- 1.85 MB
- 2021-06-16 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
- 1 -
2019—2020 学年高中毕业班阶段性测试(七)
文科数学
考生注意:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上,并将考生号条形码粘贴
在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,
用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷
上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.
1. 已知集合
2 0xA x
x
, 3B x x ,则 A B ( )
A. 0x x B. 3x x
C. 2 3x x D. 2 3x x 或 0x
【答案】D
【解析】
【分析】
先解分式不等式得 0A x x 或 2x ,再根据集合运算即可.
【详解】因为 0A x x 或 2x , 3B x x ,所以 2 3A B x x 或 0x .
故选:D.
【点睛】本题考查分式不等式的解法以及集合运算,是基础题.
2. 若复数 1 ni 为实数,则正整数 n的最小值为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可知 n只能为偶数,分别计算 2 41 , 1 i i 比较即可.
- 2 -
【详解】因为 21 2i i , 4 21 2 4i i ,
所以正整数n的最小值为 4.
故选:B
【点睛】本题考查复数的运算,属基础题.
3. 已知双曲线
2 2
2 1 0
16
x y b
b
的渐近线方程为
3
4
y x=± ,则该双曲线的焦距为( )
A. 4 B. 5 C. 8 D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】
根据双曲线的方程和双曲线的渐近线方程得
3 , 4
4
b
a
a ,再根据 2 2 2c a b 计算即可解决.
【详解】设双曲线
2 2
2 1
16
x y
b
的半焦距为 c,由双曲线
2 2
2 1
16
x y
b
的渐近线方程为
3
4
y x=± ,可得
3
4 4
b
,所以 3b , 5c .所以双曲线的焦距为 10.
故选:D.
【点睛】本题考查双曲线的方程及性质,是基础题.
4. 某地自 2021 年起,新高考科目设置采用“ 3 1 2 ”模式,普通高中学生从高一升高二时
将面临着物理、历史二选一的问题.该地 A, B,C三个学校高一的人数及高一学生选择物
理的情况分别如图(1)和图(2)所示.为了解该地这三个学校学生选课的原因,当地政府
决定采用分层抽样的方法抽取 20%的学生进行调查,则C学校抽取的选择物理的学生人数为
( )
A. 40 B. 30 C. 20 D. 10
【答案】C
- 3 -
【解析】
【分析】
由题知抽取的C学校人数为200 20% ,其中选择物理的学生占比50%,即可求解.
【详解】由题意得,抽取的C学校人数为 200 20% ,其中选择物理的学生占比50%,故C
学校抽取的选择物理的学生人数为200 50% 20% 20 人.
故选:C.
【点睛】本题考查分层抽样,是基础题.
5. 若圆台的母线与高的夹角为
6
,且上、下底面半径之差为 2,则该圆台的高为( )
A.
2 3
3
B. 2 C. 2 2 D. 2 3
【答案】D
【解析】
【分析】
直接计算 tan
6
R r
h
即可.
【详解】设上、下底面半径分别为R, r,圆台高为 h,
由题可知: tan
6
R r
h
,即
2 3
3h
,
所以 2 3h .
故选:D
【点睛】本题考查圆台的几何特征,属基础题.
6. 执行如图所示的程序框图,则输出 S 的值为( )
- 4 -
A. 16 B. 48 C. 96 D. 128
【答案】B
【解析】
【分析】
列出每一次循环,直到计数变量 i满足 3i 退出循环.
【详解】第一次循环: 12 (1 1) 4, 2S i ;第二次循环: 24 2 (1 2) 16, 3S i ;
第三次循环: 316 2 (1 3) 48, 4S i ,退出循环,输出的 S 为 48 .
故选:B.
【点睛】本题考查由程序框图求输出的结果,要注意在哪一步退出循环,是一道容易题.
7. 函数 2cos ln 1f x x x x 在[ 1,1] 的图象大致为( )
- 5 -
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由 ( ) ( )f x f x 可排除选项 C、D;再由 (1) 0f 可排除选项 A.
【详解】因为 2cos( ) ln ( ) 1f x x x x 2cos ln 1x x x
2
2
1cos ln cos ln( 1 ) ( )
1
x x x x f x
x x
,故 ( )f x 为奇函数,
排除 C、D;又 (1) cos1 ln( 2 1) 0f ,排除 A.
故选:B.
【点睛】本题考查根据函数解析式选出函数图象的问题,在做这类题时,一般要利用函数的
性质,如单调性、奇偶性、特殊点的函数值等,是一道基础题.
8. 若 x, y满足约束条件
2 5,
2 2,
7,
x y
y x
x
,则 z x y 的最大值为( )
A. 21 B. 16 C. 13 D. 11
【答案】B
【解析】
【分析】
首先画出可行域,确定最优点,并求最大值.
- 6 -
【详解】作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,联立
2 5,
7,
x y
x
解得 7,9A .
观察可知,当直线 y x z 过点 7,9A 时, z有最大值 16.
故选:B
【点睛】本题考查线性规划,重点考查数形结合分析问题,属于基础题型.
9. 已知函数 23sin cos 1 2sin
2
f x x x x ,则有关函数 f x 的说法正确的是
( )
A. f x 的图象关于点 ,0
6
对称 B. f x 的最小正周期为
C. f x 的图象关于直线
6
x
对称 D. f x 的最大值为 3
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用三角恒等变换化简函数得 sin 2
3
f x x
,再根据函数性质求解即可.
【详解】由题可知 1 3sin 2 cos2 sin 2
2 2 3
f x x x x
.
令2 ,
3
x k k Z ,可得
1
2 6
x k .当
6
x
时,
22
3 3
x
,故函数 f x 的图
象不关于点 ,0
6
对称,也不关于直线
6
x
对称,故 A,C错误;
函数 f x 的最小正周期
2
2
T ,故 B 正确;
函数 f x 的最大值为 1,故 D 错误;
故选:B.
【点睛】本题考查三角恒等变换以及三角函数的性质,是中档题.
- 7 -
10. 若角 0,
2
α π
, 0,
4
, 2 sin cos sin
2 2
,
3sin
5
,则 cos ( )
A.
2 5
5
B.
4
5
C.
15
5
D.
2
2
【答案】A
【解析】
【分析】
逆用两角差的正弦公式化简所给等式可推出 、 之间的关系,再利用二倍角的余弦公式可求
得 2cos ,根据 的范围即可确定cos 的值.
【详解】由题意可得sin sin
4 2
.
∵ 0,
4 2 4
, 0,
4
,∴
4 2
,则 2
2
,
∴
3cos2 cos sin
2 5
,
又
2 3cos2 2cos 1
5
,解得
2 4cos
5
,
又 0,
4
,∴
2 5cos
5
.
故选:A
【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式,属于中档题.
11. 已知m, n是函数 3 21 0
3
f x x x ax a 的两个极值点,则
4 1
m n
的最小值为
( )
A.
9
2
B. 9 C. 5 D.
5
2
【答案】A
【解析】
【分析】
- 8 -
计算 2 2f x x x a ,可得 2m n ,且 0m , 0n ,然后结合基本不等式计算可
得结果.
【详解】由题可知 2 2 0f x x x a a .
因m, n为函数 f x 的两个极值点,
所以 2m n , 0 mn a ,故 0m , 0n ,
又 4 4 0 a ,则且0 1a
所以 4 1 1 4 1 1 4 95
2 2 2
m nm n
m n m n n m
,
当且仅当
4m n
n m
,即
4
3
m ,
2
3
n 时取得最小值
9
2
.
此时
8
9
a mn ,符合条件.
故选:A
【点睛】本题考查函数的极值点的性质以及利用基本不等式求最值,属基础题.
12. 已知函数 2ln 1 2 2f x x x ax e ,若 0,x , 0f x 恒成立,则实
数 a的值为( )
A. 2 2e B. e C. 2 2e D. 22 2e e
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意画出 g x 和 h x 的大致图象,观察可知,若 0,x , 0f x 恒成立,则
函数 g x 和 h x 在 0, 上有共同的零点,求解即可.
【详解】令 ( ) ln 1 0g x x x , 22 2 0h x x ax e x ,画出 g x 和 h x 的大
致图象,如图所示.观察可知,若 0,x , 0f x 恒成立,则函数 g x 和 h x 在
0, 上有共同的零点,因为函数 g x 的零点为 e,所以当函数 g x 和 h x 有共同的零
点 e时, 0f x 恒成立,于是 22 2 0e ae e ,解得 2 2a e .
- 9 -
故选:C.
【点睛】本题考查不等式恒成立问题,是中档题.
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13. 已知向量 3,2a
, 1, 1b
.若 a b a
,则实数 的值为__________.
【答案】
13
5
【解析】
【分析】
先计算出 a b
,再根据向量垂直时数量积为零求解即可.
【 详 解 】 由 题 意 知 3 ,2a b
. 若 a b a
, 则
3 3 2 2 0a b a
,解得
13
5
.
故答案为:
13
5
.
【点睛】本题考查向量的数量积以及向量的坐标表示,是中档题.
14. 设 nS 是正项等比数列 na 的前 n项和, 4 22n n nS S S ,则 na 的公比 q _________.
【答案】1
【解析】
【分析】
- 10 -
将 4 22n n nS S S 变形为 4 2 2n n n nS S S S ,再利用等比数列性质求解即可.
【详解】由 4 22n n nS S S ,得 4 2 2n n n nS S S S ,即 3 4 1 2n n n na a a a ,
所以 2
1 2 1 2n n n na a q a a ,因为 na 是正项等比数列,所以 1 2 0n na a , 0q ,
所以 1q .
故答案为:1.
【点睛】本题考查等比数列前n项和公式以及等比数列的性质,是基础题.
15. 在 ABC 中, 6AB , 4AC , BC边上的中线 19AD ,则 ABC 的面积为
_________.
【答案】6 3
【解析】
【分析】
利用 cos cosADB ADC ,直接根据余弦定理以及面积公式计算即可.
【详解】设BD CD x ,利用 cos cosADB ADC ,
可得
2 2 2 219 6 19 4
2 19 2 19
x x
x x
,解得 7x 或 7x (舍)
所以 2 7BC ,
10cos
2 19 7
ADC
,
12 3sin
2 19 7
ADC
.
所以
1 12 319 7 3 3
2 2 19 7ADCS
△ .
所以 2 6 3ABC ADCS S △ △ .
故答案为:6 3
【点睛】本题考查余弦定理、三角形面积公式以及同角三角函数关系,着重考查计算,属基
础题.
16. 已知抛物线 2: 2 0C y px p 的焦点为 F ,准线为 l,过焦点 F 的直线与C交于 A,
B两点,AA l ,BB l ,垂足分别为 A,B,若 2 3A F , 2B F ,则 p ________.
【答案】 3
- 11 -
【解析】
【分析】
根据抛物线的性质可知 AA F AFA , FBB BFD ,进一步可知 90A FB ,
然后使用勾股定理可得 A B ,最后利用等面积法可求得 p
【详解】如图,设C的准线 l与 x轴的交点为D.
由抛物线的性质知, AA AF , BF BB ,
因为 AA BB x ∥ ∥ 轴,所以 AAF AFD , FBB BFD ,
所以 90A FB AA F BB F .
在Rt A FB △ 中,由勾股定理得
2 2 4A B A F B F ,
所以 A F B F FD A B ,所以 3p FD .
故答案为: 3
【点睛】本题考查拋物线的性质和直线与抛物线的位置关系,本题关键得到 90A FB ,
属中档题.
三、解答题:共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,第 17-21 题为必考题,
每个试题考生都必须作答第 22,23 题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共 60 分
17. 已知等差数列 na 的前 n项和为 nS ,且 5 6a , 3 9 14a a .
(Ⅰ)求 na 、 nS ;
(Ⅱ)设
1
n
n
S n
b
, nb 的前 n项和为 nT ,若 nT m 恒成立,求实数m的取值范围.
- 12 -
【答案】(Ⅰ) 1na n .
3
2n
n n
S
;(Ⅱ) 2, .
【解析】
【分析】
(Ⅰ)设等差数列 na 的公差为 d ,根据题意得出关于 1a 和 d 的方程组,解出这两个量的值,
即可得出 na 和 nS ;
(Ⅱ)求得
1 12
1nb n n
,利用裂项相消法求得 nT ,可得出 2nT ,由此可求得实数m
的取值范围.
【详解】(Ⅰ)设等差数列 na 的公差为 d .
由题意可得
5 1
3 9 1
4 6
2 10 14
a a d
a a a d
,解得
1 2
1
a
d
,
所以 1 1 1na a n d n ,
1 3
2 2
n
n
n a a n n
S
;
(Ⅱ)由
1
n
n
S n
b
,得
1 2 1 12
1 1n
n
b
S n n n n n
.
所以 1 2
1 1 1 1 1 22 1 2
2 2 3 1 1n nT b b b
n n n
.
因为 *nN ,所以 2nT ,若 nT m 恒成立,需 2m .
故m的取值范围为 2, .
【点睛】本题考查等差数列通项公式以及求和公式的求解,同时也考查了利用数列不等式恒
成立求参数,考查裂项相消法的应用,考查计算能力,属于基础题.
18. 如图,在四棱锥P ABCD 中,O是边长为 4的正方形 ABCD的中心, PO 平面
ABCD,M , E分别为 AB, BC的中点.
- 13 -
(Ⅰ)求证:平面 PAC 平面 PBD;
(Ⅱ)若 3PE ,求点 B到平面 PEM 的距离.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)
70
7
.
【解析】
【分析】
(1)先证明 AC 平面 PBD,再证明平面 PAC 平面 PBD;
(2)利用几何关系和等体积法求解即可.
【详解】(Ⅰ)因为四边形 ABCD是正方形,所以 AC BD .
因为 PO 平面 ABCD, AC 平面 ABCD,所以 AC PO .
因为OP平面 PBD, BD 平面 PBD,且OP BD O ,
所以 AC 平面 PBD.
所以平面 PAC 平面 PBD.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,OP为点 P到平面 BME的高.
所以
1
3B PEM P BEM BEMV V S OP △ .
连接OE.
因为 PO 平面 ABCD,OE 平面 ABCD,所以PO OE .
因为 2OE , 3PE ,所以 5OP .
又因OA OB OC OD ,所以PA PB PC PD .
在 PEM△ 中, 3PE PM ,
1 2 2
2
ME AC ,
所以 221 2 2 3 2 14
2PEMS △ .
设点 B到平面 PEM 的距离为 h,
由
1 1 1 1 2 52 2 5
3 3 3 2 3B PEM PEM P BEM BEMV S h V S OP △ △
,得
14 2 5
3 3
h ,
- 14 -
所以
70
7
h .
所以点 B到平面 PEM 的距离为
70
7
.
【点睛】本题考查空间几何体的线面关系以及等体积法求点到平面的距离,是中档题.
19. 某动漫影视制作公司长期坚持文化自信,不断挖掘中华优秀传统文化中的动漫题材,创
作出一批又一批的优秀动漫影视作品,获得市场和广大观众的一致好评,同时也为公司赢得
丰厚的利润.该公司2013年至2019年的年利润 y关于年份代号 x的统计数据如下表(已知该公
司的年利润与年份代号线性相关):
年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019
年份代号
x
1 2 3 4 5 6 7
年利润 y
(单位:亿
元)
29 33 36 44 48 52 59
(Ⅰ)求 y关于 x的线性回归方程,并预测该公司 2020 年(年份代号记为8 )的年利润;
(Ⅱ)当统计表中某年年利润的实际值大于由 I 中线性回归方程计算出该年利润的估计值时,
称该年为 A级利润年,否则称为 B级利润年.将 I 中预测的该公司 2020 年的年利润视作该年
利润的实际值,现从 2015 年至 2020 年这6年中随机抽取 2年,求恰有1年为 A级利润年的概
率.
参考公式:
1
2
1
,
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b a y bx
x x
【答案】(Ⅰ) 5 23y x ,63 亿元;(Ⅱ)
8
15
P .
【解析】
- 15 -
【分析】
(I)按照公式
1
2
1
,
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b a y bx
x x
计算即可;
(II)被评为 A级利润年的有 2年,分别记为 1 2,A A ,评为 B级利润年的有 4年,分别记为
1 2 3 4, , ,B B B B ,采用枚举法列出从 2015 至 2020 年中随机抽取 2年的总的情况以及恰有一年为
A级利润年的情况,再利用古典概型的概率计算公式计算即可.
【详解】 I 根据表中数据,计算可得
7
1
4, 43, 140i i
i
x y x x y y
又
27
1
28i
i
x x
7
1
27
1
5
i i
i
i
i
x x y y
b
x x
a y bx
43 5 4 23a
y 关于 x的线性回归方程为 5 23y x .
将代 8x 入, 5 8 23 63y (亿元).
该公司 2020 年的年利润的预测值为63亿元.
II 由 I 可知2015 年至 2020年的年利润的估计值分别为38,43,48,53,58,63(单位:亿元),
其中实际利润大于相应估计值的有2年.
故这6年中,被评为 A级利润年的有2年,分别记为 1 2,A A ;
评为 B级利润年的有 4年,分别记为 1 2 3 4, , ,B B B B
从 2015 至 2020 年中随机抽取 2年,总的情况分别为:
1 2 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4 1 2 1 3 1 4, , , , , , , , , , ,A A AB AB AB AB A B A B A B A B B B B B B B
- 16 -
2 3 2 4 3 4, ,B B B B B B ,共计15种情况.
其中恰有一年为 A级利润年的情况分别为: 1 1 1 2 1 3 1 4 2 1, , , ,A B A B A B A B A B ,
2 2 2 3 2 4, ,A B A B A B 共有8种情况.
记“从2015至2020年这6年的年利润中随机抽取 2年,恰有一年为 A级利润年”的概率为 P,
故所求概率
8
15
P
【点睛】本题考查线性回归方程的应用及古典概型的概率计算问题,考查学生运算求解能力,
是一道容易题.
20. 椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a b
a b
的左、右焦点分别为 1 2,F F ,过点 1F且斜率为 k的直线 l与
椭圆C相交于 ,M N两点.已知当
2
4
k 时, 2 1 2MF FF ,且 1 2MFF 的面积为 2 2 .
(1)求椭圆C的方程;
(2)当 1k 时,求过点 ,M N且圆心在 x轴上的圆的方程.
【答案】(1)
2 2
1
8 4
x y
;(2)
2 22 40( )
3 9
x y .
【解析】
【分析】
(1) 由 当
2
4
k 时 , 2 1 2MF FF , 且 1 2MFF 的 面 积 为 2 2 , 得 到
2
2 1 2
1 2
2 1, 2 2
4 2
MF
MF FF
FF
,进而求出
2
2, 2bc
a
,求解即可得到 a,b,从而可
得椭圆方程;
(2) 当 1k 时, : 2l y x ,代入椭圆方程,求出点 ,M N坐标,进而可得线段MN的中垂
线方程,从而可求出所求圆心和半径,得到所求圆的方程.
【详解】(1)由已知得:当
2
4
k 时,
2
2 1 2
1 2
2 1, 2 2
4 2
MF
MF FF
FF
,
此时 1 2 24, 2F F MF ,
- 17 -
所以
2
22, 2 4 2 2 2bc a a a
a
, 2b ,
所以椭圆C的方程为
2 2
1
8 4
x y
.
(2)当 1k 时, : 2l y x ,
代入椭圆C的方程得: 23 8 0x x ,所以 1 0x , 2
8
3
x ,
所以 8 20,2 , ,
3 3
M N
,线段MN的中点坐标
4 2,
3 3
,
线段MN的中垂线方程为
2 4
3 3
y x
,令
20
3
y x ,
即圆心坐标为
2 ,0
3
,所以半径
2
22 402
3 9
r
,
因此所求圆的方程为:
2
22 40
3 9
x y
.
【点睛】本题考查了椭圆的标准方程与几何性质、直线方程,通常需要联立直线与椭圆方程,
结合题中条件求解,属于常考题型.
21. 已知函数 21 ln 1
2
f x x x .
(1)讨论函数 f x 的单调性;
(2)设 21 ln
2
g x x ax x ,证明:曲线 y g x 没有经过坐标原点的切线.
【答案】(1)在 0,1 单调递减,在 1, 单调递增;(2)证明见解析
【解析】
【分析】
(1)先求得导函数,根据导函数的符号即可判断单调区间.
(2)先讨论过原点的切线斜率是否存在.当斜率不存在时,切线为 y 轴,分析可知不成立.当斜
率存在时,可设出切线方程和切点坐标.建立方程组,判断方程组无解,即可证明不存在这样的
切线.
【详解】(1) f x 定义域为 0, ,
- 18 -
1 11'
x x
f x x
x x
.
当0 1x 时, ' 0f x ,
当 1x 时, ' 0f x .
所以 f x 在 0,1 单调递减,在 1, 单调递增.
(2)因为 g x 定义域为 0, ,所以 y轴不是曲线 y g x 的切线.
当经过坐标原点的直线不是 y轴时,设 y kx 是曲线 y g x 的切线,切点是 0 0,x y .
因为 2 1'g x x a
x
,所以
2
0 0 0 0
0
0
1 ln
2
1
x ax x kx
x a k
x
.
消去 k得 2
0 0
1 ln 1 0
2
x x ,即 0 0f x .
由(1)知 f x 在 1x 处取得最小值,则 01 3
2
f x f ,
所以 0 0f x 无解.
因此曲线 y g x 没有经过坐标原点的切线.
【点睛】本题考查根据导函数判断函数的单调区间,利用导数研究曲线的切线方程,利用导数
研究不等式成立问题,属于中档题.
(二)选考题:共 10 分,请考生在第 22,23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第
一题计分.
22. 在极坐标系Ox中,曲线C的极坐标方程为
2
2 sin
2 sin
,直线 l的极坐
标方程为 cos sin 1 ,设 l与C交于 A、 B两点, AB中点为M , AB的垂直平分
线交C于E、 F .以O为坐标原点,极轴为 x轴的正半轴建立直角坐标系 xOy .
(1)求C的直角坐标方程与点M 的直角坐标;
(2)求证: MA MB ME MF .
- 19 -
【答案】(1)
2
2: 1
2
xC y ,
2 1,
3 3
M
;(2)见解析.
【解析】
【分析】
(1)将曲线C的极坐标方程变形为 22 sin 2 ,再由
2 2 2
sin
x y
y
可将曲线C的
极坐标方程化为直角坐标方程,将直线 l的方程与曲线C的方程联立,求出点 A、 B的坐标,
即可得出线段 AB的中点M 的坐标;
(2)求得
2 2
3
MA MB ,写出直线 EF 的参数方程,将直线 EF 的参数方程与曲线C的
普通方程联立,利用韦达定理求得 ME MF 的值,进而可得出结论.
【详解】(1)曲线C的极坐标方程可化为 22 2 sin ,即 22 sin 2 ,
将
2 2 2
sin
x y
y
代入曲线C的方程得 2 22 2x y ,
所以,曲线C的直角坐标方程为
2
2: 1
2
xC y .
将直线 l的极坐标方程化为普通方程得 1x y ,
联立 2
2
1
1
2
x y
x y
,得
0
1
x
y
或
4
3
1
3
x
y
,则点 0, 1A 、
4 1,
3 3
B
,
因此,线段 AB的中点为
2 1,
3 3
M
;
(2)由(1)得
2 2
3
MA MB ,
8
9
MA MB ,
易知 AB的垂直平分线 EF 的参数方程为
2 2
3 2
1 2
3 2
x t
y t
( t为参数),
- 20 -
代入C的普通方程得 23 4 2 4 0
2 3 3
t t ,
4
83
3 9
2
ME MF
,
因此, MA MB ME MF .
【点睛】本题考查曲线的极坐标方程与普通方程之间的转化,同时也考查了直线参数几何意
义的应用,涉及韦达定理的应用,考查计算能力,属于中等题.
23. 已知函数 ( ) | 1| | 2 |f x x x .
(1)求不等式 1f x 的解集;
(2)记 f x 的最大值为 m,且正实数 a,b 满足
1 1
2 2
m
a b a b
,求 a b 的最小值.
【答案】(1)[1, ) ;(2)
4
9
.
【解析】
【分析】
(1)分类去绝对值符号后解不等式,最后合并解集;
(2)由(1)可得 m,用凑配法得出可用基本不等式的形式,求得最值 .
【详解】(1)当 2x 时, ( ) 1 ( 2) 3 1f x x x 恒成立,∴ 2x ,
当 1 2x 时, ( ) 1 2 2 1 1f x x x x ,解得1 2x ,
当 1x 时, ( ) ( 1) 2 3 1f x x x 不成立,无解,
综上,原不等式的解集为[1, ) .
(2)由(1) 3m ,∴
1 1 3
2 2a b a b
,
∴
1 1 1[( 2 ) (2 )( )
9 2 2
a b a b a b
a b a b
1 2 2(2 )
9 2 2
a b a b
a b a b
1 2 2(2 2 )
9 2 2
a b a b
a b a b
4
9
,当且仅当
2 2
2 2
a b a b
a b a b
,即
2
9
a b 时等号成立,
∴ a b的最小值是
4
9
.
【点睛】本题考查解绝对值不等式,考查用基本不等式求最值.解绝对值不等式常用方法就
是根据绝对值定义去掉绝对值符号后再解之.用基本不等式求最值常常用“1”的代换凑配出
- 21 -
基本不等式中需要的定值,从而求得最值.
- 22 -
相关文档
- 河南省天一大联考2019届高三阶段性2021-06-1212页
- 数学理卷·2017届河南省天一大联考2021-06-1112页
- 天一大联考2020届高三阶段性测试(四2021-06-1111页
- 河南省天一大联考2019届高三阶段性2021-06-1011页
- 【数学】天一大联考2020届高三阶段2021-06-1013页
- 数学文卷·2018届河南省天一大联考2021-06-1013页
- 河南省天一大联考2019届高三阶段性2021-06-1011页
- 天一大联考2020届高三阶段性测试(四2021-06-0912页
- 河南省天一大联考2019届高三阶段性2021-06-0921页
- 河南省天一大联考2019届高三阶段性2021-06-0821页