1,所以(lg e)2<lg e,故a>b.因为lg =lg e=lg ·lg e>lg e·lg e=(lg e)2,所以c>b,故a>c>b.
3.已知函数f(x)=的定义域为(0,10],则实数a的值为( )
A.0 B.10
C.1 D.
解析:选C.由已知,得a-lg x≥0的解集为(0,10],由a-lg x≥0,得lg x≤a,又当0<x≤10时,lg x≤1,所以a=1,故选C.
4.若函数f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a,则a的值为( )
A. B.
C.2 D.4
解析:选B.当a>1时,a+loga2+1=a,loga2=-1,a=,与a>1矛盾;当0<a<1时,1+a+loga2=a,loga2=-1,a=.
5.已知a>1,b<-1,则函数y=loga(x-b)的图像不经过( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:选D.因为a>1,所以函数y=loga(x-b)(b<-1)的图像就是把函数y=logax的图像向左平移|b|个单位长度,如图.由图可知函数y=loga(x-b)不经过第四象限,所以选D.
5
6.已知在R上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=x3+lg x,则其解析式为f(x)=________.
解析:当x<0时,-x>0,f(-x)=(-x)3+lg(-x)=-x3+lg(-x),又因为f(x)为奇函数,所以当x<0时,f(x)=x3-lg(-x).因为在R上f(x)为奇函数,所以可得f(0)=0,故f(x)=
答案:
7.已知定义在实数集R上的偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是增加的,若f(1)<f(lg x),则x的取值范围是________.
解析:因为f(x)是R上的偶函数且在[0,+∞)上是递增的,
所以f(x)在(-∞,0]上是递减的,
又因为f(1)<f(lg x),所以|lg x|>1,即lg x>1或lg x<-1,可得x>10或0<x<,所以x∈∪(10,+∞).
答案:∪(10,+∞)
8.已知函数f(x)=2+log3x(1≤x≤9),则函数g(x)=f2(x)+f(x2)的最大值为________,最小值为________.
解析:由题意可得:可得x∈[1,3],故g(x)的定义域为[1,3].
g(x)=f2(x)+f(x2)=(log3x)2+6log3x+6,
令t=log3x,t∈[0,1],得g(t)=t2+6t+6,故当t=0时,g(t)取最小值g(0)=6,当t=1时,g(t)取最大值g(1)=13.
答案:13 6
9.判断函数f(x)=lg(-x)的奇偶性.
解:法一:由-x>0,得x∈R,
故f(x)的定义域为R,关于原点对称.
因为f(-x)=lg(+x),
f(x)=lg(-x),
所以f(-x)+f(x)
5
=lg(+x)+lg(-x)
=lg[(+x)(-x)]
=lg[(x2+1)-x2]=lg 1=0.
所以f(-x)=-f(x).所以f(x)是奇函数.
法二:由-x>0,得x∈R.
故f(x)的定义域为R,关于原点对称.
因为f(-x)=lg(+x)
=lg=lg
=lg(-x)-1=-lg(-x)
=-f(x),
所以f(x)是奇函数.
10.已知f(x)=loga(a-ax)(a>1).
(1)求f(x)的定义域、值域;
(2)判断f(x)的单调性并证明.
解:(1)要使函数有意义,须满足a-ax>0,即ax<a.
因为a>1,所以x<1,从而定义域为(-∞,1).
又因为ax>0,且当x<1时,ax<a,所以0<ax<a,
所以0<a-ax<a,
所以loga(a-ax)<logaa=1,
所以函数的值域为(-∞,1).
(2)设x1<x2<1,
因为a>1,所以ax1<ax2<a,-ax1>-ax2>-a.
所以a-ax1>a-ax2>0,所以0<<1.
所以f(x2)-f(x1)=loga(a-ax2)-loga(a-ax1)
=loga<loga1=0.
所以f(x2)<f(x1).
所以函数f(x)=loga(a-ax)在(-∞,1)上是减函数.
[B 能力提升]
1.若定义运算ab=则函数f(x)=log2xlogx的值域是( )
A.[0,+∞) B.(0,1]
C.[1,+∞) D.R
5
解析:选A.当log2x≥logx,即x≥1时,f(x)=log2x,此时f(x)≥0.
当log2x<logx,即0<x<1时,
f(x)=logx,此时f(x)>0.
综上:f(x)≥0,即值域为[0,+∞).
2.已知函数f(x)=loga(x+1)(a>0,且a≠1)的定义域和值域都是[0,1],则a的值是________.
解析:因为函数f(x)在区间[0,1]上单调,所以只需将区间端点值代入,
依题意得f(0)=loga1=0,f(1)=loga2,
因为函数f(x)的值域为[0,1],
必有loga2=1,所以a=2.
答案:2
3.已知f(x)=log4(4x-1).
(1)求f(x)的定义域;
(2)讨论f(x)的单调性;
(3)求f(x)在区间上的值域.
解:(1)由4x-1>0,解得x>0,
因此f(x)的定义域为(0,+∞).
(2)设0<x1<x2,则0<4x1-1<4x2-1,
因此log4(4x1-1)<log4(4x2-1),
即f(x1)<f(x2),
故f(x)在(0,+∞)上是递增的.
(3)因为f(x)在区间上是递增的,
又f=0,f(2)=log415,
因此f(x)在上的值域为[0,log415].
4.(选做题)设a>0,且a≠1,函数f(x)=loga|ax2-x|在[3,4]上是增函数,求a的取值范围.
解:
5
令u(x)=|ax2-x|,则y=logau,所以u(x)的图像如图所示.
当a>1时,由复合函数的单调性可知,区间[3,4]落在或上,所以4≤或<3,故有a>1.
当0<a<1时,由复合函数的单调性可知[3,4]⊆,
所以≤3且>4,解得≤a<,综上所述a>1或≤a<.
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