2020届二轮复习计数原理与二项式定理学案（全国通用） 11页

第5讲　计数原理与二项式定理 两个计数原理 ‎[考法全练]‎ ‎1．甲、乙两人都计划在国庆节的七天假期中，到东亚文化之都——泉州“二日游”，若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有(　　)‎ A．16种 B．18种 C．20种 D．24种 解析：选C．任意相邻两天组合在一起，一共有6种情况：①②，②③，③④，④⑤，⑤⑥，⑥⑦.‎ 若甲选①②或⑥⑦，则乙各有4种选择，‎ 若甲选②③或③④或④⑤或⑤⑥，则乙各有3种选择，‎ 故他们不同一天出现在泉州的出游方案共有2×4＋4×3＝20(种)．‎ ‎2．如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1＜a2且a3＜a2，则称这样的三位数为凸数(如120，343，275)，那么所有凸数的个数为(　　)‎ A．240 B．204‎ C．729 D．920‎ 解析：选A．分8类，‎ 当中间数为2时，有1×2＝2(个)；‎ 当中间数为3时，有2×3＝6(个)；‎ 当中间数为4时，有3×4＝12(个)；‎ 当中间数为5时，有4×5＝20(个)；‎ 当中间数为6时，有5×6＝30(个)；‎ 当中间数为7时，有6×7＝42(个)；‎ 当中间数为8时，有7×8＝56(个)；‎ 当中间数为9时，有8×9＝72(个)．‎ 故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个)．‎ ‎3．某社区新建了一个休闲小公园，几条小径将公园分成5块区域，如图．社区准备从4种颜色不同的花卉中选择若干种种植在各块区域，要求每个区域种植一种颜色的花卉，且相邻区域(有公共边的)所选花卉的颜色不能相同，则不同种植方法的种数为(　　)‎ A．96 B．114‎ C．168 D．240‎ 解析：选C．先在a中种植，有4种不同方法，再在b中种植，有3种不同方法，再在c中种植，若c与b同色，则d有3种不同方法，若c与b不同色，c有2种不同方法，d有2种不同方法，再在e中种植，有2种不同方法，所以共有4×3×1×3×2＋4×3×2×2×2＝168(种)，故选C．‎ ‎4．用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且大于3 000的四位数，这样的四位数有________个．‎ 解析：①当千位上的数字为4时，满足条件的四位数有A＝24(个)；‎ ‎②当千位上的数字为3时，满足条件的四位数有A＝24(个)．‎ 由分类加法计数原理得所有满足条件的四位数共有24＋24＝48(个)．‎ 答案：48‎ ‎5．将3张不同的奥运会门票分给10名同学中的3人，每人1张，则不同分法的种数是________．‎ 解析：按分步来完成此事．第1张有10种分法，第2张有9种分法，第3张有8种分法，故共有10×9×8＝720种分法．‎ 答案：720‎ ‎6．在学校举行的田径运动会上，8名男运动员参加100米决赛，其中甲、乙、丙三人必须在1，2，3，4，5，6，7，8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有________种．‎ 解析：分两步安排这8名运动员．第一步，安排甲、乙、丙三人，共有1，3，5，7四条跑道可安排，所以安排方式有4‎ ‎×3×2＝24(种)；第二步，安排另外5人，可在2，4，6，8及余下的一条奇数号跑道上安排，所以安排方式有5×4×3×2×1＝120(种)．所以安排这8名运动员的方式共有24×120＝2 880(种)．‎ 答案：2 880‎ 应用两个计数原理解题的方法 ‎(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．‎ ‎(2)对于复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当列出示意图或表格，‎ 使问题形象化、直观化． ‎ 排列、组合的应用 ‎[考法全练]‎ ‎1．(2019·长春市质量监测(一))要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A、B、C三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到A班的分法种数为(　　)‎ A．6 　 B．12‎ C．24 D．36‎ 解析：选B．由题意可知，可以分两类，第一类，甲与另一人一同被分到A班，分法有CA＝6(种)；第二类，甲单独被分到A班，分法有CA＝6(种)．所以共有12种，故选B．‎ ‎2．(一题多解)(2019·安徽五校联盟第二次质检)某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上有3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为(　　)‎ A．15 　 B．30‎ C．35 D．42‎ 解析：选B．法一：甲企业有2人，其余5家企业各有1人，共有7人，所以从7人中任选3人共有C种情况，发言的3人来自2家企业的情况有CC种，所以发言的3人来自3家不同企业的可能情况共有C－CC＝30(种)，故选B．‎ 法二：发言的3人来自3家不同企业且含甲企业的人的情况有CC＝20(种)；发言的3人来自3家不同企业且不含甲企业的人的情况有C＝10(种)，所以发言的3人来自3家不同企业的可能情况共有20＋10＝30(种)，故选B．‎ ‎3．(2019·合肥市第二次质量检测)某部队在一次军演中要先后执行A，B，C，D，E，F六项不同的任务，要求是：任务A必须排在前三项执行，且执行任务A之后需立即执行任务E，任务B，C不能相邻，则不同的执行方案共有(　　)‎ A．36种 B．44种 C．48种 D．54种 解析：选B．由题意知任务A，E必须相邻，且只能安排为AE，由此分三类完成，(1)当AE排第一、二位置时，用○表示其他任务，则顺序为AE○○○○，余下四项任务，先全排D，F两项任务，然后将任务B，C插入D，F两项任务形成的三个空隙中，有AA种方法．(2)当AE排第二、三位置时，顺序为○AE○○○，余下四项任务又分为两类：①B，C两项任务中一项排在第一位置，剩余三项任务排在后三个位置，有AA种方法；②D，F两项任务中一项排第一位置，剩余三项任务排在后三个位置，且任务B，C不相邻，有AA种方法．(3)当AE排第三、四位置时，顺序为○○AE○○，第一、二位置必须分别排来自B，C和D，F中的一个，余下两项任务排在后两个位置，有CCAA种方法．根据分类加法计数原理知不同的执行方案共有AA ‎＋AA＋AA＋CCAA＝44(种)，故选B．‎ ‎4．(2019·成都市第二次诊断性检测)用数字0，2，4，7，8，9组成没有重复数字的六位数，其中大于420 789的正整数个数为(　　)‎ A．479 B．480‎ C．455 D．456‎ 解析：选C．当首位为7，8，9时，六位数共有3A＝3×5×4×3×2×1＝360(个)；‎ 当首位为4，第二位为7，8，9时，六位数共有3A＝3×4×3×2×1＝72(个)；‎ 当首位为4，第二位为2，第三位为7，8，9时，六位数共有3A＝3×3×2×1＝18(个)；‎ 当首位为4，第二位为2，第三位为0，第四位为8，9时，六位数共有2A＝2×2×1＝4(个)；‎ 当首位为4，第二位为2，第三位为0，第四位为7，第五位为9时，六位数共有1个．‎ 所以大于420 789的正整数共有360＋72＋18＋4＋1＝455(个)．‎ ‎5．(一题多解)(2019·长沙市统一模拟考试)为培养学生的综合素养，某校准备在高二年级开设A，B，C，D，E，F，共6门选修课程，学校规定每个学生必须从这6门课程中选3门，且A，B两门课程至少要选1门，则学生甲共有________种不同的选法．‎ 解析：通解：根据题意，可分三类完成：(1)选A课程不选B课程，有C种不同的选法；(2)选B课程不选A课程，有C种不同的选法；(3)同时选A和B课程，有C种不同的选法．根据分类加法计数原理，得C＋C＋C＝6＋6＋4＝16(种)，故学生甲共有16种不同的选法．‎ 优解：从6门课程中选3门不同选法有C种，而A和B两门课程都不选的选法有C种，则学生甲不同的选法共有C－C＝20－4＝16(种)．‎ 答案：16‎ ‎6．(2019·郑州市第一次质量预测)《中国诗词大会》(第三季)亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《沁园春·长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐·六盘山》排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有________种．(用数字作答)‎ 解析：分两步完成：(1)《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》进行全排有A种，若《蜀道难》排在《游子吟》的 前面，则有A种；(2)《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》插入已经排列好的四首诗词形成的前4个空位(不含最后一个空位)中，插入法有A种．由分步乘法计数原理，知满足条件的排法有AA＝144(种)．‎ 答案：144‎ 排列、组合应用问题的8种常见解法 ‎(1)特殊元素(特殊位置)优先安排法．‎ ‎(2)相邻问题捆绑法．‎ ‎(3)不相邻问题插空法．‎ ‎(4)定序问题缩倍法．‎ ‎(5)多排问题一排法．‎ ‎(6)“小集团”问题先整体后局部法．‎ ‎(7)构造模型法．‎ ‎(8)正难则反，等价转化法． ‎ 二项式定理 ‎[考法全练]‎ ‎1.的展开式中x4的系数为(　　)‎ A．10 B．20‎ C．40 D．80 ‎ 解析：选C．Tr＋1＝C(x2)5－r＝C2rx10－3r，由10－3r＝4，得r＝2，所以x4的系数为C×22＝40.‎ ‎2．(2019·武汉部分学校调研)若的展开式中含有常数项，则n的最小值等于(　　)‎ A．8 B．10‎ C．11 D．12‎ 解析：选C．的展开式的通项Tr＋1＝C(x4)n－r＝(－1)rCx，当4n－r＝0，即n＝r时展开式中存在常数项，所以n的最小值为11，选C．‎ ‎3．(2019·四省八校双教研联考)二项式(1＋x＋x2)(1－x)10展开式中x4的系数为(　　)‎ A．120 B．135‎ C．140 D．100‎ 解析：选B．(1－x)10的展开式的通项Tr＋1＝C(－x)r＝(－1)rCxr，分别令r＝4，r＝3，r＝2，可得展开式中x4的系数为(－1)4C＋(－1)3C＋(－1)2C＝135，故选B．‎ ‎4．(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)‎ A．10 B．20‎ C．30 D．60‎ 解析：选C．(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，‎ 含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.‎ 其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.‎ 所以x5y2的系数为CC＝30.故选C．‎ ‎5．若(3x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝(　　)‎ A．80 B．120‎ C．180 D．240‎ 解析：选D．由(3x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5两边求导，可得15(3x－1)4＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋5a5x4，令x＝1得，15×(3－1)4＝a1＋2a2＋3a3＋…＋5a5，即a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝240，故选D．‎ ‎6．(2019·广州市调研测试)已知(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝________．‎ 解析：因为(2x＋)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，所以取x＝1得(＋2)4＝(a0＋a2＋a4)＋(a1＋a3)①；取x＝－1得(－2)4＝(a0＋a2＋a4)－(a1＋a3)②.①②相乘得(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2＝(＋2)4×(－2)4＝[()2－22]4＝16.‎ 答案：16‎ 对于“多项式乘二项式”型的二项式问题，通用的解法是系数配对法，即将多项式中的每一项xk的系数与后面二项式展开式中xr－k的系数相乘，然后把所有这些满足条件的情况相加，即得到xr项的系数．‎ ‎[提醒]　关注2个常失分点：(1)混淆“项的系数”与“二项式系数”概念，项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正．(2)注意“常数项”“有理项”“系数最大的项”等概念． ‎ 一、选择题 ‎1．在某夏令营活动中，教官给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年龄尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处．那么不同的搜寻方案有(　　)‎ A．10种 B．40种 C．70种 D．80种 解析：选B．若Grace不参与任务，则需要从剩下的5位小孩中任意挑出1位陪同，有C种挑法，再从剩下的4位小孩中挑出2位搜寻远处，有C种挑法，最后剩下的2位小孩搜寻近处，因此一共有CC＝30种搜寻方案；若Grace参加任务，则其只能去近处，需要从剩下的5位小孩中挑出2位搜寻近处，有C种挑法，剩下3位小孩去搜寻远处，因此共有C＝10种搜寻方案．综上，一共有30＋10＝40种搜寻方案，故选B．‎ ‎2．(2019·合肥市第一次质量检测)若的展开式的常数项为60，则a的值为(　　)‎ A．4 B．±4‎ C．2 D．±2‎ 解析：选D．的展开式的通项为Tr＋1＝C·(ax)6－r·＝(－1)r·a6－r·C·x6－r，令6－r＝0，得r＝4，则(－1)4·a2·C＝60，解得a＝±2，故选D．‎ ‎3．(2019·重庆市七校联合考试)(1＋x)6展开式中x2的系数为(　　)‎ A．15 B．20‎ C．30 D．35‎ 解析：选C．由多项式乘法知，若求(1＋x)6展开式中x2的系数，只需求(1＋x)6展开式中x2和x4的系数．(1＋x)6展开式中含x2和x4的项分别是Cx2＝15x2和Cx4＝15x4，所以(1＋x)6展开式中x2的系数是30.故选C．‎ ‎4．若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有1个人站在自己原来的位置，则不同的站法共有(　　)‎ A．4种 B．8种 C．12种 D．24种 解析：选B．将4个人重排，恰有1个人站在自己原来的位置，有C种站法，剩下3人不站原来位置有2种站法，所以共有C×2＝8种站法，故选B．‎ ‎5．设(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a1等于(　　)‎ A．80 B．－80‎ C．－160 D．－240‎ 解析：选D．因为(x2－3x＋2)5＝(x－1)5(x－2)5，所以二项展开式中含x项的系数为C×(－1)4×C×(－2)5＋C×(－1)5×C×(－2)4＝－160－80＝－240，故选D．‎ ‎6．(2019·广州市综合检测(一))(2－x3)(x＋a)5的展开式的各项系数和为32，则该展开式中x4的系数是(　　)‎ A．5 B．10‎ C．15 D．20‎ 解析：选A．在(2－x3)(x＋a)5中，令x＝1，得展开式的各项系数和为(1＋a)5＝32，解得a＝1，故(x＋1)5的展开式的通项Tr＋1＝Cx5－r.当r＝1时，得T2＝Cx4＝5x4，当r＝4时，得T5＝Cx＝5x，故(2－x3)(x＋1)5的展开式中x4的系数为2×5－5＝5，选A．‎ ‎7．(2019·柳州模拟)从{1，2，3，…，10}中选取三个不同的数，使得其中至少有两个数相邻，则不同的选法种数是(　　)‎ A．72 B．70‎ C．66 D．64‎ 解析：选D．从{1，2，3，…，10}中选取三个不同的数，恰好有两个数相邻，共有C·C＋C·C＝56种选法，三个数相邻共有C＝8种选法，故至少有两个数相邻共有56＋8＝64种选法，故选D．‎ ‎8．(2019·洛阳尖子生第二次联考)某校从甲、乙、丙等8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教(每地1名教师)，其中甲和乙不能都去，甲和丙都去或都不去，则不同的选派方案有(　　)‎ A．900种 B．600种 C．300种 D．150种 解析：选B．第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，再从剩余的5名教师中选2名，不同的选派方案有C×A＝240(种)；第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，从乙和剩余的5名教师中选4名，不同的选派方案有C×A＝360(种)．所以不同的选派方案共有240＋360＝600(种)．故选B．‎ ‎9．已知(x＋2)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6a6＋8a8)2的值为(　　)‎ A．39 B．310‎ C．311 D．312‎ 解析：选D．对(x＋2)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9两边同时求导，得9(x＋2)8＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋8a8x7＋9a9x8，令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＋9a9＝310，令x＝－1，得a1－2a2＋3a3－…－8a8＋9a9＝32.所以(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6a6＋8a8)2＝(a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＋9a9)(a1－2a2＋3a3－…－8a8＋9a9)＝312，故选D．‎ ‎10．现有红色、蓝色和白色的运动鞋各一双，把三双鞋排列在鞋架上，仅有一双鞋相邻的排法总数是(　　)‎ A．72 B．144‎ C．240 D．288‎ 解析：选D．首先，选一双运动鞋，捆绑在一起看作一个整体，有CA＝6种选法，‎ 则现在共有5个位置，若这双鞋在左数第一个位置，共有CAA＝8种情况，若这双鞋在左数第二个位置，则共有CC＝8种情况，若这双鞋在中间位置，则共有AAAA＝16种情况，左数第四个位置和第二个位置的情况一样，第五个位置和第一个位置的情况一样．所以把三双鞋排列在鞋架上，仅有一双鞋相邻的排法总数是6×(2×8＋2×8＋16)＝288.故选D．‎ ‎11．(一题多解)某校毕业典礼上有6个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有(　　)‎ A．120种 B．156种 C．188种 D．240种 解析：选A．法一：记演出顺序为1～6号，对丙、丁的排序进行分类，丙、丁占1和2号，2和3号，3和4号，4和5号，5和6号，其排法分别为AA，AA，CAA，CAA，CAA，故总编排方案有AA＋AA＋CAA＋CAA＋CAA＝120(种)．‎ 法二：记演出顺序为1～6号，按甲的编排进行分类，①当甲在1号位置时，丙、丁相邻的情况有4种，则有CAA＝48(种)；②当甲在2号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有CAA＝36(种)；③当甲在3号位置时，丙、丁相邻的情况有3种，共有CAA＝36(种)．所以编排方案共有48＋36＋36＝120(种)．‎ ‎12．(2019·河北省九校第二次联考)第十四届全国运动会将于2021年在陕西举办，为宣传地方特色，某电视台派出3名男记者和2名女记者到民间进行采访报导．工作过程中的任务划分为：“负重扛机”“对象采访”“文稿编写”“编制剪辑”四项工作，每项工作至少一人参加，但2名女记者不参加“负重扛机”工作，则不同的安排方案数共有(　　)‎ A．150 B．126‎ C．90 D．54‎ 解析：选B．根据题意，“负重扛机”可由1名男记者或2名男记者参加，当由1名男记者参加“负重扛机”工作时，有C种方法，剩余2男2女记者可分为3组参加其余三项工作，共有·A种方法，故由1名男记者参加“负重扛机”工作时，有C··A种方法；当由2名男记者参加“负重扛机”工作时，剩余1男2女3名记者各参加一项工作，有C·A种方法．故满足题意的不同安排方案数共有C··A＋C·A＝108＋18＝126.故选B．‎ 二、填空题 ‎13．在的展开式中，x3的系数是________．‎ 解析：的展开式的通项Tr＋1＝C(－4)5－r·，r＝0，1，2，3，4，5， 的展开式的通项Tk＋1＝Cxr－k＝4kCxr－2k，k＝0，1，…，r.令r－2k＝3，当k＝0时，r＝3；当k＝1时，r＝5.所以x3的系数为40×C×(－4)5－3×C＋4×C×(－4)0×C＝180.‎ 答案：180.‎ ‎14．(2019·福州市质量检测)(1＋ax)2(1－x)5的展开式中，所有x的奇数次幂项的系数和为－64，则正实数a的值为________．‎ 解析：设(1＋ax)2(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6＋a7x7，令x＝1得0＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7①，‎ 令x＝－1得(1－a)225＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7②，‎ ‎②－①得：(1－a)225＝－2(a1＋a3＋a5＋a7)，又a1＋a3＋a5＋a7＝－64，所以(1－a)225＝128，解得a＝3或a＝－1(舍)．‎ 答案：3‎ ‎15．(一题多解)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为________．‎ 解析：法一：从16张不同的卡片中任取3张，不同取法的种数为C，其中有2张红色卡片的不同取法的种数为C×C，其中3张卡片颜色相同的不同取法的种数为C×C，所以3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张的不同取法的种数为C－C×C－C×C＝472.‎ 法二：若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三种颜色的卡片中选3张，若都不同色，则不同取法的种数为C×C×C＝64，若2张颜色相同，则不同取法的种数为C×C×C×C＝144.若红色卡片有1张，则剩余2张不同色时，不同取法的种数为C×C×C×C＝192，剩余2张同色时，不同取法的种数为C×C×C＝72，所以不同的取法共有64＋144＋192＋72＝472(种)．‎ 答案：472‎ ‎16．《红海行动》是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成A，B，C，D，E，F六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求，重点任务A必须排在前三位，且任务E，F必须排在一起，则这六项任务完成顺序的不同安排方案共有________种．‎ 解析：因为任务A必须排在前三位，任务E，F必须排在一起，所以可把A的位置固定，E，F捆绑后分类讨论．‎ 当A在第一位时，有AA＝48(种)；‎ 当A在第二位时，第一位只能是B，C，D中的一个，E，F只能在A的后面，故有CAA ‎＝36(种)；‎ 当A在第三位时，分两种情况：①E，F在A之前，此时应有AA种，②E，F在A之后，此时应有AAA种，故而A在第三位时有AA＋AAA＝36(种)．‎ 综上，共有48＋36＋36＝120种不同的安排方案．‎ 答案：120‎