数学北师大版（2019）必修第二册：4-2-4 积化和差与和差化积公式 学案与作业 9页

2.4 积化和差与和差化积公式 (15 分钟 30 分) 1.求值:sin 20°+sin 40°+sin 60°-sin 80 °=( ) A. B. C. D.1 【解析】选 C.sin 20°+sin 40°+sin 60°-sin 80° =2sin 30°cos(-10°)+sin 60°-sin 80° =2× ×sin 80°+ -sin 80°= . 【补偿训练】 cos 40°+cos 60°+cos 80°+cos 160°的值为________. 【解析】原式=cos 40°+cos 80°+cos 60°-cos 20° =2cos cos +cos60°-cos20° =2cos60°·cos +cos60°-cos20°=cos60°= . 答案: 2.在△ABC 中 sin C= ,则此三角形的形状是( ) A.等边三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 【解析】选 C.因为 C=π-(A+B), 所以 sin C=sin(A+B)= , 所以 2sin cos = , 所以 2cos2 =1,即 cos(A+B)=0, 所以 A+B= ,所以 C= . 故此三角形为直角三角形. 3.函数 y=sin cos x 的最大值为( ) A. B. C.1 D. 【解析】选 B.因为 y=sin cos x = = = sin - , 所以 ymax= - = . 4.函数 y=cos x+cos 的最大值是________. 【解析】y=2cos cos = cos , 所以 ymax= . 答案: 5.已知 sin α+sin β= ,cos α+cos β= ,求 tan 的值. 【解析】由 sin α+sin β= ,cos α+cos β= 得, 2sin cos = , 2cos cos = , 两式相除得 tan = , 则 tan = = = . (30 分钟 60 分) 一、单选题(每小题 5 分,共 20 分) 1.若 sin α+sin β= (cos β-cos α)且α∈(0,π),β∈(0,π), 则α-β等于( ) A.- π B.- C. D. π 【解析】选 D. 因为α,β∈(0,π), 所以 sin α+sin β>0. 所以 cos β-cos α>0,cos β>cos α, 又在(0,π)上,y=cos x 是减函数. 所以β<α,所以 0<α-β<π,由原式可知 2sin · cos = , 所以 tan = ,所以 = , 所以α-β= . 2.在△ABC 中,若 B=45°,则 cos Asin C 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【解析】选 B.在△ABC 中 B=45°, 所以 cos Asin C= = = - sin , 因为-1≤sin ≤1, 所以 ≤cos Asin C≤ . 3.函数 f(x)=sin cos 是( ) A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数 C.最小正周期为 2π的非奇非偶函数 D.最小正周期为π的非奇非偶函数 【解析】选 D.f(x)= = = sin + , 所以 T= =π,f(x)为非奇非偶函数. 【补偿训练】 已知函数 f(x)=g(x)cos ,若函数 f(x)是周期为π的偶函数, 则 g(x)可以是( ) A.cos x B.sin x C.cos D.sin 【 解 析 】 选 D. 当 g(x)=cos x 时 ,f(x)=cos xcos = cos + , 此时 f(x)是非奇非偶函数,周期为π; 当 g(x)=sin x 时,f(x)=sin xcos = sin - , 此时 f(x)是非奇非偶函数,周期为π; 当 g(x)=cos 时, f(x)=cos cos =- sin 2x+ ,此时 f(x)是非奇非偶函数, 周期为π; 当 g(x)=sin 时, f(x)=sin cos = sin = cos 2x, 此时 f(x)是偶函数,周期为π. 4.(2020·长沙高二检测)在△ABC 中, sin A+sin Bsin C 的最大值为 ( ) A. + B.2 C. D. 【解析】选 B. sin A+sin Bsin C= sin A+ ≤ sin A+ = sin A+ cos A+ ≤ + =2, 当且仅当 sin B=sin C= ,sin A= 时,等号成立,因此 sin A+sin Bsin C 的最大值为 2. 【误区警示】注意三角形中三角之间的关系,要充分利用这一关系实现 多变角转化为一变角形式. 二、多选题(每小题 5 分,共 10 分,全部选对得 5 分,选对但不全的得 3 分,有选错的得 0 分) 5.设函数 f(x)=sin +cos ,则( ) A.y=f(x)的最小值为- ,其周期为π B.y=f(x)的最小值为-2,其周期为 C.y=f(x)在 单调递增,其图象关于直线 x= 对称 D.y=f(x)在 单调递减,其图象关于直线 x= 对称 【解析】选 AD.f(x)= sin = sin = cos 2x, 所以 y=f(x)在 内单调递减,周期为π, 又 f = cos π=- 是最小值, 所以函数 y=f(x)的图象关于直线 x= 对称. 6.满足 sin 3x=cos x 的 x 的值是( ) A. B. C. D. 【解析】选 AB.由题意可得 sin 3x-sin =0,由和差化积公式可得 2cos sin =0, 则方程的根满足: =kπ或 =kπ+ , 整理可得 x= π+ 或 x=kπ+ , 即方程的根为 或 . 【光速解题】将选项 A,B,C,D 依次代入条件等式中进行检验即可. 三、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 7.已知 A+B= ,那么 1+ (cos 2A+cos 2B)的最大值是________,最小值 是________. 【解题指南】利用和差化积公式进行化简的方法首先化简所求式子,然 后根据已知角及角对应三角函数值的范围求解. 【解析】因为 A+B= ,所以 1+ (cos 2A+cos 2B) =1+cos(A+B)cos(A-B)=1+cos cos(A-B) =1- cos(A-B),所以当 cos(A-B)=-1 时, 原式取得最大值 ; 当 cos(A-B)=1 时,原式取得最小值 . 答案: 8.(2020·温州高一检测)函数 y=sin -sinx 的值 域是________. 【解析】y=sin -sin x=2cos ·sin =cos . 因为 x∈ ,所以 x+ ∈ . 故 y∈ . 答案: 四、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.求下列各式的值: (1)cos +cos -2sin cos ; (2)sin 138°-cos 12°+sin 54°. 【解析】(1)cos +cos -2sin cos =2cos ·cos - cos =2cos cos - cos = cos - cos =0. (2)sin 138°-cos 12°+sin 54° =sin 42°-cos 12°+sin 54° =sin 42°-sin 78°+sin 54° =-2cos 60°sin 18°+sin 54° =sin 54°-sin 18°=2cos 36°sin 18° = = = = = . 10.已知A,B,C是△ABC的三个内角,y=tan + ,若任意交换两 个角的位置,y 的值是否变化?并证明你的结论. 【解析】不变.因为 A,B,C 是△ABC 的三个内角, 所以 A+B+C=π, = - . 所以 y=tan + =tan + =tan +tan +tan . 因此,任意交换两个角的位置,y 的值不变. 形如 的符号叫二阶行列式,现规定 =a11a22-a21a12, 如果 f(θ)= = ,0<θ<π,求θ的值. 【解析】因为 = , 所以 f(θ)= =cos θsin -sin θcos = cos θ- sin θ=sin = , 因为- < -θ< , 所以 -θ= ,所以θ= . 关闭 Word 文档返回原板块