【数学】2021届一轮复习人教版（文）5函数的单调性与最值作业 6页

函数的单调性与最值 建议用时：45分钟 一、选择题 ‎1．下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是(　　)‎ A．y＝－x　　　 B．y＝x2－x C．y＝ln x－x D．y＝ex－x A　[对于A，y1＝在(0，＋∞)内是减函数，y2＝x在(0，＋∞)内是增函数，则y＝－x在(0，＋∞)内是减函数；B，C选项中的函数在(0，＋∞)上均不单调；选项D中，y′＝ex－1，而当x∈(0，＋∞)时，y′＞0，所以函数y＝ex－x在(0，＋∞)上是增函数．]‎ ‎2．函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)‎ A．(－∞，－2) B．(－∞，1)‎ C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)‎ D　[由x2－2x－8＞0，得x＞4或x＜－2.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)，注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．]‎ ‎3．若函数f(x)＝x2＋a|x|＋2，x∈R在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a的取值范围是(　　)‎ A. B．[－6，－4]‎ C．[－3，－2] D．[－4，－3]‎ B　[由于f(x)为R上的偶函数，因此只需考虑函数f(x)在(0，＋∞‎ ‎)上的单调性即可．由题意知函数f(x)在[3，＋∞)上为增函数，在[1,2]上为减函数，故－∈[2,3]，即a∈[－6，－4]．]‎ ‎4．已知函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x－1)＜f的x的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. D　[因为函数f(x)是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f(2x－1)＜f.‎ 所以0≤2x－1＜，解得≤x＜.]‎ ‎5．已知函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝在区间(1，＋∞)上一定(　　)‎ A．有最小值 B．有最大值 C．是减函数 D．是增函数 D　[由题意知a＜1，若a≤0，则g(x)＝x＋－2a在(1，＋∞)上单调递增；若0＜a＜1，g(x)＝x＋－2a在(，＋∞)上单调递增，则g(x)在(1，＋∞)上单调递增．综上可得，g(x)＝x＋－2a在区间(1，＋∞)上是增函数．故选D.]‎ 二、填空题 ‎6．函数f(x)＝－的值域为________．‎ ‎[－，]　[因为所以－2≤x≤4，‎ 所以函数f(x)的定义域为[－2,4]．‎ 又y1＝，y2＝－在区间[－2,4]上均为减函数，‎ 所以f(x)＝－在[－2,4]上为减函数， ‎ 所以f(4)≤f(x)≤f(－2)，‎ 即－≤f(x)≤.]‎ ‎7．若f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围是________．‎ 　[由题意知， 解得 所以a∈.]‎ ‎8．(2019·唐山模拟)设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________．‎ ‎[0,1)　[由题意知g(x)＝函数图象如图所示，其递减区间是[0,1)．]‎ 三、解答题 ‎9．已知f(x)＝(x≠a)．‎ ‎(1)若a＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)上单调递增；‎ ‎(2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)证明：设x1＜x2＜－2，‎ 则f(x1)－f(x2)＝－＝.‎ 因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0，‎ 所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，‎ 所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增．‎ ‎(2)设1＜x1＜x2，‎ 则f(x1)－f(x2)＝－＝.‎ 因为a＞0，x2－x1＞0，所以要使f(x1)－f(x2)＞0，‎ 只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立，‎ 所以a≤1.综上所述，实数a的取值范围是(0,1]．‎ ‎10．已知函数f(x)＝x2＋a|x－2|－4.‎ ‎(1)当a＝2时，求f(x)在[0,3]上的最大值和最小值；‎ ‎(2)若f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)当a＝2时，f(x)＝x2＋2|x－2|－4＝＝ 当x∈[0,2]时，－1≤f(x)≤0，当x∈[2,3]时，0≤f(x)≤7，‎ 所以f(x)在[0,3]上的最大值为7，最小值为－1.‎ ‎(2)因为f(x)＝ 又f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递增，‎ 所以当x＞2时，f(x)单调递增，则－≤2，即a≥－4.‎ 当－1＜x≤2时，f(x)单调递增，则≤－1.‎ 即a≤－2，且4＋2a－2a－4≥4－2a＋2a－4恒成立，‎ 故实数a的取值范围为[－4，－2]．‎ ‎1．函数f(x)满足f(x＋2)＝3f(x)，且x∈R，若当x∈[0,2]时，f(x)＝x2－2x＋2，则当x∈[－4，－2]时，f(x)的最小值为(　　)‎ A. B. C．－ D．－ A　[因为f(x＋2)＝3f(x)，所以f(x)＝f(x＋2)＝f(x＋4)．‎ 因为当x∈[0,2]时，f(x)＝x2－2x＋2，所以当x∈[－4，－2]，即x＋4∈[0,2]时，f(x)＝f(x＋4)＝(x＋3)2＋，故当x＝－3时，f(x)取得最小值，故选A.]‎ ‎2．定义新运算：当a≥b时，ab＝a；当a＜b时，ab＝b2，则函数f(x)＝(1x)x－(2x)，x∈[－2,2]的最大值等于(　　)‎ A．－1 B．1‎ C．6 D．12‎ C　[由题意知当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，当1＜x≤2时，f(x)＝x3－2，又f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在相应的定义域内都为增函数，且f(1)＝－1，f(2)＝6，∴f(x)的最大值为6.]‎ ‎3．已知函数f(x)＝ln x＋x，若f(a2－a)＞f(a＋3)，则正实数a 的取值范围是________．‎ ‎(3，＋∞)　[因为f(x)＝ln x＋x在(0，＋∞)上是增函数，‎ 所以解得－3＜a＜－1或a＞3.‎ 又a＞0，所以a＞3.]‎ ‎4．设函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，F(x)＝ ‎(1)若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立，求F(x)的解析式；‎ ‎(2)在(1)的条件下，当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围．‎ ‎[解]　(1)∵f(－1)＝0，∴b＝a＋1.‎ 由f(x)≥0恒成立，知a＞0且方程ax2＋bx＋1＝0中的Δ＝b2－4a＝(a＋1)2－4a＝(a－1)2≤0，∴a＝1，即b＝2.‎ 从而f(x)＝x2＋2x＋1.‎ ‎∴F(x)＝ ‎(2)由(1)可知f(x)＝x2＋2x＋1，‎ ‎∴g(x)＝f(x)－kx＝x2＋(2－k)x＋1，‎ 由g(x)在[－2,2]上是单调函数，知－≤－2或－≥2，得k≤－2或k≥6.‎ 即实数k的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞)．‎ ‎1．若f(x)＝－x2＋4mx与g(x)＝在区间[2,4]上都是减函数，则m的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，0)∪(0,1] B．(－1,0)∪(0,1]‎ C．(0，＋∞) D．(0,1]‎ D　[函数f(x)＝－x2＋4mx的图象开口向下，且以直线x＝2m为对称轴，若在区间[2,4]上是减函数，则2m≤2，解得m≤1；g(x)＝的图象由y＝的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间[2,4]上是减函数，则2m＞0，解得m＞0.综上可得，m的取值范围是(0,1]．]‎ ‎2．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.‎ ‎(1)求f(1)的值；‎ ‎(2)证明：f(x)为单调递减函数；‎ ‎(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．‎ ‎[解]　(1)令x1＝x2>0，‎ 代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故f(1)＝0.‎ ‎(2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1，‎ 当x>1时，f(x)<0，∴f<0，‎ 即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)